PHÂN THỨC ĐẠI SỐ(tt)
ALGEBRA FORMULATION

NEW WORDS
Arithmetic fraction

Phân số số học

/ əˈrɪθ.mə.tɪk ˈfrækʃən /

BASIC PROPERTIES OF
DISTRACTIONS

Tính chất cơ bản của phân thức

Algebraic fraction (n) / ˌælʤəˈbreɪk ˈfrækʃən /
Numerator (n)

/ ˈnjuːməreɪtə /

Denominator (n)

/ dɪˈnɑməˌneɪtər /

Divide (v)

/ dɪˈvaɪd /

Factorise (v)

 /ˈfæk.tə.raɪz/

Transformation (n) / ˌtrænsfərˈmeɪʃən /
Simplifying (v)

/ ˈsɪmpləˌfaɪɪŋ /

Phân thức đại số

Tử số, tử thức
Mẫu số, mẫu
thức
Sự chia
Phân tích thành nhân tử
Phép biến đổi
Rút gọn, đơn giản

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
BASIC PROPERTIES OF DISTRACTIONS
4

x
x 2  xy
x2 y
Xét các phân thức P  2 ; Q  ; R 
y
xy  y 2
xy

Ta có: x2y . y = x2y2
xy2.x = x2y2

x2 y x
Vậy: 2 
xy
y

Ta có: x.(xy + y2) = x2y + xy2
x x 2  xy

Vậy:
2
2
2
y.(x + xy) = x y + xy .
y xy  y 2
x 2 y x x 2  xy
 
Các phân thức trên có bằng
2
xy
y xy  y 2 Hay P = Q = R.
nhau không? Tại sao?

4

x
x 2  xy
x2 y
Xét các phân thức P  2 ; Q  ; R 
y
xy  y 2
xy

x x.xy x 2 y
Ta có: Q  
 2 P
y y.xy xy

Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với
cùng một đa thức khác đa thức không thì được
một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

x 2  xy x( x  y )  x( x  y )  : ( x  y ) x


 Q
Ta có: R 
2
xy  y
y ( x  y )  y( x  y ) : ( x  y ) y

x
Q

Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức
x  xy y với xy khác
R

Hãy
tử và
của thức
phân
Khi
chia chia
cả tử cả
và mẫu
củamẫu
một phân
chothức
xy  y 22 cho cùng nhân
22

không,
so sánh
phânthìthức
cùng một nhân
tử chung
của chúng
được nhận được với phân thức P.
làmới
(x +
y),phân
so sánh
mộtchung
phân thức
bằng
thức đãphân
cho. thức nhận được với phân thức

tử

Q.

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
BASIC PROPERTIES OF DISTRACTIONS
*Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức
khác đa thức không thì được một phân thức mới bằng phân thức đã
cho.
When multiplying both the numerator and denominator of a fraction
by the same polynomial other than the zero polynomial, a new
fraction is equal to the given fraction.
A
A.C
=
(C là một đa thức khác đa thức không)
B
B.C

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
BASIC PROPERTIES OF DISTRACTIONS
*Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử
chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.
When dividing both the numerator and denominator of a fraction by
their same common factor, a new fraction is equal to the given
fraction.
A
A:D
=
B
B:D

(D là một nhân tử chung của A và B).

Ví dụ 4: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải
thích vì sao hai phân thức bằng nhau.
x y
1
2x
 2x
a) 2

; b)

;
2
y  x
x y
 x4 x 4

Giải
x y
 ( y  x)
1
a) 2


2
y  x
( y  x )( y  x ) x  y
2x
2 x.( 1)
 2x


;
b)
 x  4 ( x  4).( 1) x  4
 12a 2bc ( 12a 2bc) : 3ab  4ac
c)

 2
3
3
9ab
9ab : 3ab
3b

 12a 2bc  4ac
c)
 2
3
9ab
3b

Phép rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành
nhân tử chung (nếu cần).
- Chia cả tử và mẫu cho nhân
tử chung.

RÚT GỌN PHÂN THỨC - SIMPLIFYING ALGEBRAIC FRACTION
 Nhận xét: Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
 Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
 Note: To simplify a fraction, we can:
 Factorise the numerator and denominator to find common factor.
 Divide both numerator anhd denominator by the common factor.

RÚT GỌN PHÂN THỨC - SIMPLIFYING ALGEBRAIC FRACTION

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của
tử và mẫu.
(lưu ý tới tính chất A = – (– A)
Note: Changing sign of numerator or denominator is sometimes needed in
order to identify their common factor:
Note that: A = – (– A)

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
BASIC PROPERTIES OF DISTRACTIONS
18 x 2 ( x 2  2 xy  y 2 )
Ví dụ 5: Rút gọn phân thức A 
27( x 4  x 3 y )

Giải
18 x 2 ( x 2  2 xy  y 2 ) 18 x 2 ( x  y ) 2

Ta có A 
4
3
27( x  x y )
27 x3 .( x  y )
2.9 x 2 ( x  y ) 2 2( x  y )


2
3 x.9 x .( x  y )
3x

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

a 2  b2
a b
Thực hành 4 : Chứng tỏ hai phân thức 2
bằng nhau
2 và
a b  ab
ab
theo hai cách khác nhau.
Giải
Cách 1: Ta có: (a2 – b2) .ab = a3b – ab3
(a2b + ab2)(a – b) = a3b – a2b2 + a2b2 – ab3 = a3b – ab3

Do đó (a2 – b2) .ab = (a2b + ab2)(a – b)
a 2  b2
a b
Vậy 2

a b  ab 2
ab
Cách 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức
2
2
2
2
a

b
a b
a b
(a  b)(a  b) a  b . Vậy

Ta có: 2


2
2
2
a b  ab
ab
a b  ab
ab(a  b)
ab

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
BASIC PROPERTIES OF DISTRACTIONS
Thực hành 5: Rút gọn các phân thức sau:
3 x 2  6 xy
2 x 2  x3
x 1
a)
;
b)
;
c)
2
2
3
6
x
x

4
x
1
Giải
3 x 2  6 xy 3 x( x  2 y ) x  2 y
a)


2
6x
3x.2 x
2x
2 x 2  x3
x 2 (2  x )
 x 2 ( x  2)
 x2
b) 2



x 4
( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) x  2
x 1
( x  1)
1
c) 3

 22
22
x  1 ( x  1)( x  x  1) x  x  1

LUYỆN TẬP
VẬN DỤNG
PRACTICE APPLY

Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức:
3x 1
;
2x  3

2

2 x  5 x  3;

x x
.
3x  2

Giải:

Các biểu thức là phân thức là:

Không phải là phân thức vì x  x không phải là đa thức.

Bài 2: Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:
4x  1
a)
;
x 6

x  10
b)
x  3y

c)3 x 2  x  7

Giải:

a) ĐKXĐ của phân thức
b) ĐKXĐ của phân thức
mãn: x  3 y 0

4x  1
là: x  6 0
x 6

x  10
x  3y

hay x 6

là các giá trị của x và y thỏa

c) Phân thức 3 x 2  x  7 xác định với mọi giá trị của x R.

Bài 3: Tìm giá trị của phân thức:
22

3x  3x
tại x = –4.
a) A  2
x  2 x 1

Giải:

ab  b 2
b) B  2 2 tại a = 4, b = –2.
a b

3x  x  1
3x  3x
=
a) Ta có: A  2
. ĐKXĐ: x –1
2
x  2 x 1
 x  1
3 x  x  1 3x

và A=
2
 x  1 x  1
3.  4   12

4
Khi x = –4 ĐKXĐ được thỏa mãn nên: A 
 4 1
3
2

Bài 3: Tìm giá trị của phân thức:
22

3x  3x
tại x = –4.
a) A  2
x  2 x 1

ab  b 2
b) B  2 2 tại a = 4, b = –2.
a b

Giải:
b) Ta có ĐKXĐ của phân thức B là a2 – b2 0.
ab  b 2
b( a  b )
b
B 2 2 

a b
(a  b)(a  b) a  b

Khi a = 4, b = –2 ĐKXĐ được thỏa mãn nên:
2
2
B
  1
4  ( 2) 2

Bài 4: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?
3ac
6c
a) 3 và
ab
2a 2b

a b
3ab  3b 2
b)
và
2
2b
6b

Giải:
a) Ta có: 3ac . 2a2b = 6a3bc
a3b . 6c = 6a3bc. Do đó: 3ac . 2a2b = a3b . 6c
6c
Vậy 3ac
= 22
3
a b 3a b

b) Ta có: (3ab – 3b2) .2b = 6ab2 – 6b3
6b2(a – b) = 6ab2 – 6b3.
2
3
ab

3
b
a b
2
2
.
Vậy
=
Do đó: (3ab – 3b ) .2b = 6b (a – b)
2
6b

2b

Bài 5: Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đằng thức
2
2 x 1
?
sau:
x
 2x
?
a)
=
x 1

2

x 1

Giải:

b)

3

x 8



x2  2x  4

2 x  1 (2 x  1)( x  1) 2 x 2  3 x  1
a) Ta có:
=

x 1
x2  1
( x  1)( x  1)

Vậy ? cần tìm là đa thức: 2x2 + 3x + 1

b) Ta có:

x2  2x
x( x  2)
x

 2
3
2
x  8 ( x  2)( x  2 x  4) x  2 x  4

Vậy ? cần tìm là đơn thức: x

Bài 6: Rút gọn các phân thức sau:
3x 2 y
a)
;
55
2 xy

ab 2  a 2b
3x 2  3x
;
b)
; c)
2
2a  a
x 1

Giải:

3 x 2 y xy.3 x
3x
a)

 4;
5
4
2 xy
xy.2 y
2y

12( x 4  1)
d)
.
2
18( x  1)

3x 2  3x 3x( x  1)
b)

3 x
x 1
( x  1)

ab 2  a 2b ab(b  a ) b(b  a )
c)


2
2a  a
a (2a  1)
2a  1
12( x 4  1) 6.2( x 2  1)( x 2 1) 2( x 2  1)
d)


2
2
18( x  1)
6.3( x  1)
3