3

Tính góc giữa hai đường thẳng
ìïï x = 2 - t
D 2 :í
D1 : xvà
=3
ïïî y = 3 + t

 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp
tuyến
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có :
ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
1.1 + 0.1
1
cos j = cos( n1; n2 ) = ur uu
=
r = 2
2
2
2
2
1 + 0 . 1 +1
n1 . n2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là

LUYỆN TẬP

3

Tính góc giữa hai đường thẳng
ìïï x = 2 + t
ìïï x = 1 + t
D 1 :í
D 2 :í
và
ïïî y = 1- 2t
ïïî y = 5 + 3t

 Vectơ chỉ phương của là
Vectơ chỉ phương của là

ur
ur
u1 = (1; - 2) Þ n1 = (2;1)
uu
r
uu
r
u2 = (1;3)
Þ n2 = (3; - 1)

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có :

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
2.3 +1.(- 1)
5
2
cos j = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
=
=
r = 2 2 2
2
2
5. 10
2 +1 . 3 + (- 1)
n1 . n2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là

LUYỆN TẬP

4

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và
song song (hoặc trùng) với ∆.
y

z

a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.
ìïï y = 0
Xét hệ í
ïïî y = ax + b
b
Khi đó ta có: ax + b = 0 Û x =a
Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất nên và trục
hoành cắt nhau tại giao điểm có toạ độ

A

O

x

LUYỆN TẬP

4

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và
song song (hoặc trùng) với ∆.
z

0

y

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là
Do đường thẳng ∆0 song song hoặc trùng với ∆
nên ta chọn vectơ là vectơ pháp tuyến của ∆0
Đường thẳng ∆0 đi qua điểm O(0; 0) và nhận làm
vectơ pháp tuyến
Khi đó phương trình đường thẳng ∆0 là:
a( x - 0) - ( y - 0) = 0

Û y = ax

A

O

x

LUYỆN TẬP

4

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và
x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a.
Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
z

c) Khi ∆ và ∆0 trùng nhau thì α∆ và α∆0
trùng nhau nên α∆ = α∆0.
Khi ∆ và ∆0 song song thì α∆ = α∆0
(do hai góc ở vị trí đồng vị).
Vậy α∆ = α∆0.

0

y

α
A

α

O

0

x

LUYỆN TẬP

4

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và
x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a.
Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.

d) Vì M thuộc đường thẳng ∆0 nên tọa độ
điểm M thỏa mãn phương trình đường
thẳng ∆0 nên khi có hoành độ x0 thì tung độ
của M là y0 = ax0.
Ta có : tan aD 0
Do :

y0 ax0
·
= tan xOM = =
=a
x0
x0

aD = aD 0 Þ tan aD = tan aD 0 = a

z

0

y
M 1

α
A

α
-1

x0 O

0

1

x

4

Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9)
a) Chứng minh rằng

y

a. Ta có : và là vtpt của nên và cùng phương

M(x0 ; y0 )

+ Nếu và cùng hướng :

r uuur r uuur
n.MH = n . MH = a 2 + b 2 .HM

+ Nếu và ngược hướng :

r uuur
r uuur
2
2
n.MH =- n . MH =- a + b .HM
r uuur
2
2
Vậy n.MH = a + b .HM

H

n(a;b)

x

O
Δ: ax + by + c = 0

Hình 7.9

4

Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9)
b) Giả sử H có toạ độ . Chứng minh rằng :

r uuur
n.MH = a ( x0 - x1 ) + b( y0 - y1 ) = ax0 + by0 + c
y

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương
trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta
ax1 + by1 + c = 0
được :

M(x0 ; y0 )

H

n(a;b)

Û c = ax1 - by1 (1)
O
uuuu
r
Ta có : HM = ( x0 - x1 ; y0 - y1 )
Δ: ax + by + c = 0
Hình 7.9
r uuuu
r
Þ n.HM = a ( x0 - x1 ) + b( y0 - y1 ) = ax0 + by0 - ax1 - by1 (2)
r uuuu
r
Từ (1) và (2) : Þ n.HM = ax0 + by0 + c

x

4

Cho điểm và đường thẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9)
c) Chứng minh rằng :
HM =

ax0 + by0 + c
a 2 +b2

y

r uuur
c) Theo kết quả câu a : n.MH = a 2 + b 2 .HM
r uuuu
r
Theo kết quả câu b : n.HM = ax0 + by0 + c

Þ

2

2

a + b .HM = ax0 + by0 + c
Þ HM =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

M(x0 ; y0 )

H

n(a;b)

x

O

Hình 7.9

Δ: ax + by + c = 0

 Cho
điểm
và
đường
thẳng
Khoảng cách từ M đến đường thẳng , kí hiệu được tính
bởi công thức :
d (M , D ) =

ax0 + by00 + c
a 2 + b 22

4

Tính khoảng cách từ điểm M(2;4) đến đường thẳng

 Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến , ta có:

d (M , D ) =

ax0 + by0 + c
a 2 +b2

=

3.2 + 4.4 - 12
32 + 42

Vậy khoảng cách từ điểm M đến là 2

=2

LUYỆN TẬP

5

Tính khoảng cách từ điểm M(2;4) đến đường thẳng
ìïï x = 5 + 3t
D :í
ïïî y =- 5 - 4t

Đường thẳng đi qua A(5;-5) và có vectơ chỉ phương
suy ra có vectơ pháp tuyến là
Do đó, phương trình tổng quát của ∆ là: 5( x - 5) + 3( y + 5) = 0

Û 4x +3y - 5 = 0

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến , ta có:

d (M , D ) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

=

4.1 + 3.2 - 5
42 + 322

=1

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có
một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,
chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt,
AE = 5 m, CF = 6 m (Hình 7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,
Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt
phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ
của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
a) Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m,
BC = AD = 15 m.
Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa
độ là (0; 12).
Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa
độ là (15; 0).

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có
một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,
chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt,
AE = 5 m, CF = 6 m (Hình 7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,
Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt
phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ
của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và
DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12).
Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB =
12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).
Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD =
15 , lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6).

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có
một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,
chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt,
AE = 5 m, CF = 6 m (Hình 7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,
Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt
phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ
của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

Ta có:

uuu
r
EF = (15 - 5;6 - 12) = (10; - 5)

Chọn làm vtcp của đường thẳng EF thì vectơ
pháp tuyến là
Đường thẳng EF đi qua E(5; 12) và có do đó
phương trình đường thẳng EF là :

3( x - 5) + 4( y - 12) = 0
Û 3 x + 5 y - 75 = 0

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có
một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,
chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt,
AE = 5 m, CF = 6 m (Hình 7.11).
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi
lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng
cách từ B đến EF là:

d (M , D ) =

ax0 + by0 + c
a 2 +b2

=

3.0 + 5.0 - 75
32 + 52

= 12,9m

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF,
lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể
rơi vào vị trí nuôi vịt.

Toạ độ giao điểm của đường thẳng và là
nghiệm của hệ :
ìï a x + b y + c = 0
Vị trí tương đối
của 2 đường thẳng

1
1
ïí 1
(*)
ïïî a2 x + b2 y + c2 = 0

+

cắt
tại
tương đương hệ (*)
có nghiệm duy nhất
+ song song với tương đương hệ (*)
vô nghiệm
+
trùng với
tương đương hệ (*)
có vô số nghiệm
 Góc giữa hai đường thẳng có các vectơ
pháp tuyến và là

Góc và khoảng cách
giửa 2 đường thẳng

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
a1a2 + b1b2
cos j = cos( n1 ; n2 ) = ur uu
r = 2
a12 + b122 . a2222 + b222
n1 . n2

Khoảng cách từ đến đường thẳng

d (M , D) =

ax00 + by00 + c
a 22 + b 22