CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC
NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Ta cần thực hiện phép chia sau:
:.
Làm thế nào để thực hiện được phép chia một đa thức
cho một đa thức khác?

CHƯƠNG VI: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 5: PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT
BIẾN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Chia đơn thức cho đơn thức

2

Chia đa thức cho đơn thức

3

Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Chia đơn thức cho đơn thức

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ1
HĐ 1:

Giải

a)

Thực hiện phép tính:
b)

a)
b)

𝑚

𝑚

𝑎𝑥
𝑎 𝑥
= . 𝑛
c) ( 𝑎 𝑥 ) : ( 𝑏 𝑥 ) =
𝑛
𝑏 𝑥
𝑏𝑥
𝑚

c)
.

𝑛

¿ ( 𝑎 : 𝑏) . 𝑥

𝑚 −𝑛

( 𝑎 ≠ 0 ; 𝑏 ≠ 0 ; 𝑚 , 𝑛 ∈ ℕ ; 𝑚 ≥ 𝑛¿.

KẾT LUẬN
Muốn chia đơn thức cho đơn thức khi số mũ của biến trong lớn hơn
hoặc băng số mū của biến đó trong , ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức cho hệ số của đơn thức B;
- Chia luỹ thừa của biến trong cho luỹ thừa của biến đó trong B;
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
• Chú ý:
.

Ví dụ 1 (SGK – tr64)
Tính: a) ;
b) .
Giải

a) .
b) .

LUYỆN TẬP 1
Tính:

a) ;
b) .
Giải
6

4

6

4

2

𝑎¿ (3 𝑥 ): (0,5 𝑥 )=( 3 : 0,5 ) .( 𝑥 : 𝑥 )=6 𝑥 .

Chia đa thức cho đơn thức

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ2
HĐ 2:
Ở Hình 6, diện tích các hình chữ nhật (I), (II) lần lượt là . Biết .
a) Tính .
b) So sánh: và .

Giải
a) Độ dài cạnh kề với MN của hình chữ nhật
(I) là A:
Độ dài cạnh kề với PQ của hình chữ nhật
(II) là B:
Khi đó NP

Giải
b) Diện tích MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) bằng
ac + bc.
Khi đó độ dài NP là thương trong phép chia diện tích hình chữ nhật
MNPQ cho MN.
Hay NP = (ac + bc) : c = (A + B) : c.
Mà NP = a + b = A : c + B : c.
Do đó (A + B): c = A : c + B : c.

* Chú ý:
(A + B) : C = A : C = B : C
(A – B) : C = A : C – B : C

HĐ 3: Cho đa thức và đơn thức .
a) Hãy chia từng đơn thức (của biến ) có trong đa thức
cho đơn thức .
b) Hãy cộng các thương vừa tìm được.
Giải

 
a)

b)

KẾT LUẬN

Muốn chia đa thức cho đơn thức khi số mũ của biến
ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của
biến đó trong , ta chia mỗi đơn thức của đa thức cho
đơn thức rồi cộng các thương với nhau.

Ví dụ 2 (SGK – tr65)
Tính: .
Giải

( 9 𝑥 +6 𝑥 − 𝑥 ) : ( 3 𝑥 )
6

4

2

2

¿ ( 9 𝑥 ) : ( 3 𝑥 )+ (6 𝑥 ) : ( 3 𝑥 ) − ( 𝑥 ) : (3 𝑥 )
6

2

4

2

2

2

1
2
2
¿ ( 9 : 3 ) ⋅ ( 𝑥 : 𝑥 ) +( 6 : 3 ) . ( 𝑥 : 𝑥 ) − . ( 𝑥 : 𝑥 )
3
1
4
2
¿ 3 𝑥 +2 𝑥 −
3
6

2

4

2

LUYỆN TẬP 2
Tính:

Giải

(

)( )

1 4 1 3
−1
1 4 −1
1 3 −1
−1
𝑥 − 𝑥 +𝑥 :
𝑥 =( 𝑥 : 𝑥 )− 𝑥 :( 𝑥 )+(𝑥 : 𝑥 )
2
4
8
2
8
4
8
8
3

2

¿ − 4 𝑥 +2 𝑥 −8

3
Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ4
HĐ 4: Thực hiện phép chia: a)
* Để thực hiện phép chia ta làm như sau:
• Lấy 2x  chia cho 2x được x, viết x.
2

2

2 _𝑥 +5 𝑥 +2 2
𝑥 +1
2

2𝑥 +𝑥

- Lấy x nhân với 2x + 1 được 2x2 + x, viết 2x2 + x.

_

- Lấy 2x2 + 5x + 2 trừ đi 2x2 + x được 4x + 2, viết
4x + 2.

- Lấy 4x + 2 trừ 4x + 2 được 0, viết 0.

4 𝑥 +2
4 𝑥 +2
0

• Lấy 4x chia cho 2x được 2, viết 2.
- Lấy 2 nhân với 2x + 1 được 4x + 2, viết 4x + 2.

𝑥 +2

Vậy:
(2x2 + 5x + 2):(2x + 1) = x + 2

b) .
•

Lấy 3x3 chia cho x2 được 3x, viết 3x.

-

Lấy 3x nhân với x2 + 1 được 3x3 + 3x, viết 3x3 + 3x.

-

3

3_ 𝑥 − 5 𝑥 +2
𝑥 +1

Lấy 3x  - 5x  + 2 trừ đi 3x  + 3x được -5x3
 - 3x + 2,𝑥
3

2

3

2

viết -5x2 - 3x + 2.

2

3

_

+ 3
𝑥
3 𝑥 −5
2

−5 𝑥 −3 𝑥 +2

•

Lấy -5x2 chia cho x2 được -5, viết -5.

-

Lấy -5 nhân với x2 + 1 được -5x2 - 5, viết -5x2 - 5.

−5 𝑥 −5

-

Lấy -5x2 - 3x + 2 trừ đi -5x2 - 5 được -3x + 7, viết

− 3 𝑥 +7

-3x + 7.
•

Bậc của đa thức -3x + 7 bằng 1, nhỏ hơn bậc của
đa thức x2 + 1 bằng 2 nên phép chia kết thúc.

2

2

Vậy: (3x3 - 5x2 + 2)

= (3x-5).(x2 +1)+(-3x+7)

KẾT LUẬN
Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều
đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc
của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:
Bước 1:
• Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thừc bị chia cho đơn thức bậc cao nhất
của đa thức chia
• Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho
hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột
• Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

KẾT LUẬN
Bước 2:
Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức
có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Ví dụ 3 (SGK – tr66)

Tính: a) ;
b) .

Giải
Vậy:

Ta còn viết:

Giải

Vậy: dư
Ta còn viết:

LUYỆN TẬP 3
Tính: a)
b)
Giải
a)

_

3

2
𝑥3 2+1 𝑥+1

𝑥
−𝑥+1
𝑥 −𝑥 +𝑥
2

𝑥 − 𝑥+ 1
2

𝑥 − 𝑥+ 1

0

Vậy
4

Giải
b)

3

2

_8 𝑥 − 6 𝑥 +5

2

𝑥
+𝑥+1
8𝑥 +8𝑥 +8𝑥
3 2

8 𝑥 −14

2

_ − 14 𝑥 − 8 𝑥+5
2
−14 𝑥 − 14 𝑥 −14

6 𝑥+ 19

Vậy:

NHẬN XÉT
- Khi chia đa thức cho đa thức của cùng một biến , có hai khả năng xảy ra:
• Phép chia có dư bằng 0 . Trong trường hợp này ta nói đa thức chia hết
cho đa thức .
• Phép chia có dư là đa thức với bậc của nhỏ hơn bậc của . Phép chia
trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.
- Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tùy ý và của cùng
một biến , tồn tại duy nhất một cặp đa thức và sao cho , trong đó bằng 0
hoặc bậc của nhỏ hơn bậc của . Như vậy, đa thức chia hết cho đa thức
khi và chi khi .

LUYỆN TẬP

Bài 1

Giải

Tính

a) ;

𝑎 ¿ ( 4 𝑥 ) :(− 2 𝑥 )=[ 4 : ( − 2 ) ] .( 𝑥 : 𝑥 )=−2

b) ;

−7
𝑏 ¿( − 7 𝑥 ) : ( 6 𝑥 ) =( − 7 : 6 ) .( 𝑥 : 𝑥)=
6

c) .

3

2

2

3

2

2

Giải

Bài 2
Tính

𝑎 ¿ (8 𝑥 + 2 𝑥 − 6 𝑥 ): ( 4 𝑥 )
3

2

¿ ( 8 𝑥 : 4 𝑥 )+ (2 𝑥 : 4 𝑥 ) −( 6 𝑥 : 4 𝑥
3

a) : ( ;
b) ;

2

1
3
¿2 𝑥 + 𝑥−
2
2
2

𝑏 ¿ (5 𝑥 − 4 𝑥 ) : ( −2 𝑥 )
3

c) .

−5 2
−5 2
¿
𝑥 −(− 2)=
𝑥 +2
2
2

Giải

Bài 2
Tính

𝑐 ¿ ( −15 𝑥 − 24 𝑥 ) : ( −3 𝑥 )

a) : ( ;

¿ ( − 15 𝑥 ) : ( −3 𝑥 ) − 24 𝑥 : ( −3 𝑥 )

b) ;
c) .

6

6

4

¿ 5 𝑥 − ( −8 𝑥 )
4

¿ 5 𝑥 +8 𝑥 .

3

2

2

3

2

Bài 3

Tính

Giải
a)

a) ;
b) ;
c)
d) .

_

𝑥

2

𝑥−1
𝑥 −2𝑥+1
2

− 𝑥𝑥
−1
− 𝑥+ 1
− 𝑥+ 1
0
_

Giải
c)

b)

2
3
2
𝑥 + 𝑥 𝑥+1
_

4

−
16
𝑥
+1
_

2

−4𝑥
+1
𝑥 +2𝑥 +𝑥0 𝑥 +𝑥+1 −1−6 𝑥 4+4𝑥𝑥 +1
0

3

2

2

𝑥 +𝑥

2

𝑥 +𝑥

4− 4 𝑥22+1
2

2

4 𝑥 +1

d)

−
32
𝑥
_

5

4

5

−32𝑥−16+16𝑥
𝑥 +8𝑥
_

+1

−2
𝑥+1
4
3

2

16
𝑥
+8
𝑥
+
4
𝑥
+2
𝑥
− 16 𝑥 + 1
4

_

4

3

−8 𝑥

3

+1

3

2

−8 𝑥_ +− 44 𝑥𝑥+1
2

2

− 4 𝑥 +2𝑥

−2 𝑥+1
−2 𝑥+1

Bài 4

Tính

a) ;

b) ;

c) ;

d) .
Giải

a)
_

22

c)

3 𝑥−1 3
2
3
4
3
2𝑥 8 𝑥 +2𝑥
+𝑥
−3 𝑥 − 4
_

1

8𝑥 +4𝑥+4 2𝑥 +𝑥+1

Giải
b)

_

3

2

−2𝑥+1

27 𝑥 + 𝑥 − 𝑥+ 1

27
2
27 𝑥 −
𝑥
2
3

2

− 27 2 29
25
𝑥 −
𝑥−
2
4
8

29
_
𝑥 − 𝑥+ 1
2
2
29
29
𝑥 −
𝑥
2
4
25
_

4

𝑥+ 1

29
25
𝑥−
4
8
33

d)

3 𝑥+1
3
𝑥
−
8
𝑥
−
2
𝑥
+
𝑥+1
_
4

3

2

3 𝑥4+ 𝑥3

_

7 2 13
22
𝑥 − 𝑥 −
𝑥+
3
9
27
3

3

2

7 𝑥 − 2 𝑥 + 𝑥 +1
7 2
7𝑥 + 𝑥
3
3

_

2
− 13
𝑥 + 𝑥 +1
3
2

− 13
13
𝑥 −
𝑥
3
9

22
𝑥 +1
_
9
22
22
𝑥+
9
27

5
27

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tính

( )( )
3 3 −1 2
𝑥 : 𝑥
4
2

A.

B.

C.

D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

( )

−1
(𝑥
−3𝑥
+6
𝑥):
𝑥
Câu 2. Tính
3
3

A.

B.

C.

D.

2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Rút gọn đa thức

( )

2𝑥
2
𝑄(𝑥)=3
−1 + ( 15𝑥 − 10 𝑥 ) :(−5 𝑥)−(3 𝑥−1)
3
A. 4x

B. 4x -4

C. -4x – 4

D. -4x

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Tính
A.
C.

B.
D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Số dư của phép chia đa thức cho

A. 313

B. 3x

C. 21x

D. 21

BÀI TẬP THÊM
Giải

Câu 1. Tính:
a)

a)

b)
c)
d) .

b)

(

) ( ) [( )

]

5 4
1
5 1
4
− 𝑥 :
𝑥 = − : ⋅(𝑥 : 𝑥)
2
2
2 2

4−1

¿−5 𝑥 =−5 𝑥

3

BÀI TẬP THÊM
Giải

Câu 1. Tính:
a)

c)

b)
c)
d) .

d)

BÀI TẬP THÊM
Câu 2. Tính:

a)
b) .

Giải
a)

BÀI TẬP THÊM
Câu 2. Tính:

a)
b) .

Giải
b)

VẬN DỤNG

Bài 5

Một công ty sau khi tăng giá 30 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với

giá ban đầu là (nghìn đồng) thì có doanh thu là (nghìn đồng). Tính số sản
phẩm mà công ty đó đã bán được theo .
Giải
Giá sản phẩm sau khi đã tăng giá là (nghìn đồng).
Khi đó số sản phẩm mà công ty bán được là thương trong phép chia cho
Thực hiện phép tính ta được:
Vậy số sản phẩm mà công ty đó đã bán được là sản phẩm.

Bài 6
Một hình hộp chữ nhật có thể tích là . Biết đáy là hình chữ nhật có các
kích thước là và . Tính chiều cao của hình hôp chữ nhật đó theo .

Giải
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

Giải
Chiều cao của hình hộp chữ nhật là thương trong phép chia thể tích
hình hộp chữ nhật cho diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đó.
Thực hiện phép tính ta được:
Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là cm.