ĐẠI SỐ

Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

LỚP

12

ĐỊNH NGHĨA

I

CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN MỘT ĐOẠN

II

ỨNG DỤNG GTLN-GTNN

III

_Định nghĩa_

1

_Các ví dụ_

2

_Bài toán_

1

_Quy tắc_

2

_Các ví dụ_

3

_Định lý_

1

_Các ví dụ_

2
A

KIẾM TRA KIẾN THỨC

Câu hỏi

Trả lời

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn [0;2]
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3 khi

và giá trị lớn nhất của S là 11 khi

Do

Ta có
B

NỘI DUNG BÀI HỌC

Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập .

a) Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho .

Kí hiệu

b) Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho

Kí hiệu

I

ĐỊNH NGHĨA

1

Định nghĩa
2

Các ví dụ

Bài giải

Ví dụ 1

Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

đoạn . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .
Dựa và đồ thị suy ra
Vậy

Chọn C

C
2

Các ví dụ

Bài giải

Ví dụ 2

Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .

Dựa và đồ thị suy ra

Vậy .

Chọn A

A
II

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐOẠN

1

Định lý

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2

Quy tắc
Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng ,

tại đó hoặc không xác định.

Bước 2: Tính .

Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên.

Bước 4: Kết luận ;
II

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐOẠN

2

Nhận xét
a) Nếu đạo hàm giữ nguyên dấu trên đoạn thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn .

b) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm mà tại đó bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng . Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm nói trên.

c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
Bài giải

Ví dụ 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn .

Ta có: .

Xét hàm số trên đoạn có:

.

Vậy .

Chọn B

B
Bài giải

Ví dụ 4

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là

A. .

B. .

C. .

D. 2.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn .

Ta có .

Xét hàm số trên đoạn có:

.

Vậy .

Chọn D

D
Bài giải

Ví dụ 5

Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn . Tính giá trị của bằng

A. .

B. .

C. .

D.

Ta có

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

Vậy và

Suy ra

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn .

Chọn A

A
Bài giải

Ví dụ 6

B. 0.

C. 4.

D. 1.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định.

A. 2.

Tập xác định:

suy ra hàm số đã cho liên tục trên đoạn

Ta có:

Xét hàm số trên đoạn có:

Vậy .

Chọn A

A
III

ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN KHOẢNG ĐOẠN CHO TRƯỚC
Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng ,

tại đó hoặc không xác định.

Bước 2: Tính .

Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên.

Bước 4: Kết luận ;

Bài toán

Định giá trị tham số để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

1

Bài toán
Bài giải

Ví dụ 7

Cho hàm số (Với là tham số thực) thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. .

B. .

C. .

D. .

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn

Ta có

Trường hợp 2:

suy ra hàm số đồng biến trên

Do đó

(L)

Trường hợp 3:

suy ra hàm số nghịch

biến trên

Do đó

( N)

Vậy thỏa điều kiện bài toán.

Chọn A

A

Trường hợp 1:

là hàm số không thoả mãn.
Bài giải

Ví dụ 8

Cho hàm số (với là tham số thực) thoả mãn .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. .

B. .

C. .

D. _._

Ta có .

Trường hợp 1: .

là hàm hằng

nên không thỏa mãn

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn

Trường hợp 2:

Suy ra

Hàm số đồng biến trên đoạn .

Khi đó:

(Loại).

Trường hợp 3:

Suy ra

Hàm số nghịch biến trên đoạn .

Khi đó:

(nhận)

Vậy thỏa điều kiện bài toán.

Chọn A

C
Bài giải

Ví dụ 9

Cho hàm số (với là tham số thực). Trên hàm số có

giá trị nhỏ nhất là . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

?

A. .

B. .

C. .

D. .

Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn

Ta có có

Xét hàm số trên đoạn có:

; ;

Ta thấy

nên .

Do

.

c
Bài giải

Ví dụ 10

Một vật chuyển động theo quy luật với (giây) là khoảng thời

gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di

chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây

kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng

bao nhiêu?

A. (m/s)

B. (m/s)

C. (m/s)

D. (m/s)

Chọn D

Ta có: ; ;

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trong

khoảng thì hàm số đạt cực đại

duy nhất

Vậy giá trị lớn nhất vận tốc là

.

36

6

D

1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập .

a) Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho .

Kí hiệu

b) Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho

Kí hiệu

Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng ,

Bước 2: Tính .

Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên.

Bước 4: Kết luận ;

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn