HÌNH HỌC

LỚP

12

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẮNG
IIĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẮNG SONG SONG, CHÉO NHAU,

CẮT NHAU

Cầu Tràng Tiền – Huế

Cầu Hàm Rồng – Thanh Hóa

Tháp Cầu (Bridge Tower – London)

Cầu Cổng Vàng (Mỹ)

Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương (VTCP) của
đường thẳng?
Vectơ khác  được gọi là VTCP của đường thẳng nếu
nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.
y


u'

z




u


u
O

x

o
x



u'
y

x x 0  at

PTTS của đường thẳng  : 
y

y

bt
0

y

Ta cần 1 vectơ
chỉ phương và
một điểm thuộc
đường thẳng

Nêu các yếu tố xác
u
định phương trình
M
tham số của
đường thẳng trong
O mặt phẳng?
x

y

Trong không gian cho vectơ  và điểm M.
Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và
nhận vectơ làm vectơ chỉ phương?


u



M
O

z

x

Theo em ta cần những yếu tố nào
y

Ta chỉ cần một vectơ chỉ phương
và một điểm thuộc đường thẳng
đó
O

z

để xác định được một đường


u

thẳng trong không gian ?



M
x

Bài toánTrong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M0 (x0; y0; z0)
và có , là vectơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để điểm M (x;y;z)
nằm trên d.
d
z
Giải
M

⃗
Ta   c ó : 𝑴 𝟎 𝑴= ( 𝒙 − 𝒙 𝟎 ; 𝒚 − 𝒚 𝟎 ; 𝒛 − 𝒛 𝟎 )


a

Điểm 𝑴 ∈ 𝒅⇔⃗
𝑴 𝟎 𝑴 =𝒕 ⃗𝒂 , 𝒕 ∈ 𝑹

{

𝒙 − 𝒙 𝟎=𝒕 𝒂𝟏
⇔ 𝒚 − 𝒚 𝟎=𝒕 𝒂 𝟐
𝒛 − 𝒛 𝟎=𝒕 𝒂𝟑

hay

{

Đây là PTTS của d

𝒙=𝒙 𝟎 +𝒂𝟏 𝒕
𝒚=𝒚 𝟎+𝒂𝟐 𝒕
𝒛=𝒛 𝟎+𝒂 𝟑 𝒕

O
M0

x

y

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
Định lý: Cho đường thẳng d đi qua và có VTCP là .
Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên d là có một số thực sao cho .

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
Định nghĩa:
THẲNG
 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0(x0;y0;z0)
và có vectơ chỉ phương ,  là:

 Nếu a1, a2 , a3 đều khác không thì phương trình đường thẳng viết
dưới dạng chính tắc như sau:

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường
thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Giải:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương là

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường
thẳng
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Giải:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương là

.

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng có phương
trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
mặt phẳng .
Giải:
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài
toán. Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : .
Vì
nên phương trình tham số của  là .

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
NHAU
 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và
có vtcp và đi qua Mo; d'có vtcp và đi qua Mo'. Ta có:





Nếu , cùng phương thì d // d' d ≡ d'
Nếu , không cùng phương thì xét hệ phương trình (I)
d chéo d'  Hệ Ptrình (I) vô nghiệm;
d cắt d' Hệ Ptrình (I) có một nghiệm.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
Ví dụ
Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song:
NHAU
1
và

Bài giải
đi qua điểm , có véc tơ chỉ phương là
có véc tơ chỉ phương là
Vì nên

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
Ví dụ
NHAU
Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau:
2
và

Bài giải
đi qua điểm , có véc tơ chỉ phương là
có véc tơ chỉ phương là
Vì nên

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
Ví dụTìm giao điểm của hai đường thẳng sau:
NHAU
3
và

XétBài
hệ giải
phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ
Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Thay và phương trình của suy ra và cắt nhau tại

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO
Ví dụ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
NHAU
4
và

Bài giải
Ta có: , lần lượt là vectơ chỉ phương của và .
nên và không cùng phương.
Xét hệ phương trình:
Từ hai phương trình đầu ta được: , thay vào phương trình cuối không
thỏa mãn.
Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm
Vậy hai đường thẳng và chéo nhau.

III BÀI TẬP SGK
Bài 1.T91

Viết PTTS của đường thẳng (d) trong trường hợp sau:
a) (d) đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
b) (d) đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng .
Bài giải

a) Phương trình tham số

b) (d) vuông góc với mặt phẳng nên (d) nhận vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng làm một vectơ chỉ phương,
do vậy phương trình tham số của

III BÀI TẬP SGK
Bài 1.T91

Bài giải

c) (d) đi qua điểm và song song với đường thẳng .
d) (d) đi qua hai điểm và .

c) Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
(d) // nên (d) nhận làm vectơ chỉ phương
(d) đi qua nên có phương trình tham số :

d) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm nên nhận vectơ làm vectơ chỉ
phương.
Ta có:
(d) đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương nên có PT

III BÀI TẬP SGK
Bài 3.T91
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và d' cho bởi các
phương trình sau: a) và

Bài giải
và không cùng phương.
Ta xét hệ:
Hệ cho ta một nghiệm duy nhất . Vậy và d' cắt nhau.

III BÀI TẬP SGK
Bài 3.T91
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và d' cho bởi các
phương trình sau: b) và

Bài giải

Ta có: có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
cùng phương
đi qua điểm . Nếu ' thì hệ phương trình
phải có nghiệm. Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
Vậy nhưng Suy ra .

III BÀI TẬP SGK
Bài 6.T91

Bài giải

Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng .

Thế các biểu thức theo trong phương trình tham số của
vào phương trình của , ta có:

Phương trình này vô nghiệm. Vậy
Đường thẳng nên khoảng cách giữa và thì bằng khoảng cách từ một
điểm thuộc đến .
Ta có điểm thuộc nên:

III BÀI TẬP SGK
Bài
Cho7.T91
điểm và đường thẳng
a) Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng .
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua đường thẳng .

Bài giải

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương:

Mặt phẳng (P) qua và vuông góc với đường thẳng d nhận làm vectơ pháp tuyến, có phương
trình:
Giá trị tham số ứng với hình chiếu của trên là nghiệm của phương trình:
Từ đây ta được tọa độ của hình chiếu là

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1
Trong không gian đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

Chọn
B

B

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2
Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào dưới
đây thuộc ?
A. .

Bài giải

B. .

C. .

Chọn C

C.
D.

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương là

A. .
C. .

B. .
D. .
D

Bài giải

Chọn D

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4
Trong không gian, cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và
A.
.
B. mặt
. C. .phẳng
D.
vuông
góc với
có phương trình là
C

( 𝑷 ) : 𝒙 − 𝒛 +𝟐=𝟎 ⇒ ⃗
𝒏( 𝑷 ) =( 𝟏 ;𝟎 ;− 𝟏 )

Bài giải

Gọi là đường thẳng đi qua
và
vuông
góc
với
mặt
phẳng
Phương trình tham số của đường thẳng là

Chọn C

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5

Trong không gian , cho ba điểm , và . Đường thẳng đi qua và
song song với có phương trình là

A.
A .

B. .

Bài giải

C. .

D. .

Gọi là phương trình đường thẳng qua và song song với .

Nên nhận làm vectơ chỉ phương.
Vậy .
Chọn A

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 6 Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Viết phương
trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt .
A. .
B. .
C. .
D.
D
Bài giải

Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là:
Gọi giao điểm của đường thẳng và là .

V ì  𝑩   𝒅  nê n  t ọ a  độ  c ủa   𝑩   c ó  dạ ng :  𝑩 ( 𝟏+𝒕 ;𝒕 ;−𝟏+𝟐𝒕 ) .  Ta   có  ⃗
𝑨𝑩=( 𝒕 ;𝒕 ;− 𝟑+𝟐𝒕 ) .
Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng nên:
.
Do đó , .
Đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương là nên có phương
trình chính tắc:
Chọn D

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 7
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng
và . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. và chéo nhau.

B . C. .
B.

D. .

Bài giải
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đường thẳng
vectơ chỉ phương là .
Ta có , và nên
Chọn B

có một

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 8
Trong không gian , cho hai đường thẳng
và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .

B. .

Bài giải

Ta có:

Ta thấy: Loại B. và D.
Ta thấy: Loại A.
Chọn C

CC. và chéo nhau. D. .

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 9
Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi
vuông góc của lên . Khi đó tọa độ của điểm là
A
A..
Bài giải

B. . C. .

D. .

Vì là hình chiếu vuông góc của lên nên .
Do đó tọa độ điểm có dạng là.

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .
Vì nên
.
Vậy tọa độ của điểm là .

Chọn A

là hình chiếu