Theo định lý Liouville ta có:
PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE
Hay ta có thể viết dưới dạng tường minh:
(1)
Trong đó các phương trình chính tắc Hamiltonian:
Thay các phương trình trên vào pt (1) ta được:
PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE
PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE
Dùng ký hiệu móc Poisson ta đặt
Ta thu được phương trình Liouville
Giống như phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử
PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE CÂN BẰNG
Đối với hệ thực nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha, hay hàm phân bố thống kê , Cần phải không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nghĩa là
Ta thu được phương trình Liouville cân bằng:
Nếu ta đặt là mật độ xác suất
Ta có phương trình Liouville tương ứng:
Dạng khác của pt Liouville
Nếu không phụ thuộc tường minh vào thời gian:
PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE CÂN BẰNG
PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
VÀ ÁP DỤNG
1. PHÂN BỐ VI CHÍNH TẮC:
Ta xét 1 hệ đoạn nhiệt (adiabatic, Q=0) tức là hệ không trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài khi các thông số ngoài không đổi.
Đối với hệ đoạn nhiệt, ta luôn có Hamiltonian:
1. PHÂN BỐ VI CHÍNH TẮC:
H(X,a)=E=const.
Vì năng lượng của hệ có giá trị hoàn toàn xác định và không thay đổi theo thời gian nên hàm phân bố f(E) phải có dạng cực đại nhọn tức là
Hàm có đồ thị cực đại nhọn như vậy gọi là hàm phân bố Delta Dirac
là hệ số chuẩn hóa được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
1. PHÂN BỐ VI CHÍNH TẮC:
Nghĩa là
Biểu thức (1) được gọi là biểu thức phân bố vi chính tắc Gipxơ
Nhờ phân bố vi chính tắc Gipxơ, mà ta có thể tính giá trị trung bình của các đại lượng vật lý F(X) bất kỳ.
Đối với hệ cô lập – adiabatic:
Do dạng đặc biệt của phân bố vi chính tắc nên việc sử dụng nó gặp hàng loạt khó khăn. Vì vậy người ta sử dụng hàm phân bố đối với hệ đẳng nhiệt.