TIẾT 51: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trường THPT Phạm Hồng Thái
~Lớp 11D8~
Giáo viên: Vũ Thùy Linh
Khi nào dãy số có giới hạn là 0?

Khi nào dãy số có giới hạn là số a (hay dần tới a)?
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài tập 1 (SGK tr121)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã).
a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)
b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T=24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã).
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.
+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn
+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn 
+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn





Bằng quy nạp ta chứng minh được sau n chu kì bán rã, ta có:
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ



+) Với n =1, . Hiển nhiên đúng.

+) Giả sử công thức đúng với n = , tức là

Chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là

Thật vậy, ta có:

Vậy
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T=24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã).
b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.




(Theo tính chất nếu )
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T=24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã).
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.
Đổi:

Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để:


Nói cách khác, sau chu kì thứ 30.
(nghĩa là sau 30 . 24000 = 72000030 . 24000 = 720000 (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. 

Bài tập 2 (SGK tr121)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Biết dãy số thỏa mãn với mọi n . Chứng minh rằng

Giải
Vì nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, ta có
với mọi n.
Từ đó suy ra, có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là
Do đó
.
Bài tập 4 (SGK tr122)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.
a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un
b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un
Bài tập 4 (SGK tr122)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un
a. Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a2
Hình vuông thứ hai có độ dài cạnh là nên có diện tích là: 

Hình vuông thứ ba có độ dài cạnh là nên có diện tích là:

Tổng quát, ta có  
Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó
⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.
Hình vuông đầu tiên có độ dài cạnh là ( là hình vuông nhỏ được đánh số 1) nên có diện
tích là: 
Bài tập 4 (SGK tr122)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
Như vây, ta có:
Bài tập 6 (SGK tr122)
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Giải
Như vậy, có:
GIỚI HẠN VÔ CỰC
A.
B.0
C. 2
D.1
Vì



nên
A. 5
B.
C.
D.
Vì





Nên
A.
B.
C. -1
D. 0
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
1/ Làm các bài tập sau:
3,5,7,8 (SGK trang 121,122)
2/ Ôn lại các lí thuyết liên quan đến giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
THANKS!