Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
§1.
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ”
b. Với mọi nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN*
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
2
8
16
32
5
4
3
2
1
4
T
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
F
Với n =1;2;3;4;5
P(n) Sai
Với n =1;2;3;4;5
Q(n) Đúng
Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
a) Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi n=1.
b) Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên dương của n hay không ?
Không thể kiểm tra được với mọi giá trị nguyên dương n, tuy nhiên ta có thể chứng minh được khẳng định sau:
“ Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đã đúng khi n=k thì nó cũng đúng khi n=k+1”
Ghi nhận:
Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ
Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp
Với nN* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh.
Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1:
Bước 2:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp).
I. Phương pháp quy nạp Toán học:
Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Bước3 :
Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
Chứng minh rằng với nN* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng.
2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:
Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)
3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :
Ví dụ 1:
II. Ví dụ áp dụng :
Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2
Thật vậy:
Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2
Vậy: (1) đúng với mọi nN*.
Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải :
Đặt An = n3 – n (1)
1) Với n = 1, ta có : A1= 0
…
3
2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:
Ak = (k3 – k)
…
3 (giả thiết quy nạp)
3) Ta chứng minh Ak+1
...
3
Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1
= (k3- k) +3(k2+k)
= Ak+ 3(k2+k)
Ak
…
3 và 3(k2+k)
...
3 nên Ak+1
…
3 .
Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2
Thật vậy:
VD3- CMR : Với mọi nN* có un = 13n – 1 6 (2)
…
uk+1 = 13k+1– 1 = 13k .13 –1
= 13k.(12+1) – 1
= 12.13k +13k – 1
= 12.13k + uk
VD4- Chứng minh rằng với mọi nN*
+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có:
Chứng minh rằng với nN* ta có đẳng thức:
Bài tập 1:
Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 12 ,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng
Bước 2: Đặt vế trái bằng
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
Chứng minh rằng với n  N* , ta có :
chia hết cho 3 (2)
Bài tập 2:
Lời giải
Đặt
Bước 1: Khi n = 1
Vậy hệ thức (2) đúng
Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :
Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vì:
nên
Vậy đẳng thức (2) đúng
Củng cố:
Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có:
2 + 4 + 6 + …+ 2n = n(n +1)
a.
b.
c.