KHỞI ĐỘNG

Thực hiện phép tính:  3  23   3  23  20 4

5

5

5

5

25 30 25  30  5



7
7
7
7

KHỞI ĐỘNG

Tại một cuộc đua thuyền diễn ra trên một
khúc sông từ A đến B dài 3 km.
Mỗi đội thực hiện một vòng đua, xuất phát từ
A đến B, rồi quay về A là 3đích. 3
Thời gian thi của đội là:

x  1 (giờ)
Một đội đua đạt tốc độ (xx +11) km/h
khi xuôi
3
dòng từ A đến B và đạt tốc độ (x – 1) km/h 3

(giờ)
Chiều
về mất
thờitừgian
khi ngược
dòng
B vềnhiều
A. hơn chiều đi là: x  1 x  1
Cần dùng phép tính
nào để tìm các đại
Chiều về mất thời gian nhiều hơn
đó?là bao nhiêu?
Thời gian
thilượng
của đội
chiều
đi bao
nhiêu
giờ?

Bài 6:

CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai A
1 hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là
a cm2, b cm2 và có cùng chiều dài x cm.
B
Giải
Cách 1:
Diện tích của hình chữ nhật lớn là: a + b (cm2)
a b

a cm2
b cm2

Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là:
(cm)
x
Cách 2:
Tính chiều rộng của hình
a
(cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật A là:
chữ nhật lớn theo hai cách.
x

b
Chiều rộng của hình chữ nhật B là:

(cm)
x
a b
(cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: +
x x

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai A
1 hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là
a cm2, b cm2 và có cùng chiều dài x cm.
B
Giải
Cách 1:
Diện tích của hình chữ nhật lớn là: a + b (cm2)

a cm2
b cm2

a b

Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là:
(cm)
x
Cách 2:
a
(cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật A là:
x

b
Chiều rộng của hình chữ nhật B là:

(cm)
x
a b
(cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: +
x x

a b a b
Vậy x + x  x

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai A
1 hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là
a cm2, b cm2 và có cùng chiều dài x cm.
B
Giải
Cách 1:
Diện tích của hình chữ nhật lớn là: a + b (cm2)
a b

a cm2
b cm2

Chiều
là: b  a (cm
(cm)
Chiều rộng
rộng của
của hình
B lớnchữ
hơnnhật
hìnhlớn
A là:
)
x
x x
Cách 2:
Chiều rộng của B lớn
a
(cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật A là:
hơn chiều rộng của A
x
b
Chiều rộng của hình chữ nhật B là:
(cm) bao nhiêu? Biết b > a.
x
a b
Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: +
x x

(cm)

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc
trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
A C
A+C
A C A C
+ =
;
 =
B B
B
B B
B
Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp
tương tự như đối với phân số.

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU
Ví dụ 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
x y x y
x 2  5x x  4
3x  2 y
x
a)

;
b)

;
c) 2

xy
xy
x2
x2
x  y2 x2  y2
Giải

x  y x  y x  y  x  y 2x 2


 
xy
xy
xy
xy y
2
x 2  5 x x  4 ( x  5 x)   x  4 
b)


x2
x2
x 2
x2  5x  x  4 x 2  4 x  4


x2
x2

a)

2
x  2


x  2
2

x2

3x  2 y
x
3x  2 y  x


x2  y 2 x2  y2
x 2  y 22
2x  2 y
2( x  y )
2
 2


x  y 2 ( x  y )( x  y ) x  y

c)

1. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU
Thực hành1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
x
2 x
x2 y
xy 2
2x
y
a)

;
b)

;
c)

x 3 x 3
x y x y
2x  y y  2x
Giải
x
2 x x2 x
2
a)



x 3 x 3
x 3
x 3
x2 y
xy 2
x 2 y  xy 2 xy ( x  y )
b)

=

 xy
x y x y
x y
x y
2x
y
2x
y
2x  y
c)




1
2x  y y  2x 2x  y 2x  y 2x  y

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
2

Cho hai phân thức A 

a b
a b
B

ab và
a2

Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi ? Sau đây:
a b
?
 2 ;
ab
ab

a b
?

a2
a 2b

Giải
Ta có:

a  b (a  b).a a 2  ab

 2 ;
ab
ab.a
ab
a  b ( a  b).b ab  b 2
 2
 2
2
a
a .b
ab

Quy đồng mẫu
thức là gì?

Quy đồng mẫu thức

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU

Quy đồng mẫu thức hai phân thức là biến đổi hai phân thức đã cho
thành hai phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng hai phân
thức đã cho.
Mẫu thức của các phân thức mới đó được gọi là mẫu thức chung của
hai phân thức đã cho
a  b (a  b).a a 2  ab
Ta có:

 2 ;
ab
ab.a
ab
a  b (a  b).b ab  b 2
 2
 2
2
a
a .b
ab

Quy
mẫu thức
Mẫu đồng
thức chung
là: a2b.
Mẫu thức chung
của hai phân thức
đã cho là gì?

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Ví dụ 2: Quy đồng mẫu thức của các cặp phân thức sau:

a
2a
và
a)
a 5
a 5

b)

1
a b
và
3abc
ab 2

Giải
a) Mẫu thức chung là (a – 5)(a + 5)
2a
2a(a  5)

;
a  5 (a  5)(a  5)

2
3
a
c) 2
và
a 4
a2

a
 a (a  5)

a  5 (a  5)(a  5)

b) Mẫu thức chung là 3ab c
2

1
1.b
b


3abc 3abc.b 3ab 22c
a  b (a  b).3c 3ac  3bc


2
2
ab
ab .3c
3ab 22c

c) Vì a2 – 4 = (a – 2)(a + 2)
nên mẫu thức chung là: (a – 2)(a + 2)
3
3

a 2  4 ( a  2)(a  2)
a2
a 2 (a  2)
a 3  2a


a  2 ( a  2)( a  2) ( a  2)( a  2)

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
2
a

b
(
a

b
).
a
a
 ab
2 a) Ta có:

 2 ;
ab
ab.a
ab
Quy đồng mẫu thức
22
a  b (a  b).b ab  b
 2
 22
2
a
a .b
ab
a  b a  b (a  b).a (a  b).b a 22  ab ab  b 22
b) A  B 
 2 

 2 
2
ab
a
ab.a
a .b
ab
a 22b
a 2  ab  ab  b 2 a 2  2ab  b 2
=

;
2
2
ab
ab
a  b a  b (a  b).a (a  b).b a 22  ab ab  b 22
A B 
 22 

 22 
22
ab
a
ab.a
a .b
ab
a 22b
a 2  ab  ab  b 2 a 22  b 22
Sử dụng kết quả trên,
=

;
tính A + B và A – B.
a 2b
a 2b

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU

Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:
- Quy đồng mẫu thức.
- Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 3: Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức sau:
2
1
a) 
;
a a 3

b)

2x
1

;
2
x  4 x 2

c)

x
y

xy  y 2 x 2  xy

Giải
2
2.( a  3)
1.a
2a  6  a
3a  6
1
a) 




a a  3 a (a  3) a (a  3)
a(a  3)
a (a  3)

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Ví dụ 3: Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức sau:
2
1
a) 
;
a a 3

b)

2x
1

;
2
x  4 x 2

Giải

c)

x
y

xy  y 22 x 22  xy

2x
1
2x
1.( x  2)



x 2  4 x  2 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
2 x  ( x  2)
x 2
1
=


( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) x  2
x
y
x
y
c)



xy  y 2 x 2  xy y ( x  y ) x ( x  y )

b)

x.x
y. y
x2  y 2
( x  y )( x  y ) x  y





xy ( x  y ) xy ( x  y ) xy ( x  y )
xy ( x  y )
xy

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Chú ý: a) Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao
hoán, kết hợp:
A C C A
A C E A C E
   ;
       
B D D B
B D F B  D F 
b) Hai phân thức đối nhau khi tổng của chúng bằng 0.
A
A

Phân thức đối của
kí hiệu là
B
B
A A
A



Ta có:
B
B B
c) Phép trừ phân thức có thể chuyển thành phép cộng với phân thức đối:
A C A  C

   
B D B  D

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
2a

a
1 a

 2
Ví dụ 4: Thực hiện phép tính
2
a  1 a  1 a  2a  1

Giải
2a
a
1 a
2a
1 a
a

 2



2
2
2
a  1 a  1 a  2a  1 a  1 (a  1) a  1
a 1
a
1
a
1 a
=




1
2
(a  1) a  1 a  1 a  1 a  1

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Thực hành 2: Thực hiện phép tính cộng, trừ phân thức sau:
a
2
4
2
3
1
a)

;
b)  2 ;
c) 2
 2
a  3 a 3
2x x
x  1 x x
Giải
a
3
a(a  3)
3(a  3)
a)



a  3 a  3 (a  3)(a  3) (a  3)(a  3)
a 2  3a  3a  9
a2  9


(a  3)(a  3)
( a  3)(a  3)
1
2 1.x 2.2 x  4
b)  2  2  2  2
2x x
2x
2x
2x

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Thực hành 2: Thực hiện phép tính cộng, trừ phân thức sau:
a
2
4
2
3
1
a)

;
b)  2 ;
c) 2
 2
a  3 a 3
2x x
x  1 x x
Giải
4
2
4
2
c) 2
 2


x  1 x  x ( x  1)( x  1) x( x  1)
4.x
2( x  1)


x( x  1)( x  1) x( x  1)( x  1)
4x  2x  2
2x  2
2( x  1)
2




x( x  1)( x  1) x( x  1)( x  1) x( x  1)( x  1) x( x  1)

2. CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU
Thực hành 3: Thực hiện phép tính

x
2 xy
y
 2

x  y x  y2 x  y

Giải
x
2 xy
y
x
y
2 xy
 2



 2
2
xy x  y
x  y x  y x  y x  y2
x y
2 xy
( x  y )( x  y )
2 xy




x  y ( x  y )( x  y ) ( x  y )( x  y ) ( x  y )( x  y )
x 2  2 xy  y 2  2 xy
x2  y 2


( x  y )( x  y )
( x  y )( x  y )

VẬN DỤNG

Thời gian thi của đội là:
3
3

(giờ)
x 1 x  1
3( x  1)
3( x  1)


( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
Tính giá trị của các đại lượng
3x  3  3x  3
6x


(giờ) này khi v = 6 km/h.
( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi là:
3
3
3( x  1)
3( x  1)
3x  3  3 x  3
6



 tính tổng thời
 gian đi và (giờ)
Hãy
(giờ)
x  1 x  1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
về, chênh lệch giữa thời gian
đi và về của đội thuyền.



VẬN DỤNG

6x
Thời gian thi của đội là: ( x  1)( x  1) (giờ)

Khi v = 6 tức là x = 6 thì ta có:
6.6
36 36


(giờ)
(6  1)(6  1) 5.7 35
6
Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi là:
( x  1)( x  1) (giờ)
Khi v = 6 tức là x = 6 thì ta có:
6
6

(6  1)(6  1) 35 (giờ)
Tính giá trị của các đại lượng
này khi v = 6 km/h.

LUYỆN TẬP
VẬN DỤNG

Bài 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a  1 3 a
a)

;
a 1 a 1

b
a
b)

;
a b b a

( a  b) 2 ( a  b ) 2
c)

ab
ab

Giải:

a  1 3  a a  1 3  a
2
a)



a 1 a 1
a 1
a 1
b)

b
a
b
a
b  a  (a  b )





 1
a b b a a b a b a b
a b

(a  b) 2 (a  b) 2 (a  b) 2  (a  b) 2  (a  b)  (a  b)  (a  b)  (a  b) 
c)



ab
ab
ab
ab
(a  b  a  b)(a  b  a  b) 2a.2b 4ab
=


4
ab
ab
ab

Bài 2: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

1
2
x  1 x 1
xy yz
 ;
b)

;
c)

;
2a 3b
x 1 x  1
xy
yz
2
12
1
2
d)
 2
;
e)
 22
x 3 x  9
x  2 x  4x  4
a)

Giải:

1
2 1.3b 2.2a 3b  4a
a)
 


.
2a 3b 6ab 6ab
6ab

x  1 x  1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
b)



x  1 x  1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1
 4x



( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)

Bài 2: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

1
2
x  1 x 1
xy yz
 ;
b)

;
c)

;
2a 3b
x 1 x  1
xy
yz
2
12
1
2
d)
 2
;
e)
 22
x 3 x  9
x  2 x  4x  4
a)

Giải:

x  y y  z ( x  y ).z ( y  z ).x xz  yz  xy  xz




xy
yz
xyz
xyz
xyz
yz  xy y ( z  x) z  x



xyz
xyz
xz

c)

Bài 2: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

1
2
x  1 x 1
xy yz
 ;
b)

;
c)

;
2a 3b
x 1 x  1
xy
yz
2
12
1
2
d)
 2
;
e)
 22
x 3 x  9
x  2 x  4x  4
a)

Giải:

2
12
2.( x  3)
12
d)
 2


x  3 x  9 ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)
2 x  6  12
2x  6
2( x  3)
2




( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) x  3
1
2
1( x  2)
2
e)
 2


2
x  2 x  4 x  4 ( x  2) ( x  2) 2
x 22
x


( x  2) 2 ( x  2) 2

Bài 3: Thực hiện phép tính sau:

x2 x 3 x 4
a)


;
x  1 x  1 1 x

1
1
2x
b)

 2
;
x  5 x  5 x  25

Giải:
x2 x 3 x 4 x2 x 3 x 4
a)





x  1 x  1 1 x x  1 x  1 x  1
x  2  ( x  3)  ( x  4) x  2  x  3  x  4 9  x



x 1
x 1
x 1

2y2
c) x 
 y
x y

Bài 3: Thực hiện phép tính sau:

x2 x 3 x 4
a)


;
x  1 x  1 1 x

1
1
2x
b)

 2
;
x  5 x  5 x  25

Giải:

2y2
c) x 
 y
x y

1
1
2x
1( x  5)
1( x  5)
2x

 2



x  5 x  5 x  25 ( x  5)( x  5) ( x  5)( x  5) ( x  5)( x  5)
x  5  x  5  2x
2 x  10
2( x  5)
2




( x  5)( x  5)
( x  5)( x  5) ( x  5)( x  5) x  5
b)

2 y2
2 y 2 ( x  y )( x  y ) 2 y 2
c) x 
 y x  y 


x y
xy
x y
xy
x2  y 2  2 y 2 x2  2 y 2


x y
x y

Bài 4: Cùng đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 450km, xe
khách chạy với tốc độ x (km/h); xe tải chạy với tốc độ y (km/h) (x>y).
Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải bao
nhiêu giờ?
Giải
450
Thời gian xe khách đi từ thành phố A đến thành phố B là:
(giờ)
x

450
(giờ)
Thời gian xe tải đi từ thành phố A đến thành phố B là: 
y

Vì x > y nên xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải hay xe tải đi mất
thời gian nhiều hơn xe khách.
Do đó nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn
450 450 450 x  450 y
xe tải số giờ là:


(giờ)
y

x

xy

Bài 5:
Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài,
C
chiều rộng và thể tích được cho như hình vẽ. Hình
B và C có các kích thước giống nhau, hình A có
? A
cùng chiều rộng với B và C.
a cm3
a) Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật. Biểu thị
chúng bằng các phân thức cùng mẫu thức.
x cm
b) Tính tổng chiều cao của hình A và C, chênh lệch
chiều cao của hình A và B.

?
B

b cm3
y cm

zc

m

Giải
Bài 5:
a) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật A là: xz (cm2).
C
a
(cm)
Chiều cao của hình hộp chữ nhật A là:
xz
? A
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật B là: yz (cm )
2

b
Chiều cao của hình hộp chữ nhật B là:  yz (cm)

?
a cm3
x cm

B

b cm3
y cm

b
Do hình B và C có các kích thước giống nhau nên chiều cao của hình C là 
(cm)
yz
b
bx
a
ay


;
Ta có:
yz xyz
xz xyz
ay bx bx
(cm)
;
;
Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật A, B và C lần lượt là
xyz xyz xyz

zc

m

Bài 5:

Giải
C

b) Tổng chiều cao của hình A và hình B là:
ay bx ay  bx


xyz xyz
xyz

? A

(cm)

Chênh lệch chiều cao của hình A và hình B là:
ay bx ay  bx


(cm)
xyz xyz
xyz

?
a cm3
x cm

B

b cm3
y cm

zc

m