 Cho một điểm F cố định và một đường
thẳng cố định không đi qua F.
Tập hợp các điểm M cách đều F và được
gọi là đường parabol
 Điểm F được gọi là tiêu điểm , được gọi là
đường chuẩn, khoảng cách từ F đến
được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

M(x;y)

F

(P)

3

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là
tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox
trùng tia OF
a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi
2

2
æ pö
p
2
÷
ç
x
+
y
=
x
+
÷
ç
÷
ç
è 2ø
2

y

+Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH, chính bằng tham
số tiêu của (P) nên HF = p.
Lại có O là trung điểm của HF nên

M(x;y)
x
H

O

F

Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và có
tọa độ của F là
Hình 7.27
Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và có tọa độ của H là
Đường thẳng ∆ đi qua và vuông góc với Ox, có phương trình :

(P)

3

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi
2

2
æ pö
p
2
÷
ç
x
+
y
=
x
+
÷
ç
÷
ç
è 2ø
2

2

2
æ pö
22
b) Ta có : MF = çççx - ÷
+
y
÷
÷
è 2ø

x+

y

p
2

p
; d (M , D) =
= x+
2
12 + 0

+ Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh

2

2
æ pö
p
2
÷
ç
x- ÷
ç
÷+ y = x + 2
ç
è 2ø

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên

+ Giả sử

22

æ p÷
ö
p
22
ç
x
+
y
=
x
+
÷
ç
ç
è 2÷
ø
2

2
æ pö
p
22
÷
ç
x- ÷
ç
÷+ y = x + 2
ç
è 2ø

ta cần chứng minh M thuộc (P)

22

Thật vậy, vì

æ p÷
ö
p
22
ç
x
+
y
=
x
+
÷
ç
ç
è 2÷
ø
2

x
H

O

F

(P)

Hình 7.27
2

Û

M(x;y)

nên Vậy M thuộc (P)

 Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F,
đường chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của F trên . Khi đó trong hệ trục toạ độ
Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox
trùng tia OF, parabol có phương trình : (với
) (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình
chính tắc của parabol (P)

y
M(x;y)
x
H

O

F

(P)

 Ngược lại mỗi phương trình dạng (5) , với là phương trình chính tắc
của parabol có tiêu điểm và đường chuẩn

5

Cho parabol
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3

1
a) Ta có : 2 p = 1 Þ p =
2
Parabol có tiêu điểm và đường chuẩn

b) Điểm thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi và
y02 = x0
ìï
1
ï
Mặt khác : ï D : x + = 0
4
í
ïï
2
x
=
y
ïî 0
0 ³ 0

1
1
Þ 3 = d ( M , D ) = x0 + = x0 +
4
4

5
Vậy :

Cho parabol
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3

11
11
x0 = ; y0 = ±
4
2

æ
æ
11 11 ö
11
÷
ç
ç
÷
Vậy có 2 điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ ç
và
;
;ç
÷
ç
ç
÷
ç
ç
è4 2 ø
è4

11 ö
÷
÷
÷
÷
2 ø

2

Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân
định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28).
Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là
hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

 Coi đường thẳng là bờ biển của vùng đất
liền là đường chuẩn, đảo là hình tròn với
tâm là vị trí tiêu điểm F
Thì đường ranh giới là tập hợp các điểm
cách đều đất liền và đảo là đường hình
parabol
Vì thỏa mãn tính chất đường parabol, các
điểm M nằm trên đường ranh giới cách
đều đường chuẩn và tiêu điểm F.

Hình 7.28

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các
gương lõm elip, hypebol) sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo
một tia (tia phản xạ) nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại
(H.7.29)

Hình 7.29

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các
gương lồi elip, hypebol) khi gặp elip, hypebolsẽ bị hắt lại theo một
tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.30)

Hình 7.30

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp
parabol sẽ bị hắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của
parabol ( H.7.31) . Ngược lại nếu tia tới vuông góc với đường chuẩn
của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm của parabol.

Hình 7.31

 MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và
trong cuộc sống, chẳng hạn :
•

Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là
những hình ảnh về đường parabol.

•

Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự,
dưới ánh sáng mặt trời , bóng của một quả bóng, là một elip.

•

Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn led trên trần nhà có thể tạo ra
trên tường các nhánh hypebol.

•

Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol, hypebol.

3

Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip
có phương trình chính tắc (theo đơn vị cm). Tính khoảng
cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận
cần tán.

 Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy
đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự
của elip.
2
ì
ï
a
Ta có : ï = 400 Þ c = a 2 - b 2 = 18
í 2
ïï b = 76
î

Hình 7.33

Tiêu cự :
Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của
sỏi thận cần tán là 36 cm.

7.21
Ta có :

Cho parabol có phương trình :
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

2 p =8 Þ p = 4
p
Þ
=2
2

Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.

7.23

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm
M(2; 4).

Phương trình chính tắc của parabol có dạng : y2 = 2px (với p > 0).
Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên ta có : 16 = 2 p.2

Þ p =4
Vậy phương trình chính tắc của parabol là : y2 = 8x

( thoả mãn)