DẠY & HỌC ONLINE

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

NỘI DUNG BÀI HỌC
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định Nghĩa 1

Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng K và x0  K

f ( x)  f ( x0 )
hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 nếu xlim
x
0

Hàm số y  f ( x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó

Như vậy, để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0
ta thực hiện các bước:
B1: Tìm tập xác định của hàm số và xét x0 có thuộc TXĐ
B2: Tính

lim f ( x) và f ( x0 )

x  x0

B3: So sánh

lim f ( x) và f ( x0 )

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
 xlim
 x0

 lim f ( x)  f ( x0 )
 x  x0

thì hàm số liên tục tại điểm x0
thì hàm số không liên tục tại điểm x0
(hay hàm số gián đoạn tại điểm x0 )

2x
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 
tại
x 1

x0 2

Hàm số y  f ( x) xác định trên  \ 1 do đó xác định trên
khoảng 1;   chứa x0 2

2x
f ( x) lim
Ta có: lim
x 2
x 2 x  1

4

f (2) 4
 lim f ( x)  f (2)
x 2

Vậy hàm số y  f ( x ) liên tục tại

x0 2

Ví dụ 2:

 x2  5x  4
khi x  1

Cho hàm số: f ( x) 
x 1
1
khi x  1


Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = - 1
* TXĐ : D = R; x0  1  D

* f ( 1) 1

( x  1)( x  4)
x2  5x  4
 lim
f ( x)  lim
* xlim
x  1
x  1
1
x 1
x 1

( x  4) 3
x   1: x  1 xlim
1
 lim f ( x)  f ( 1)  Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 = -1
x  1

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Định Nghĩa 2

Hàm số y  f ( x ) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục
tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f ( x ) được gọi là liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục
trên khoảng a; b  và
lim f ( x)  f ( a); lim f ( x)  f (b)
x a

x b

Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như a; b  ,  a;  ,...được
định nghĩa một cách tương tự

Nhận xét

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền ” trên khoảng đó

Đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng a; b 

Ví dụ 3:

Cho hàm số

 x 1
khi x  1

y  f ( x)  2  x  1
 2 x
khi x 1


Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 1
* TXĐ : D = R; x 1
D
0

* f (1)  2
* lim f ( x)  lim  2 x   2
x 1

x 1

x 1
( x  1)( 2  x  1)
lim
 2
* lim f ( x)  xlim

1
x 1
1 x
2  x  1 x 1
 lim f ( x)  f (1)  Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 1
x 1

PP XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

QUA
BÀI
HỌC
CÁC
EM
CẦN
NẮM

Bước 1

f ( TẠI
x)

x0 không thuộc TXĐ

Hàm số không
liên tục tại x0

Tập xác định
x0 thuộc TXĐ
Tính f ( x0 )

lim f ( x)

Không tồn tại

Bước 2

Tính

Bước 3

So sánh f ( x0 ) và lim f ( x)

x  x0

lim f ( x)

x  x0

khác nhau

x  x0

bằng nhau

x
: 0

Hàm số liên
tục tại x0

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hàm số gián đoạn tại điểm x0 khi nào?
A.

f ( x0 ) không tồn tại.

B. lim f ( x) không tồn tại.
x  x0

C. f ( x0 ) và lim f ( x ) tồn tại và lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0

D. Cả ba mệnh đề trên.

x  x0

Bài tập trắc nghiệm
 2x  1  1
nếu

x
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) 
0
nếu


x 0
x 0

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số liên tục tại x = 0

B. f(0) = 1.

C. f(1) = 1.

D. Hàm số gián đoạn tại x = 0..

Bài tập trắc nghiệm

Câu 3: Cho hàm số

 x2  x  2
nếu

f ( x)  x  2
m
nếu


x 2
x 2

Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại điểm x=2?

A. m = 10.

B. m = -3.

C. m = 3.

D. m = 2.

BÀI TẬP LUYỆN THÊM
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra

 x 3  2
khi x 1

khi x 1
tại x  1
b) f ( x)   x  1
tại x 1
khi x 1
1
khi x 1
 4
Bài 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra
x 3

a) f ( x)  x  1
 1

 x2  4

a ) f ( x)  x  2
2m

khi x  2 tại x  2
khi x  2

 x 5
khi x  5

b) f ( x)  2 x  1  3
tại x 5
2mx  1
khi x  5

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG




Định nghĩa: Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên một
khoảng a; b  nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên đoạn  a; b 
nếu nó liên tục trên khoảng a; b 
vàlim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b)
x a 

x  b

a

b



Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng được định nghĩa một
cách tương tự.



Đồ thị

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
1. Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm
số liên tục tại 1 điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
2. Định lý 2: Các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm số lượng
giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
VD3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ:
a. y  x 2 

2 3
x 1
3

2
x
1
b. y 
x2

c.

 Liên tục trên 
 Liên tục trên  ;  2  và  2;  

y sin x  2cos x

 Liên tục trên 

 3 2 x2  9  2 x  9
khi x 3

2x  6
VD4: Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 
trên
11
TXĐ
khi x 3
 9
D 
 TXĐ:
2 x2  9  2 x  9
x 3  f ( x) 
 ;3 3;
2x  6
Với
liên tục trên
và
3





x 3
Với
11
f (3) 
9
3

2 x 2  9  2 x  9 11
lim f ( x) lim

x 3
x 3
2x  6
9
x 3

Hàm số liên tục tại
KL: Hàm số đã cho liên tục trên



 lim f ( x)  f (3)
x 3

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3. Định lý 3: Nếu hàm số liên tục trên  a; b  và f ( a ). f (b)  0 thì tồn
tại ít nhất 1 điểm c  a; b  sao cho f (c ) 0.

Hay: Nếu hàm số liên tục trên  a; b  và f (a ). f (b)  0 thì phương trình
có ít nhất 1 nghiệm nằm trong
a; b .
f ( x ) 0

khoảng







Để chứng minh phương trình có nghiệm ta làm như sau:

f ( x ) 0

Biến đổi phương trình về dạng
f ( a ). f (b)  0
Tìm 2 số a; b thỏa
 a; b 
Chứng minh hàm số liên tục trên
Từ đó suy ra phương trình có ít nhất
a; b .
1 nghiệm thuộc 

VD6: Chứng minh rằng phương trình:
a.

x 5  x 4  6 x 3  3 x 2  14 x  10 0

b.

m( x  1) 2023 ( x  2)  2 x  3 0 luôn có nghiệm với mọi tham số m

có ít nhất 2 nghiệm

Giải
b. Đặt

f ( x ) m( x  1) 2023 ( x  2)  2 x  3 là hàm đa thức

 f ( x ) liên tục trên
f (1)  1
f (2) 1

 f ( x) liên tục trên 1; 2

1

 f (1). f (2)  0

Từ (1) và (2) suy ra pt f ( x) 0 có ít nhất 1 nghiệm trên 1; 2  2 
KL: Phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

DẠY & HỌC ONLINE

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT