KHỞI ĐỘNG

Bài toán:
Mai cần mua đĩa giấy, cốc giấy để chuẩn bị cho một
bữa tiệc sinh nhật. Đĩa và cốc được đóng thành
từng gói với số lượng mỗi loại khác nhau: gói 4 cái
đĩa và gói 6 cái cốc. Cửa hàng chỉ bán từng gói mà
không bán lẻ. Mai muốn mua số đĩa và số cốc bằng
nhau thì phải mua ít nhất bao nhiêu gói mỗi loại?

Để giúp Mai mua được
số đĩa và số cốc bằng nhau,
chúng ta sẽ tìm hiểu trong
bài mới hôm nay

Tiết 23 + 24. Bài 13:
BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a. Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

HĐ1
HĐ2

Tìm các tập hợp B(6), B(9).
Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6,
9).

HĐ3 Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9).

1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a. Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số
HĐ1 Tìm các tập hợp B(6), B(9).
Giải:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54;…}
B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63;…}

HĐ2

Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6,
9).

Giải:

BC(6, 9) = {0; 18; 36; 72; 48; 54;…}

Bội chung của hai hay nhiều số là bội
của tất cả các số đó
Kí hiệu: BC(a, b) là tập hợp các bội
chung của a và b

HĐ3

Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9).
Giải:

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là 18.
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất
khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Kí hiệu: BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Nhận xét:
x BC(a,b) nếu x a và x b
x BC(a,b,c) nếu x a , x b, x c

Ví dụ 1:

Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 4 và 6.

28;...}
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}
B(6) = {0; 12; 18; 24; 30;…}
12; 24;…}
BC(4, 6) = {0; 12
BCNN(4, 6) = 12

Ví dụ 2: (BT mở đầu)
Để mua cùng số lượng n cái mỗi loại thì n

 BC(4, 6)

Để mua ít nhất thì n = BCNN(4, 6) = 12
Vậy bạn Mai có thể mua ít nhất 12 cái mỗi loại
hay mua 3 gói đĩa và 2 gói cốc.

b. Tìm bội chung nhỏ nhất trong trường hợp đặc biệt

Em có cách khác ngắn
hơn
Tròn và vuông
đều làm rất tốt

Nhận xét 1:
Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của
các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính
là số lớn nhất ấy.

Nếu a b thì BCNN(a, b) = a

Nhận xét 2:
Mỗi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự
nhiên a và b (khác 0), ta có:
BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

Ví dụ: Tìm BCNN (8, 1) ; BCNN (4, 6, 1)
BCNN(8, 1) = 8;

BCNN(4, 6, 1) = BCNN(4, 6)

?

Tìm BCNN(36, 9)?
Bài làm:

Vì 36 9 nên BCNN(36, 9) = 36

Luyện tập 1:

Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 6 và 8

b) 8; 9; 72

Bài làm:
a) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;…}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48…}
BC(6, 8) = {0; 24; 48;…}
BCNN(6, 8) = 24

b) Vì 72 8 và 72 9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72

Vận dụng:
Có hai chiếc máy bay A và B. Lịch bảo dưỡng định
kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9
tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng
5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy
lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

Giải:

Số tháng mà lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng là BCNN(6, 9) = 18
Bây giờ là tháng 5, khi đó tháng 11 sang năm thì hai máy mới cùng bảo
dưỡng

Có cách nào tìm bội chung nhỏ nhất của
hai hay nhiều số mà không cần liệt kê
các ước của mỗi số hay không?

2. CÁCH TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa
số nguyên tố.
Ví dụ: Tìm BCNN(75, 90)
1

2
3

Phân tích các số 75 và 90 ra thừa số nguyên tố, ta được:
2
3
.
5
75 = 3 . 5 . 5 =
90 = 2 . 3 . 3 . 52 =
. 32 . 5

Thừa số nguyên tố chung và riêng:

2; 3; 5

Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi thừa số lấy với
số mũ lớn nhất của nó.
2

2

BCNN(75, 90) = 2 . 3 . 5 = 450

Quy tắc:
Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
1

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

2

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

3

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ
lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

So sánh cách tìm ƯCLN và BCNN
ƯCLN

BCNN

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố:

Chung

Chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy
với số mũ:

Nhỏ nhất

Lớn nhất

?

Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15,
biết: 9 = 32 và 15 = 3 . 5
Giải:
Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 5
Khi đó BCNN(8, 12) = 32 . 5 = 45

Ví dụ 3:
Tìm BCNN(18, 24, 40) bằng cách phân tích các
số ra thừa số nguyên tố.
Giải:

Ta có: 18 = 2 . 32 ; 24 = 23. 3 ; 40 = 23. 5
BCNN(18, 24, 40) = 23 . 3 . 5 = 360

Có cách nào tìm bội chung của hai hay
nhiều số mà không cần liệt kê các bội của
mỗi số hay không?

b. Tìm bội từ bội chung nhỏ nhất
Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:
1

Tìm BCNN của các số.

2

Tìm các bội của BCNN đó.

?

Biết bội chung nhỏ nhất của 8 và 6 là 24.
Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6.
Giải:

Ta có BCNN(8, 6) = 24
Suy ra BC(8, 6) = {0; 24; 48; 96; 192; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là
0 ; 24; 48; 96.

Ví dụ 4: Tìm BCNN(18, 24, 40)
18 = 2.32 ; 24 = 23.3 ;

40 = 23.5

Ta có BCNN(18, 24, 40) = 23.32.5 = 360
Suy ra BC(18, 24, 40) = {0; 360; 720; 1 080; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 900 của 18; 24 và 40 là
0 ; 360; 720.

Luyện tập 2:

Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54.
Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của
15 và 54.

Giải:

Ta có 15 = 3 . 5;
54 = 2. 33
BCNN(15, 54) = 2. 33 . 5 = 270
Suy ra BC(15, 54) = {0; 270; 540; 1 080; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và
54 là 0 ; 270; 540.

Thử thách nhỏ:
Lịch xuất bến của một số xe buýt
tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội)
được ghi ở bảng dưới đây. Giả
sử các xe buýt xuất bến cùng lúc
vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các
thời điểm nào trong ngày (từ 10
giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe
buýt này lại xuất bến cùng một
lúc?

Bến xe Mỹ Đình
Số xe

Thời gian

Xe 16

15 phút/chuyến

Xe 34

9 phút/chuyến

Xe 30

10 phút/chuyến

Giải:

3. Quy đồng mẫu các phân số
*) Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số
c
a
Để quy đồng mẫu hai phân số và , ta phải tìm b
mẫu chung
dcủa hai phân số đó.
Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

7
5
Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số
và
8
12

5 5.3 15
Ta có BCNN(8, 12) = 24 nên


8 8.3 24

7
7.2 14


12 12.2 24

4
7
? Quy đồng mẫu hai phân số
và
9
15
Giải:

Ta có 9 = 32 ;

15 = 3 . 5

BCNN(9, 15) = 32 . 5 = 45
Do đó 7

7.5 35


9 9.5 45

4
4.3 12


15 15.3 45

Ví dụ 5:
1
3 5
Quy đồng mẫu các phân số sau:
;
và
Giải:

Ta có 8 = 23; 9 = 32; 6 = 2 . 3
BCNN(8, 9, 6) = 23 . 32 = 72
Do đó 3 3.9 27


8 8.9 72
5 5.8 40


9 9.8 72

1 1.12 12


6 6.12 72

8 9

6

Có thể chọn một bội
chung khác 0 bất kì của
các mẫu làm mẫu
chung. Tuy nhiên,
người ta thường lấy
BCNN làm mẫu chung

Ví dụ 6:
1
1
Thực hiện phép tính: a) 4  6
Giải:

a) Ta có BCNN(4, 6) = 12
nên 1 1 1.3 1.2

  
4 6 4.3 6.2
3 2 5
  
12 12 12

11 3

b)
12 8

b) Ta có BCNN(12, 8) = 24
nên 11 3 11.2 3.3
 

12 8 12.2 8.3
22 9 13
 

24 24 24

Luyện tập 3: Quy đồng mẫu các phân số sau:
1

7
5
a) 12 và 15

7
2 4
b) 7 ; 9 và 12

Giải:

a) Ta có 12 = 22 . 3; 15 = 3 . 5

b) Ta có 7 = 7; 9 = 32; 12 = 22 . 3

BCNN(12, 15) = 22 . 3 . 5= 60

BCNN(7, 9, 12) = 22 . 32 . 7 = 252

Do đó

5
5.5 25


12 12.5 60
7
7.4 26


15 15.4 60

Do đó 2

2.36 72


7 7.36 252

4 4.28 112 7  7.21 147


9 9.28 252 12 12.21 252

3 5
Thực hiện phép tính: a) 
8 24
2

7 5

b)
16 12

Giải:

a) Ta có BCNN(4, 6) = 12

b) Ta có BCNN(12, 8) = 24

nên 3  5  3.3  5
8 24 8.3 24
14
7


24 12

nên

7 5
7.3 5.4



16 12 16.3 12.4
21 20 1
 

48 48 48

LUYỆN TẬP
Bài 2.36: (SGK/53)

Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của:
a)5 và 7

Giải:

b) 3, 4 và 10

a) Ta có 5 = 5; 7 = 7
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35
Suy ra BC(8, 6) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210…}
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là
0 ; 35; 70; 105; 140; 175.

Chú ý:

Nếu các hai đã cho nguyên tố cùng nhau
thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Ví dụ:
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35

b) Ta có 3 = 3; 4 = 22; 10 = 2 . 5
Suy ra BC(3, 4, 10) = BCNN(3, 4, 10) = 22 . 3 . 5 = 60
B(60) = {0; 60; 120; 240…}
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là
0; 60; 120.

Bài 2.37: (SGK/53)
Tìm BCNN của:
a)2 . 32 và 3 . 5

b) 2 . 5. 72 và 3 . 52 . 7

Giải:

a) BCNN(2 . 32, 3 . 5) = 2 . 32. 5 = 90
b) BCNN(2 . 5. 72, 3 . 52 . 7 ) = 2 . 3 . 52. 72 = 7350

Bài 2.38: (SGK/53)

Tìm BCNN của các số sau:
a)30 và 45

Giải:

a) Ta có 30 = 2. 3 . 5;

b) 18, 27 và 45
45 = 32. 5

BCNN(30, 45) = 2 . 32. 5 = 90

b) Ta có 18 = 2 . 32;

27 = 33 ;

BCNN(18, 27, 45 ) = 2 . 33. 5 = 270

45 = 32. 5

Bài 2.39: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0,
biết rằng a 28 và a 32.
Giải:

Ta có a 28; a 32 và a nhỏ nhất khác 0
Nên a = BCNN(28, 32)
28 = 22. 7; 32 = 25
Suy ra BCNN(28, 32) = 25. 7 = 224. Vậy a = 224

Bài 2.40: (SGK/53)
Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng
hay 9 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp
từ 30 đến 40. Tính số học sinh của lớp 6A.

Giải:
Gọi số học sinh của lớp 6A là x (x  N và30  x 40 )
Vì số học sinh khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ
Nên x3; x  4; x 9 Suy ra x  BC(3, 4, 9)
Ta có BCNN(3, 4, 9) = 22. 32 = 36
BC(3, 4, 9) = {0; 36; 72; …} Suy ra x {0; 36; 72; …}
Mà

30  x 40

nên x = 36

Vậy lớp 6A có 36 học sinh.

Bài 2.41: (SGK/53)

Hai đội công nhân trồng được một số cây như
nhau. Mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi
công nhân đội hai đã trồng 11 cây. Tính số cây
mỗi đội đã trồng, biết rằng số cây đó trong
khoảng từ 100 đến 200 cây.

Giải:
Gọi số cây mỗi đội đã trồng là x (x N và 100 < x < 200)
Vì mỗi công nhân đội I trồng được 8 cây, mỗi công nhân đội hai
đã trồng 11 cây và hai đội trồng được một số cây như nhau.
Nên x 8; x 11; Suy ra x



BC(8, 11)

Ta có BCNN(8, 11) = 8 . 11 = 88
BC(8, 11) = {0; 88; 176; 352;…}
Suy ra x

{0;88; 176; 352; …}

Mà 100 < x < 200 nên x = 176. Vậy mỗi đội đã trồng được 176 cây.

Bài 2.42: (SGK/53)
Cứ 2 ngày, Hà đi dạo cùng bạn cún yêu quý của mình.
Cứ 7 ngày, Hà lại tắm cho cún. Hôm nay, cún vừa được
đi dạo, vừa được tắm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày
nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm?

Giải:
Gọi số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là x (x N)
Vì cứ 2 ngày Hà đi dạo cùng bạn cún và cứ 7 ngày Hà lại tắm cho cún
Nên x 2 và x 7
Suy ra x = BCNN(2, 7)
Ta có BCNN(2, 7) = 2 . 7 = 14
Suy ra x = 14
Vậy sau 14 ngày nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm .

Bài 2.43: (SGK/53) Quy đồng mẫu các phân số sau:
9
7
9
7 3
a)
và
b)
;
và 14
15
12
10
4
Giải:
a) Ta có 12 = 22 . 3; 15 = 3 . 5

b) Ta có 10 = 2 . 5; 4 = 22; 14 = 2 . 7

BCNN(12, 15) = 22 . 3 . 5= 60

BCNN(10, 4, 14) = 22 . 5 . 7 = 140
7
7.14
98
Do đó


10 10.14 140
3 3.35 105 9  9.10  90


4 4.35 140 14 14.10 140

Do đó

9
9.5 45


12 12.5 60

7
7.4 26


15 15.4 60

Bài 2.44: (SGK/53)

7 2

b)
20 15

7
5

Thực hiện phép tính: a)
11
7
Giải:

a) Ta có BCNN(7, 11) = 77

b) Ta có BCNN(12, 8) = 24

nên 7

nên 7

5 7.7 5.11
 

11 7 11.7 7.11
104

77

2
7.3 2.4



20 15 20.3 15.4
21 8 13
 

60 60 60