TOÁN 6
Chân Trời Sáng Tạo

Bài 13:

BỘI CHUNG.
BỘI CUNG NHỎ NHẤT

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. BỘI CHUNG
2. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
3. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ
NGUYÊN TỐ
4. ỨNG DỤNG TRONG QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN SỐ
5. BÀI TẬP

ÔN LẠI BÀI
CŨ
Câu 1: Dùng máy tính cầm tay để tìm ước chung lớn nhất của các số sau
a) 66 và 99

b) 1 300 và 728

c) 342 và 666

Câu 2: Rút gọn các phân số sau bằng cách sử dụng ước chung lớn nhất

696
a)
828

540
b)
324

a) ƯCLN(696, 828) = 12

696 696 : 12 58
=
=
828 828 : 12 69

c)

623
1 068

b) ƯCLN(540, 324) = 108

540 540 : 108 5
=
=
324 324 : 108 3

a) ƯCLN(66, 99) = 33
b) ƯCLN(1 300, 725) = 25
c) ƯCLN(342, 666) = 18

c) ƯCLN(623, 1 068) = 89

6 23
634 : 89
7
=
=
1 068 1 068 : 89 12

1. BỘI CHUNG

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

Hoạt động khám phá 1
a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”
Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng
một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một
lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây.
Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối.
Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể. 
Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ
phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ giây đầu
tiên.
Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy được kể từ giây đầu tiên thì sau 12 giây hai đèn sẽ sáng cùng lúc.

1. BỘI CHUNG

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

Hoạt động khám phá 1
b) Viết các tập B(2), B(3). Chỉ ra ba phần tử chung của hai tập hợp này.
Để tìm được bội của một số tự nhiên, ta lần lượt nhân số đó với các số 0, 1, 2, 3 …
Khi đó ta có:
B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; …}
B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; …}
Ba phần tử chung (khác 0) của hai tập hợp này là: 6; 12; 18.

1. BỘI CHUNG

✍

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

Ví dụ 1: Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; …}
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …}
Hai tập hợp này có một số phần tử chung như 0; 12; 24; 36; … Ta nói chúng là các bội chung của 4 và 6.

✍•
•

Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b)
Tương tự, tập hợp các bội chung của a, b, c kí hiệu là BC(a, b, c)

1. BỘI CHUNG

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

Thực hành 1
Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.
a) 20 ∈ BC(4, 10);

Đúng

b) 36 ∈ BC(14, 18);

Sai

c) 72 ∈ BC(12, 18, 36).

Đúng

a) B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; …}
B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}
⇒ BC(4, 10) = {0; 20; 40; …}
Do đó 20 ∈ BC(4, 10).

b) B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126 …}
B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}
⇒ BC(14, 18) = {0; 126;…}
Do đó 36 ∉ BC(14, 18)
c) B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; …}
B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}
 B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; 180 …}
⇒ BC(12, 18, 36) = {0; 72; 108; …}
Do đó 72 ∈ BC(12, 18, 36)

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

1. BỘI CHUNG

✍ Cách tìm bội chung của hai số a và b:

Ví dụ 2: Tìm BC(6, 8)
Giải
Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}
Nên BC(6; 8) = {0; 24; 48; …}

1. BỘI CHUNG

Thực hành 2

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT
Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).
B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; … }
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; … }
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; … }
b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4;
Từ câu a, ta có: BC(3, 4) = {0; 12; 24; 36; 48; 54; … }
⇒ M = {0; 12; 24; 36; 48}
c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.
Từ câu a, ta có: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; 72 … }
⇒ K = {0; 24; 48}

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

2. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Hoạt động khám phá 2
-

Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội
chung của 6 và 8.
Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với
các bội chung của 3, 4 và 8.

- Ta có:
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;
…}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}
Do đó: BC(6, 8) = {0; 24; 48; …}
Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là
24 và 24 là ước của các bội chung của 6
và 8. Nói cách khác các bội chung của 6
và 8 cũng là bội của BCNN này.

- Ta lại có:
B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48;
51; 54; …}
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}
Do đó: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; …}
Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là 24 và 24 là ước của tất cả
các bội chung của 3, 4, 8. Nói cách khác thì các bội chung của 3, 4,
8 là bội của BCNN này.

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

2. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

✍
•

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b)

•

Tương tự, bội chung nhỏ nhất của a, b, c kí hiệu là BCNN(a, b, c)

Nhận xét:
Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b). Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
Do đó, với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có:
BCNN(a, 1) = a;
BCNN(a, b, 1) = a . b.

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

2. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Thực hành 3
Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?
Ta có: 
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}
B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …}
Do đó: BC(4, 7) = {0; 28; 56; …}
Trong các bội chung của 4 và 7 thì 28 là số nhỏ nhất khác 0 
Nên BCNN(4, 7) = 28.
Ta có ƯCLN(4, 7) = 1 nên 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

3. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ
NGUYÊN
Quy tắc:TỐ

✍

Ví dụ 5: Tìm BCNN của 12, 90 và 150.
Giải
-

Phân tích mỗi số 12, 90, 150 ra thừa số nguyên tố:

-

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên,
mỗi thừa số lấy với mũ lớn nhất của nó:

-

Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5.

-

Vậy BCNN(12, 90, 150) = = 500

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

3. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ
NGUYÊN TỐ
BCNN(3, 7, 8);
BCNN(12, 16, 48).
Thực hành 4 Tìm BCNN(24, 30);
Phân tích mỗi số 24, 30 ra thừa số Phân tích mỗi số 3, 7, 8 ra thừa số Phân tích mỗi số 12, 16, 48 ra thừa
nguyên tố: 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5.

nguyên tố: 3 = 3; 7 = 7; 8 = 23.

số nguyên tố: 12 = 23. 4; 16 = 24. 3.

Các thừa số chung và riêng là 2, 3, 5.

Các thừa số chung và riêng là 2, 3, 7

Các thừa số chung và riêng là: 2, 3.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã Lập tích các thừa số chung và riêng đã Lập tích các thừa số chung và riêng
chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số
lớn nhất của nó: 23 . 3 . 5.

lớn nhất của nó: 23 . 3 . 7.

mũ lớn nhất của nó: 24 . 3.

Vậy BCNN(24, 30) = 23 . 3 . 5 = 120.

Vậy BCNN(3, 7, 8) = 2 3. 3 . 7 = 168.

Vậy BCNN(12, 16,48) = 24 . 3 = 48.

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

3. TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ
NGUYÊN TỐ
Chú ý:

✍

Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của số đó. Ví dụ:
BCNN(3, 7, 8) = 3 . 7 . 8 = 168.
Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn
nhất ấy. Ví dụ: BCN(12, 16, 48) = 48

Thực hành 5

Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30).

+) Vì 2; 5; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó BCNN của chúng là tích của các số đó
Do đó BCNN(2, 5, 9) = 2 . 5 . 9 = 90.
+) Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên 30 là bội của 10 và 15
Do đó: BCNN(10, 15, 30) = 30 

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

4. ỨNG DỤNG TRONG QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN
SỐQuy tắc:

✍

Ví dụ 6: Ta có thể quy đồng mẫu hai phân số và theo hai cách như sau:
Cách 1:
Ta có: 48 là một bội chung của 6 và 8;

Cách 2:

48 : 6 = 8; 48 : 8 = 6. Do đó:

Ta có: BCNN(6, 8) = 24;
24 : 6 = 4; 24 : 8 = 3. Do đó:

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

4. ỨNG DỤNG TRONG QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN
SỐThực hành 6

a) Ta có: BCNN(12, 30) = 60

b) Ta có: BCNN(2, 5, 8) = 40

60 : 12 = 5; 60 : 30 = 2. Do đó:

40 : 2 = 20; 40 : 5 = 8; 40 : 8 = 5. Do đó:

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

4. ỨNG DỤNG TRONG QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN
SỐThực hành 6

a) Ta có: BCNN(6, 8) = 24

a) Ta có: BCNN(24, 30) = 120

24 : 6 = 4; 24 : 8 = 3. Do đó:

120 : 24 = 5; 120 : 30 = 4. Do đó:

5. BÀI TẬP

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

BT1: Tìm:
a) BC(6, 14);              

 b) BC(6, 20, 30);

c) BCNN(1, 6);

     
d) BCNN(10, 1, 12);
a) Ta có: 6 = 2 . 3;  14 = 2 . 7

e) BCNN(5, 14).
c) Vì hai số 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau

=> BCNN(6, 14) = 2 . 3 . 7 = 42

=> BCNN(1, 6) = 1 . 6 = 6.

=> BC(6, 14) = B(42) = {0; 42; 84; 126;... }

d) Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 22 . 3

b) Ta có: 6 = 2 . 3; 20 = 22 . 5; 30 = 2 . 3 . 5

=> BCNN(10, 1, 12) = 22 . 3 . 5=60.

=> BCNN(6, 20, 30) = 22 . 3 . 5 = 60

e) Vì hai số 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau

=> BC(6, 20, 30) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}.

=> BCNN(5, 14) = 5 . 14 = 70.

5. BÀI TẬP

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

BT2: a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp
A.
b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy
vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:
i. 24 và 30;               
ii. 42 và 60;          
iii. 60 và 150;      
      iv. 28 và 35.
a) A = {0; 48; 96; 144, 192; ...}
* Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.
b) i. 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5
=> BCNN(24,30) = 23. 3 . 5= 120
=> BC(24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; ...}
ii. 42 = 2 . 3 . 7; 60 = 22 . 3 . 5
=> BCNN(42, 60) = 22 . 3 . 5 . 7 = 420
=> BC(42, 60) = B(420) = {0; 420, 840; 1260; …}.

iii. 60 = 22 . 3 . 5; 150 = 2 . 3 . 52
=> BCNN(60, 150) = 22 . 3 . 52 = 300
=> BC(60, 150) = B(300) = {0; 300, 600, 900, 1200; ...}.
iv. 28 = 22 . 7; 35 = 5 . 7
=> BCNN(28, 35) = 22 . 5 . 7 = 140
=> BC(28, 35) = B(140) = {0; 140; 280; 420, 560;...}

5. BÀI TẬP

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

BT3: Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) Ta có: BCNN(16, 24) = 48

b) Ta có: BCNN(20, 30, 15) = 60

48 : 16 = 3; 48 : 24 = 2. Do đó:

60 : 20 = 3; 60 : 30 = 2; 60 : 15 = 4. Do đó:

5. BÀI TẬP

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

BT4: Thực hiện các phép tính (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

5. BÀI TẬP

Bài 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ
NHẤT

BT5: Chị Hoà có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết.
Hỏi chị Hoà có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hoà có khoảng từ 200 đến 300 bông.
- Gọi số bông sen chị Hòa có là: x (bông), (x ∈ N).

- Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

- Nếu chị bó thành các bó bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 => BCNN(3, 5, 7) = 3 . 5 . 7 = 105
bông thì vừa hết nên số bông sen chị Hòa có là bội chung

=> BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315; ...}

của 3, 5 và 7.

=> x ∈ BC(3, 5, 7) = {0; 105; 210; 315; ...}.

- Theo đề bài ta có x ∈ BC(3, 5, 7) và 200 ≤ x ≤ 300

Mà 200 ≤ x ≤ 300 nên x = 210.
Vậy số bông sen chị Hòa có là 210 bông.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
• Xem lại nội dung bài học hôm nay
• Xem và hoàn thành trước nội dung

“Bài 14: HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆM”
• Đọc và chuẩn bị BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1