Dành cho Quảng cáo

Chào mừng quý vị đến với .

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính ( Cao Dang)

Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Trần Xuân Thiện
Ngày gửi: 08h:15' 15-11-2008
Dung lượng: 1.3 MB
Số lượt tải: 796
Số lượt thích: 0 người
1
BÀI 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH
Gv TRẦN XUÂN THIỆN
Toán cao cấp 2
Ngày 03/11/2008
Kiểm tra bài cũ
Giải phương trình sau :
y’’ - 5y’ + 6y = 0
Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)
Kiểm tra bài cũ
Giải phương trình sau :
y’’ -5y’+6y = 0
Giải :
Phương trình đặc trưng :
r2 – 5r + 6 = 0 (*)

Phương trình (*) có nghiệm :

Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là :


Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính
3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.
3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.
3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n.
3.4.1. f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.
PTVTC2 có dạng
y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x)
Nghiệm riêng của phương trình (11.32) có dạng:
Y = e αx.Qn(x) (11.33) với Qn(x) là đa thức bậc n
Các hệ số Qn(x) được xác định bằng cách lấy đạo hàm các cấp của Y thay vào phương trình đã cho rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bội của x.
Nghiệm riêng của phương trình (11.32) có dạng :
Y = x. e αx.Qn(x)
Nghiệm riêng của phương trình (11.32) có dạng :
Y = x2. e αx.Qn(x)

Ví dụ
Giải các phương trình sau :
1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x
2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 )
3. y’’ -2y + y = x.ex
1.Giải phương trình :
y’’ + y’-2y = 1 – x
Giải :
Vế phải có dạng : f(x) = e 0x.P1(x) , α = 0, P1(x) = 1 - x
Phương trình đặc trưng :
r2 + r – 2 = 0  r = 1; r = -2
Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2x
Vì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng:
Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số )
Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được :
Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - x
Đồng nhất hệ số ta được :


Vậy :
2.Giải phương trình :
y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 )

Giải :
Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1: P1(x) là đa thức bậc một.
Phương trình đặc trưng : r2 - 4r + 3 = 0  r = 1 và r = 3 .
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất :
y’’ – 4y’ + 3y = 0 là : y = C1ex + C2e3x
Vì α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng :
Y = ex. x.(Ax + B) = ex.(Ax2 + Bx)
Do đó : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B]
Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)]
= ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A]
Thế vào phương trình đã cho: ex [- 4Ax + 2A – 2B] = ex (x + 2)
Vậy :

Nghiệm tổng quát phải tìm là :
3.Giải phương trình :
y’’ -2y + y = x.ex
Giải :
Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1, P1(x) = x là đa thức bậc một.
Phương trình đặc trưng : r2 - 2r + 1 = 0  r = 1
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất :
y’’ – 2y’ + y = 0 là : y = ex (C1+ C2x)
Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng :
Y = ex. x2.(Ax + B) = ex.(Ax3 + Bx2)
Do đó :
Y’ = ex. (Ax3 + Bx2) + ex. (3Ax2 + 2Bx) = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx]
Y’’ = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] + ex [3Ax2 + 2(B + 3A)x + 2B]
= ex [Ax3 + (B + 6A)x2 + 2(2B + 3A)x + 2B]
Thế vào ta đc phương trình : ex [6Ax + 2B] = ex x

Nghiệm tổng quát phải tìm là :

3.4.2. f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ,với Pm(x), Pn(x) lần lượt là đa thức bậc m, n. β là hằng số
y’’ + py’ + qy = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx
± iβ không là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31) thì nghiệm riêng của (11.32) có dạng :
Y= Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc
l = max(m,n)

± iβ là nghiệm phương trình đặc trưng (11.31) thì nghiệm riêng của (11.32) có dạng :
Y = x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx]
với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc
l = max(m,n)

Ví dụ :
Giải các phương trình sau:
1. y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx
2. y’’ + y = x.cosx
Ví dụ 1: Giải phương trình :
y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx
Phương trình đặc trưng : r2 - 3r +2 = 0  r = 1, r = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình là : y’’ - 3y’ + 2y = 0 là :
y = C1ex + C2e2x
Phương trình vi phân đã cho có dạng : P0(x)sinβx với P0(x) = 2, β = 1
Do ±iβ = ±i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình đã cho có dạng : Y = A.cosx + B.sinx
Y’ = - Asinx + Bcosx
Y’’= -Acosx - Bsinx
Thế vào phương trình ta được : (A – 3B)cosx + (3A + B)sinx = 2 sinx



Nghiệm của phương trình đã cho là :
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
y’’ + y = x.cosx
Giải :
Phương trình đặc trưng : r2 + 1 = 0  r = ±i nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là : y = C1cosx + C2sinx
Vế phải của phương trình đã cho có dạng P1(x)cosβx , với P1(x) = x , β = 1
Vì : ±iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng :
Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] = [(Ax2 + Bx)cosx + (Cx2 + Dx)sinx]
Do đó :Y’ = [Cx2 + (D + 2A)x + B]cosx + [-Ax2 + (2C – B)x + D]sinx
Y’’ = [-Ax2 + (4C – B)x + 2D + A]cosx + [-Cx2 – (D + 4A)x + 2C -2B]sinx
Thế vào phương trình đã cho ta được:
(4C + 2D + 2A)cosx + (-4Ax + 2C – 2B)sinx = xcosx

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :
Bảng tóm tắt về dạng của nghiệm riêng của phương trình (11.32) theo dạng của vế phải của nó
Nhiệm vụ về nhà
1. Lý thuyết : cách giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.
2. Bài tập : bài 11(Tr.206)
Ứng dụng giải phương trình vi phân bằng phần mềm Maple
Cú Pháp:
dsolve(ODE) : giải phương trình vi phân ODE.
dsolve(ODE, var) : giải phương trình vi phân ODE theo biến var.
dsolve({ODE, ICs}, var) : giải phương trình vi phân ODE với điều kiện ban đầu ICs theo biến var.

VD: giải phương trình: y’’ + 4y’ + y = 0
-Khai báo phương trình :
> ODE:=diff(y(t),t$2)+4*diff(y(t),t)+y(t)=0;


-Giải phương trình:
> dsolve(ODE,y(t));

Chân thành cảm ơn
quý Thầy Cô!

 
Gửi ý kiến