CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI LỚP HỌC!

Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng
(Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam
khoảng . Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ
có độ cao bao gồm bệ cột cao và cán cờ cao . Chân bệ cột cờ có mặt phù điêu bằng
đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa
các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của
các dân tốc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích , biểu tượng
cho dân tộc của đất nước ta.

Từ chân bệ cột và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với
phương nằm ngang) tới vị trí dưới chân núi lần lượt là 45o và 50o.

Chiều cao h của đỉnh
Lũng Cú so với chân
núi là bao nhiêu mét?

CHƯƠNG IV: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC. VECTƠ
BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
TỪ ĐẾN . ĐỊNH LÍ COSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
TRONG TAM GIÁC
(4 tiết)

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ ĐẾN
HĐ1

Cho tam giác ABC vuông tại A có

a) Nhắc lại định nghĩa
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc theo tỉ số lượng giác của
góc

𝐴𝐶
𝐴𝐵
; cos 𝛼 ¿
;
a) sin 𝛼=
𝐵𝐶
𝐵𝐶
tan𝛼 ¿
b)

Giải

𝐴𝐵
𝐴𝐶
.
; cot 𝛼 ¿
𝐴𝐶
𝐴𝐵

sin ( 90 − 𝛼 )=cos 𝛼 ;

cos ( 90 °− 𝛼 ) ¿ sin 𝛼 ;tan ( 90 °− 𝛼 ) ¿ cot 𝛼 ;cot ( 90 ° −𝛼 ) ¿ tan 𝛼 ;

HĐ2

Trong mặt phẳng toạ độ , nửa đường tròn tâm nằm phía trên
trục hoành bán kính được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Với
mỗi góc nhọn ta có thể xác định một điểm duy nhất trên nửa
đường tròn đơn vị sao cho . Giả sử điểm có toạ độ . Hãy tính
theo .

Giải
Xét tam giác vuông , ta có:

𝑂𝐻 𝑥0
𝑀𝐻 𝑦 0
= =𝑥 0 ;
sin 𝛼=
= =𝑦 0 ; cos 𝛼=
𝑂𝑀 1
𝑂𝑀 1

𝑀𝐻 𝑦 0
𝑂𝐻 𝑥 0
tan 𝛼=
= ; cot 𝛼=
= ;
𝑂𝐻 𝑥0
𝑀𝐻 𝑦 0

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với
góc nhọn cho những góc từ đến , ta có định
nghĩa:
Với mỗi góc , ta xác định một điểm trên
nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó:



của góc kí hiệu là được xác định bởi: ;



của góc kí hiệu là được xác định bởi:



của kí hiệu là được xác định bởi: ;



của kí hiệu là được xác định bởi: ;

Các số được gọi là giá trị lượng giác của góc .

Ví dụ 1

Tính các giá trị lượng giác của các góc:

Giải
 Với : Khi đó: trùng với
Do đó không xác định.

 Với : Khi đó: trùng với
Do đó không xác định, .

 Với : Khi đó: trùng với
Do đó không xác định.

Chú ý:
 ;
.
 ;
;
;

HĐ3 Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung song song với trục
và .
a) Chứng minh
b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc theo giá trị lượng giác của góc

Giải
a) Do nên (hai góc so le trong).
Xét tam giác cân tại do ta có:

Kết luận:
Với thì:
;
;
;

Ví dụ 2
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau:

𝑇 =cos 15° − sin 35 ° +cos 55 ° + cos 165 ° −cos 180 °

Giải
𝑇 =cos 15° − sin 35 °+cos 55 ° + cos 165 ° −cos 180 °
⇔ 𝑇=cos 15 ° −sin 35 ° + cos ( 90 ° −35 ° ) + cos ( 180 ° −15 ° ) +1

⇔ 𝑇=cos 15 ° −sin 35 ° + sin 35 ° − cos 15 ° +1
⇔ 𝑇=1

Ví dụ 3

Viết giá trị lượng giác của góc

Giải
Ta có:

sin 120 °=sin 60 °=

√3
2

cos 120 ° =−cos 60 °=−

1
2

tan120 °=− tan 60 °=− √ 3
√3
cot 120 °=−cot 60 °=−
3

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

HĐ4

Sử dụng máy tính cầm tay để tính

Để tính các giá trị lượng giác trên, sau khi đưa máy tính vầ chế độ
“độ” ta làm như sau:

HĐ5
a)

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm số đo góc trong các
trường hợp sau
b)

c)

Chú ý:
Khi tìm góc nếu đã biết , trên máy tính chỉ hiện lên kết quả
góc trong khoảng từ đến .

Luyện tập 1
Hãy tính chiều cao của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong
bài toán ở phần mở đầu.

Giải
Theo tính chất hai đường thẳng song song ta có:
Ta có  
Mà do tam giác vuông cân tại .

II. ĐỊNH LÍ CÔSIN
Cho tam giác ABC có . Kẻ đường cao . Thực hiện các hoạt động sau:

HĐ6

Cho là góc nhọn, chứng minh:
a) và
b)

Giải
a) Nếu góc nhọn thì nằm giữa và .
Do đó

Nếu góc tù thì nằm giữa và . Do đó

Nếu góc vuông thì trùng với . Do đó
Trong mọi trường hợp, ta đều có
 Xét tam giác vuông và , áp dụng định lí Pythagore, ta có:

b) Xét tam giác vuông , ta có:
Do đó
Vậy

HĐ7

Cho là góc tù, chứng minh:
a) và
b)

Giải
a) Xét tam giác vuông và , áp dụng định lí Pythagore, ta có:

b) Xét tam giác vuông , ta có:
Do đó
Vậy

HĐ8

Cho là góc vuông. Chứng minh

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tại có:
Ta có:

Kết luận:
Cho tam giác có , , . Khi đó:

Lưu ý:

Ví dụ 4

Cho tam giác có và
a) Tính
b) Tính độ dài cạnh

Giải

1
a) Ta có: cos 𝐴=cos 120 ° =−cos 60 °=−
2
b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có:

𝐵𝐶 2= 𝐴𝐵 2+ 𝐴𝐶2 −2 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 . cos 𝐴

( )

⇔ 𝐵𝐶 2=32 +5 2 −2.3 .3 . −
⇒ 𝐵𝐶=√ 49=7

1
=49
2

Luyện tập 2

Cho tam giác có . Tính

Giải

𝐴𝐶 2 + 𝐴 𝐵2 − 𝐵𝐶 2 6 2 +52 −7 2 1
𝑐𝑜𝑠𝐴=
=
=
2. 𝐴𝐶 . 𝐴𝐵
2 .6 .5
5
Ví dụ 5

Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay và bay theo

hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc . Máy bay thứ nhất bay với vận
tốc , máy bay thứ hai bay với vận tốc . Sau 2 giờ bay, hai máy bay cách
nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết
rằng cả 2 máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ
cánh.

Giải
Giả sử sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến vị trí , máy bay thứ hai
đến vị trí .
Ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có:

Do đó
Vậy sau 2 giờ hai máy bay cách nhau khoảng

Bài tập

Cho tam giác có các cạnh , và góc . Tính cạnh và các góc
của tam giác đó.

Giải
 Theo định lí côsin ta có:

 Ta có:
Suy ra .

II. ĐỊNH LÍ SIN
Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm bán kính và có . Kẻ
đường kính của đường tròn . Thực hiện các hoạt động sau:

HĐ9

Cho là góc nhọn. Chứng minh
a)

b)

𝑎
=2 𝑅
sin 𝛼

Giải
a) Ta có:
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung )

b) Vì là đường kính của đường tròn nên . Do
đó:

𝐵𝐶
𝑎
𝑎
sin 𝐷=
⇔sin 𝛼=
⇔
=2 𝑅
𝐵𝐷
2 𝑅 sin 𝛼

HĐ10

Cho là góc nhọn. Chứng minh
a)

b)

𝑎
=2 𝑅
sin 𝛼

Giải
a) Vì 4 điểm cùng thuộc đường tròn nên tứ giác nội tiếp

b) Vì là đường kính của đường tròn (O) nên .Do
đó:

sin 𝐷=

𝐵𝐶
𝑎
⇔sin (180 ° −𝛼 )=
𝐵𝐷
2𝑅

Mà

⇒ sin 𝛼=

𝑎
𝑎
⇔
=2 𝑅
2𝑅
sin 𝛼

HĐ11

Cho là góc vuông. Chứng minh

𝑎
=2 𝑅
sin 𝛼

Giải
Xét đường tròn có: nên là đường kính của
đường tròn .
Suy ra , nên
Ta có:
Vậy hay .

Kết luận:
Cho tam giác có , , và bán kính đường tròn ngoại tiếp là .
Khi đó:

Lưu ý:

Ví dụ 6

Cho tam giác có và . Tính

a) sin 𝐴
b) Độ dài cạnh và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải

√3
sin
𝐴=sin
120
°
=sin
60
°
=
a)
2
b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có:
⇒ 𝐵𝐶=
𝑅=

𝐶𝐴. sin 𝐴 20. sin 120 °
=
=10 √ 6
sin 𝐵
sin 45 °
𝐶𝐴
20
=
=10 √ 2
2.sin 𝐵 2. sin 45 °

𝐵𝐶
𝐶𝐴
=
=2 𝑅
sin 𝐴 sin 𝐵

Luyện tập 3
Cho tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính và có các góc .
Tính độ dài cạnh .

Giải
Ta có:

Ví dụ 7
Các nhà khảo cổ học tìm được một mảnh chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ.
Để xác định đường kính của chiếc đĩa, họ lấy ba điểm trên vành đĩa và
tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau: . Tính đường kính của chiếc
đĩa theo đơn vị xăng-ti-mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có:
2 𝑅=

𝐵𝐶
28 , 5
≈
≈ 33( cm)
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛 120 °

Vậy đường kính của chiếc đĩa khoảng

Bài 1 (SGK-tr.71) Cho tam giác có . Tính độ dài cạnh và bán kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần
mười).

Giải
Áp dụng định lí côsin trong tam giác :

Áp dụng định lí sin trong tam giác :

Bài 2 (SGK-tr.71) Cho tam giác có và Tính độ dài cạnh .

Giải
Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác : 
.

Bài 3 (SGK-tr.71) Cho tam giác có Tính , và bán kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Giải
Áp dụng định lí côsin trong tam giác :

𝐴 𝐶 2 + 𝐴 𝐵2 − 𝐵 𝐶 2 72 +6 2 −8 2 1
cos 𝐴=
=
=
2. 𝐴𝐶 . 𝐴𝐵
2.7 .6
4
2

2

𝑠𝑖 𝑛 𝐴+𝑐𝑜 𝑠 𝐴=1 ⇒ sin 𝐴=
Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác :

𝐵𝐶=2 𝑅 sin 𝐴 ⇒ 𝑅=

√ 15
4

𝐵𝐶
16 15
= √
2. sin 𝐴
15

Bài 4 (SGK-tr.71) Tính giá trị của các biểu thức sau
(không dùng máy tính cầm tay):
a)

b)

c)

d)

e)

.

Bài 5 (SGK-tr.71) Cho tam giác . Chứng minh
a) sin

𝐴
𝐵+𝐶
=cos
2
2

b) tan

Giải
Ta có
a)
b) .

𝐵+𝐶
𝐴
=cot
2
2

Bài 6 (SGK-tr.71) Để đo khoảng cách từ vị
trí đến vị trí ở hai bên bờ một cái ao, bạn
An đi dọc bờ ao từ vị trí đến vị trí và tiến
hành đo các góc . Biết . Hỏi khoảng cách
từ vị trí đến vị trí là bao nhiêu mét (làm
tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải
Ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác có:

Vậy khoảng cách từ vị trí đến vị trí xấp xỉ .

Bài 7 (SGK-tr.71) Hai tàu đánh cá cùng xuấ phát từ bến và đi
thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với
nhau góc . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ hải lí một giờ và tàu thứ
hai chạy với tốc độ hải lí một giờ. Sau giờ thỉ khoảng các giữa hai
tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn đến kết quả phần mười)?

Giải
Giả sử tàu thứ nhất đi từ , sau
đến . Tàu thứ hai đi từ , sau đến
. Khoảng cách giữa hai tàu sau
là độ dài đoạn .

Quãng đường tàu thứ nhất đi được từ bến đến vị trí sau giờ
là:
(hải lí)
Quãng đường tàu thứ hai đi được từ bến đến vị trí sau giờ là:
(hải lí)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác:

Vậy sau giờ, hai tàu cách nhau hải lí.

Bài 8 (SGK-tr.71) Bạn đứng ở nóc của toà nhà
và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc
nghiêng giữa phương từ mắt của bạn tới chiếc
diều và phương nằm ngang) là ; khoảng cách từ
nóc toà nhà tới mắt bạn là . Cùng lúc đó ở dưới
chân toà nhà, bạn cũng quan sát chiếc diều và
thấy góc nâng là ; khoảng cách từ mặt đất đến
mắt bạn cũng là . Biết chiều cao của toàn nhà
là
. Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt
đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải
Gọi điểm là vị trí cánh diều, là vị trí mắt bạn , là vị trí mắt bạn .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt đất.
lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .
Độ dài cần tính là đoạn , đặt
Ta có: ,
Xét tam giác , ta có:
Xét tam giác , ta có:
Mà nên:
Vậy chiếc diều bay cao mét so với mặt đất.