CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu
đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một
thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt
thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời
gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ),
tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và
pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Công thức cộng

2

Công thức nhân đôi

3

Công thức biến đổi tích thành tổng

4

Công thức biến đổi tổng thành tích

1. CÔNG THỨC CỘNG

HĐ1
a) Cho , hãy chứng tỏ 
Giải:
Ta có: nên

Vậy

HĐ1
b) Bằng cách viết  và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính 
Giải:
Ta có:
Mà (hai góc đối nhau).
Do đó

HĐ1
c) Bằng cách viết  và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính 

Giải:
Ta có:

(do ).
Vậy

KẾT LUẬN
Công thức:

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 1

Không dung máy tính, hãy tính:

𝜋
a ¿ cos75 ° ;b ¿ 𝑡𝑎𝑛
12

Giải

𝑎¿ cos75 °=𝑐𝑜𝑠 ( 45 °+30 ° ) =𝑐𝑜𝑠 45 ° 𝑐𝑜𝑠 30 °− 𝑠𝑖𝑛 45 ° 𝑠𝑖𝑛 30 °
2 √ 3 √ 2 1 √6 − √ 2
√
¿
.
−
. =
2

2

2 2

4

𝜋
𝜋
2
𝑡𝑎𝑛
− 𝑡𝑎𝑛
(√ 3 −1)
𝜋
𝜋
𝜋
3
4
3−1
√
b ¿ 𝑡𝑎𝑛
=𝑡𝑎𝑛
−
=
=
=
= 2− √ 3
12
3
4
𝜋
𝜋
3−1
1+ √ 3
1+𝑡𝑎𝑛
. 𝑡𝑎𝑛
3
4

(

)

Ví dụ 2

(

𝜋
Chứng minh rằng 𝑠 𝑖𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =√ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 4

)

Giải
Ta có:

( ) (

) (

𝜋
𝜋
𝜋
2
2
√
√
√ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+ =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 +𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛 =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 . +𝑐𝑜𝑠𝑥 .
4
4
4
2
2
Đẳng thức được chứng minh.

¿ 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

)

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a)  
b)
Giải
a) Ta có:

(đpcm).

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a)  
b)
Giải
b) Ta có:

𝜋
𝑡𝑎𝑛 −𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜋
4
𝑉𝑇 =𝑡𝑎𝑛
−𝑥 =
=𝑉𝑃
4
𝜋
1+𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥
4

(

)

(do )

VẬN DỤNG 1

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải
Ta có:
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được:
Do đó,
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ
âm  và pha ban đầu của sóng âm là .

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

HĐ2

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải

Mà , suy ra và
Do đó,

HĐ2

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải

tan ⁡2 𝑎=tan ⁡( 𝑎+ 𝑎)
tan 𝑎+ tan 𝑎
¿
1− tan 𝑎 tan 𝑎
2 tan 𝑎
¿
2
1− tan 𝑎

KẾT LUẬN
Công thức nhân đôi

Ví dụ 3

(

)

−1 𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑎=
<
𝑎<
𝜋
Cho
. Tính
3
2

Giải
𝜋
Vì 2 <𝑎 < 𝜋 nên .

√

( )

√ √

1
1
8 2 √2
= 1− = =
Do đósin 𝑎= √ 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑎= 1 − −
3
9
9
3
2

2

( )

2 √2
1
4 √2
. − =−
Vậy sin 2 𝑎=2 sin 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎=2.
3
3
9

Công thức hạ bậc

1+ cos 2 a
cos a=
2
2

1− cos 2 a
sin a=
2
2

LUYỆN TẬP 2:

π
Không dùng máy tính, tính cos 8

Giải

( 8)

√2 =cos π =cos 2. π =2cos2 π −1
Ta có:
2

4

8

π
2
2+ √ 2
√
2π
=1+
⇒ cos =
Suy ra 2 cos
8
2
8
4
2

π
2+
2
√
√
π
cos
=
cos
>
0
Vì
nên suy ra
8
2
8

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TÍCH THÀNH TỔNG

HĐ3

a) Từ các công thức cộng và hãy tìm:

b) Từ các công thức cộng  và , hãy tìm: 

Giải
a) Ta có: (1);
  (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:

1
Từ đó suy ra: cos 𝑎cos𝑏= [cos ⁡( 𝑎+𝑏)+cos ⁡( 𝑎 – 𝑏)]
2
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được

1
Từ đó suy ra: sin ⁡𝑎 sin ⁡𝑏 = [cos ⁡( 𝑎 – 𝑏)– cos ⁡( 𝑎+𝑏)]
2

Giải
b) Ta có:
(3)
  

(4)

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:

Từ đó suy ra:

1
sin ⁡𝑎 cos ⁡𝑏 = [sin ⁡( 𝑎+𝑏)+sin ⁡(𝑎 – 𝑏)]
2

KẾT LUẬN
Công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 4

Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋
7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
; 𝐵=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 °
12
12
Giải
Ta có:

[ (

)

(

5𝜋
5𝜋 1
5𝜋 7𝜋
5𝜋 7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
= 𝑐𝑜𝑠
−
+𝑐𝑜𝑠
+
12
12 2
12 12
12 12

[ ( )

] (

1
𝜋
1
¿
𝑐𝑜𝑠 −
+𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 ) =
2
6
2

)]

)

√ 3 − 1 = √ 3 −2
2

4

Ví dụ 4

Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋
7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
; 𝐵=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 °
12
12
Giải
Ta có:

1
𝐵=𝑐𝑜𝑠75 ° 𝑠𝑖𝑛15 °= [ 𝑠 𝑖𝑛 ( 15 ° − 75 ° ) + 𝑠𝑖𝑛 ( 15 ° +75 ° ) ]
2

(

)

1
1
3
2 −√3
√
¿ [ 𝑠𝑖𝑛 ( −60 ° ) + 𝑠𝑖𝑛 ( 90 ° ) ] =
−
+1 =
2
2
2
4

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
LUYỆN TẬP 3:
5π
7π
B=sin
cos
12
12
Giải

Ta có:

¿

1
¿
2

(

)

1
1
1
1
o
o
¿ ( cos 60 +cos 90 )= .
+0 =
2
2
2
4

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
LUYỆN TẬP 3:
5π
7π
B=sin
cos
12
12
Giải

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TỔNG THÀNH TÍCH

HĐ4
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt  và viết các công thức
nhận được
Giải

Giải
Đặt
Ta có: và

𝑢+𝑣
𝑢− 𝑣
𝑎=
;
𝑏=−
Suy ra
2
2
Khi đó: (1) trở thành:

(

)

( 𝑢+ 𝑣 )
𝑢−𝑣
1
𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠 −
= ( 𝑐𝑜𝑠𝑢+ 𝑐𝑜𝑠 𝑣 )
2
2
2
𝑢+ 𝑣
𝑢− 𝑣
⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑢+ 𝑐𝑜𝑠 𝑣=2 𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
2
2
(do ).

Giải
•

(2) trở thành:

(do )

•

(3) trở thành:

KẾT LUẬN

Công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 5

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

𝜋
4𝜋
7𝜋
A=sin − sin
+ sin
9
9
9
Giải

(

)

𝜋
7𝜋
4𝜋
4𝜋
𝜋
4𝜋
A= sin + sin
− sin
=2 𝑠𝑖𝑛
cos −sin
9
9
9
9
3
9
4𝜋
4𝜋
¿ sin
− sin
=0
9
9

CÂU HỎI

Biến đổi tổng thành tích:
a)

b)
Giải

a)

CÂU HỎI

Biến đổi tổng thành tích:
a)

b)
Giải

b)

LUYỆN TẬP 4:
Giải
Ta có:

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

VẬN DỤNG 2
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết
hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy
tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra
sóng âm ở đó là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi
nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích
của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Giải
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra
có tần số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz.
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là:

b) Ta có:

Vậy ta có hàm số:

LUYỆN TẬP

50:50

50:50

Key

Câu 1. Giá trị của biểu thức là?

3
√
A.

3
√
𝐵.−
2

2

3
√
𝐶.
4

1
𝐷.
2

50:50

Key

Câu 2. Giá trị đúng của biểu thức bằng

1
𝐴.
√3

1
𝐵.−
√3

𝐶. √3
𝐷 . −√3

50:50

Key

Câu 3. Cho là các góc của tam giác .
Khi đó tương đương với:

A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 4. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
1)

2)

3)

4)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

50:50

Key

Câu 5. Rút gọn

A.

B.

C.

D.

Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng , hãy tính các giá trị lượng giác của góc .
Giải
•

2 √ 3 √ 2 1 √6 − √ 2
√
¿
.
−
. =
2

2

2 2

4

cos 15 =cos ( 45 −30 ) =cos 45 cos 30 +sin 45 sin 30
o

o

o

o

o

o

2 √ 3 √ 2 1 √ 6+ √ 2
√
¿
.
+
. =
2

2

2

2

4

o

Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng , hãy tính các giá trị lượng giác của góc .
Giải
o

o

o

tan15 =tan(45 −30 )=

( tan 45 − tan 30 )
o

o

o

1+ tan 45 tan 30

=
o

3
√
1−
3
√
1+1.

1
1
5 =
=
=2+
√
3
o
2 −√3
tan 15
o

3

3

=2− √ 3