Chuyên đề: Phép chia hết trong đa thức


định nghĩa
Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng:



trong đó các hệ số là các số thực và .

2.� định lý về phép chia

Với mọi đa thức và mọi đa thức luôn tồn tại một đa thức

(gọi là đa thức thương) và đa thức (đa thức dư) sao cho



trong đó hoặc
đặc biệt nếu ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu là

hay


Vậy: tồn tại q(x) sao cho f(x) = g(x).q(x).


Thí dụ:


do

3. Một số tính chất cơ bản


a) và thì


b) và thì


c) và thì


d) Với mọi và mọi ta có
Một số phương pháp chứng minh chia hết

1. phương pháp 1: Dùng định lý Bézout




Chứng minh.


Ngược lại nếu thì


Thí dụ 1. Tìm các hệ số a,b để .Tìm đa thức thương.



Giải. + Cách 1:














+ cách 2: Lấy đa thức f(x) chia cho đa thức ta được
+ Cách 3: Đa thức thương có dạng
Thí dụ 2. Tìm m để



Giải. Đặt


với mọi y, z


với mọi y, z


với mọi y, z





Thí dụ 3. là đa thức với hệ số hữu tỷ, chứng minh rằng:

Nếu thì


Giải. Giả sử theo định lý Bézout

2. Phương pháp 2: Dùng đa thức dư


Thí dụ 1. Xác định a,b sao cho



Giải. Lấy chia cho ta được dư
Thí dụ 2. Chứng minh rằng:



Giải. Giả sử , khi đó và





Ngược lại, giả sử và


.
3. Phương pháp 3: Dùng đồng nhất






Thí dụ 1.
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x +a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1x+b0
f(x) = g(x) ? an = bn, an-1= bn-1,..., ao=b0


Tìm các số a, b, c, d để cho đa thức :
f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 là bình phương đúng của đa thức:
g(x) = x2+ cx + d

Giải. Ta có: [g(x)]2 = (x2+ cx + d)2
= x4 + 2cx3 + (c2 + 2d)x2 + 2cdx + d2



Vì f(x) = [g(x)]2 nên
Giải. Giả sử f(x) = ax2+ bx + c (a 0)

Khi ®ã f(x-1) = a(x-1)2 + b(x - 1) + c = ax2 + (b - 2a)x + a - b + c

f(x) - f(x-1) = 2ax + b - a
Đồng nhất 2ax + b - a
x ta ®­îc
Thí dụ 3. Tìm tất cả các đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện :
16p(x2) = [p(2x)]2
Giải. Giả sử p(x) là đa thức bậc n với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện bài toán. Gọi a là hệ số bậc cao nhất của p(x), a 0. Từ giả thiết suy ra

+ Với n = 0: p(x) = 0; p(x) = 16.
+ Với n = 1 khi đó hệ số bậc cao nhất của p(x) là 4
Gọi p(x) = 4x + b.

+ Với n = 2: khi đó a = 1, giả sử
Vậy các đa thức cần tìm là:
p(x) = 0; p(x) = 16; p(x) = 4x; p(x) =

4. Phương pháp 4: Dùng hằng đẳng thức
với n lẻ
Thí dụ 1.
a/ Với m, n, p là những số tự nhiên, chứng minh rằng:

x3m + x3n+1 + x3p+2
x2 + x + 1
b/ Tổng quát với ai
, i = 1, 2,..., n thì:

Giải. a/ Ta biến đổi:
b/ Tương tự.
Thí dụ 2. Chứng minh rằng:

x9999 + x8888 + ... + x1111 + 1
x9 + x8 + ... + x + 1
Giải. Ta có x9999 + x8888 + ... + x1111 + 1

=
.
Vì
x9 + x8 + ... + x + 1 (với i = 1, 2, ..., 9.)

Thí dụ 3.
a/ Với giá trị tự nhiên nào của n thì đa thức:
áp dụng: Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:


37 (giữa hai số 1 có n chữ số 0)
b/ Hãy chứng minh kết quả mở rộng sau:
Giả sử a và b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với 3 và a + b 3.

Chứng minh rằng: xa + xb + 1
x2 + x + 1.
Giải. a/ Xét 3 trường hợp sau:
i) n = 3k, khi đó
không chia hết cho
ii) n = 3k + 1, khi đó:

= x2 (x6k - 1) + x(x3k - 1) + x2 + x + 1
x2 + x + 1
iii) n = 3k + 2, khi đó: x2n +xn +1 = x6k + 4 + x3k + 2 +1

= x(x6k+3 - 1) + x2(x3k - 1) + x2 +x +1


x2 +x +1

Vậy x2n + xn +1
x2 + x +1 ? n không chia hết cho 3.
áp dụng:
Ta có A =
= 102(n+1) + 10n + 1 + 1
3

37
Do ®ã A
không chia hết cho 3
n có dạng 3k hoặc 3k+1
b/ Giải tương tự ý a/.
5. Phương pháp 5: Dùng tính chất

f(x) là đa thức với hệ số nguyên.
a - b
a, b là số nguyên ta có:
f(a) - f(b)
Chứng minh. Giả sử f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... +a1x + ao (
.
Khi đó f(a) - f(b) = an(an - bn) + an-1(an-1 - bn-1) + ... +a1(a - b)
a - b
; i = o, 1,...,n).
Thí dụ 1. Chứng minh rằng không có đa thức f(x) nào với hệ số nguyên có thể có giá trị f(7) = 5 và f(15) = 9.
Giải. Giả sử có đa thức với hệ số nguyên f(x) thoả mãn f(7) = 5 và f(15) = 9,

khi đó f(15) - f(7)
15 - 7 = 8

4 = 9 - 5
8 (vô lý).

Thí dụ 2. f(x) là đa thức bậc > 1 có các hệ số nguyên, k, 1là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: f(k+l)
kl
f(k)
l và f(l)

Giải. Theo tính chất đã nêu trên ta có: f(k+l) - f(k)
(k+l) - k = l (1)
k.
f(k+1) - f(1)
(k+1) - 1 = k (2)
Do đó nếu f(k+l)
k1 thì từ (1) suy ra f(k)
l và từ (2) suy ra f(l)
k
Ngược lại nếu f(k)
l và f(l)
k thì từ (1) và (2) suy ra f(k+l) chia hết cho k và l,

kl (do (k,l) = 1).
do đó f(k+l)
Thí dụ 3. Cho và là hai đa thức với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng và cùng chia hết cho x - 1.
Giải. Ta biến đổi:
Theo tính chất đã nêu ta có
f1(x3) - f1(1)
x3 - 1
x2 + x + 1 và
f2(x3) - f2(1)
x3 - 1
x2 + x + 1
nên từ giả thiết suy ra:

f1(1) + xf2(1)
x2 + x + 1
f1(1) + xf2(1)
0
6. Phương pháp 6: Đạo hàm của đa thức và nghiệm bội
a) Định nghĩa đạo hàm của đa thức:
Cho đa thức bậc n
ta gọi đa thức
là đạo hàm của đa thức f(x), ký hiệu
Đạo hàm của đa thức g(x) gọi là đạo hàm cấp hai của đa thức f(x), ký hiệu
f"(x)...,
tổng quát ta có đạo hàm cấp n của f(x) ký hiệu
Thí dụ:
b) Tính chất
a/ f(x) = c (hằng số) thì f`(x) = 0
b/
c/ (k. f(x))` = kf`(x)
d/ (f(x).g(x))` = f`(x).g(x) + f(x).g`(x)
e/
= u`(x)f`(u(x)) (f, u là các đa thức).
c) Mệnh đề.
f(x)

.
d) Hệ quả.
Điều kiện ắt có và đủ để f(x)
(x - a)k vµ f(x) kh«ng chia hÕt cho

là f(a) = f`(a) = ... = f(k-1)(a) = 0 và
Thí dụ 1.
Tìm a, b để

Chứng minh rằng khi đó f(x) không chia hết cho
Giải.
f(x)
(x - 1)2
Vậy f(x) = 2x4 - x3 - 2x2 - x + 2, khi đó
nên f(x) không chia hết cho (x - 1)3.
Thí dụ 2. Xác định a, b, c để đa thức
nhận x = 1 làm nghiệm bội cấp 3. Tìm nghiệm kia.
Giải. x = 1 là nghiệm bội cấp 3 của f(x)
f(1) = f’(1) = f”(1) = 0 vµ
.
Thực hiện phép chia đa thức
cho
ta được thương là
Vậy nghiệm còn lại là x = -3.

xin chân thành cảm ơn