CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo thành một góc. Bên trong góc đó có một
điểm dân cư O. Phải mở một con đường thẳng đi qua O như thế nào để theo con
đường đó, hai đoạn đường từ điểm O đến hai con đường a và b bằng nhau (các
con đường đều là đường thẳng) (H.3.27)?

CHƯƠNG III. TỨ GIÁC
BÀI 12. HÌNH BÌNH HÀNH

NỘI DUNG BÀI HỌC
1
2
3

HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CỦA HÌNH BÌNH
HÀNH
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH
THEO GÓC VÀ ĐƯỜNG CHÉO

1. HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

Khái niệm hình bình hành
HĐ 1: Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể
giải thích tại sao không?

Hình 3.28 c) là hình bình hành, vì có hai hai cặp cạnh đối song song với
nhau: AB // CD; AD // BC.

KẾT LUẬN
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1 (SGK – tr57)
Trong hình 3.29 cho tứ giác ABCD và ba góc bằng nhau. Tứ giác
ABCD có là hình bình hành không? Tại sao?
Giải
Ta có và chúng ở vị trí so le trong nên .
Tương tự, .
Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình
bình hành.

THỰC HÀNH 1
Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen
giữa hai cạnh đó bằng . Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ
được là hình bình hành.
Giải
• Kẻ cạnh AB có độ dài bằng 3cm.
• Đặt tâm của thước đo góc trùng với điểm A,
đường kẻ 0º trùng với đoạn AB, và xác định sao
cho AD = 4cm.

Giải

y
x
C

• Từ điểm D, kẻ đường thẳng x qua D và song song với AB.
• Kẻ đường thẳng y qua B và song song với AD, hai đường x và y cắt nhau tại
C. Ta có hình bình hành ABCD.

Tính chất của hình bình hành
HĐ 2: Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.

- Các góc đối bằng nhau.
- Các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

HĐ 3: Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).
a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA.
Từ đó suy ra và .
b) Chứng minh ∆ABD = ∆CDB.
Từ đó suy ra 
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng
minh ∆AOB = ∆COD.
Từ đó suy ra .

Giải
a) Xét và có:
chung
(so le trong)
(so le trong)
= (g.c.g)
;.

Giải
b) Xét và có:
chung
(theo câu a)
(so le trong)
= (c.g.c)

^
^
⇒ 𝐷𝐴𝐵= 𝐵𝐶𝐷

Giải
c) Xét và có:
(theo câu a)
(hai góc đối đỉnh)
(so le trong)
= (g.c.g)

⇒𝑂𝐴=𝑂𝐶;𝑂𝐵=𝑂𝐷

KẾT LUẬN
Định lí 1: Trong hình bình hành có:
a) Các cạnh đối bằng nhau;
b) Các góc đối bằng nhau;
c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
GT

ABCD là hình bình hành;
O là giao điểm của AC và BD.

KL

a) AB = CD; AD = BC;
b)
c) .

NHẬN XÉT

Ta có: (định lí 1)
.
Mà

Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì thì bù nhau.

LUYỆN TẬP 1
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt
cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn
NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.
Giải
Xét tứ giác ANMP ta có: AN // MP (gt); AP // NM
(gt)
Suy ra ANMP là hình bình hành.
Có: AM và PN là hai đường chéo của hình bình
hành ANMP, I là trung điểm của PN, suy ra I cũng

TRANH LUẬN

Hình thanh cân thì có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình
thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân.

Tròn sai rồi! Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên
bằng nhau nhưng nó không phải là hình thang cân.
Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

Giải
- Theo em, Vuông đúng. Vì:
Hình bình hành trong hình học Euclid là một hình tứ giác được tạo thành khi hai
cặp đường thẳng song song cắt nhau. Nó là một dạng đặc biệt của hình thang.

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CỦA
HÌNH BÌNH HÀNH

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh
- Nếu một tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó có là
một hình bình hành.
Định lí 2:
a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.
b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là
một hình bình hành.

Câu hỏi: Hãy viết giải thiết, kết luận của Định lí 2.
Giải
a)

GT

Tứ giác ABCD, có:
AB = CD; AD = BC

b)

KL

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

GT

Tứ giác ABCD, có:
AB // CD và AB = CD

KL

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 2 (SGK – tr59)
Cho hình bình hành . Từ kẻ cùng vuông góc với (H.3.31). Chứng minh tứ giác
là hình bình hành.
Giải
GT
KL

là hình bình hành;

AH ⊥ BD , CK ⊥ BD ( H , K ∈ BD )
là hình bình hành.

Giải
Theo giả thiết là hình bình hành nên và ,
suy ra (hai góc so le trong).
Hai tam giác vuông và có , (cmt) (ch – gn).

Do đó .
Mặt khác, và cùng vuông góc với nên .
Tứ giác có cặp cạnh đối và song song và bằng nhau nên theo Định
lí 2, tứ giác là hình bình hành.

LUYỆN TẬP 2
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân
giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32).

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: .
Mà DE và BF là tia phân giác của và .
Nên ta có: (1)
Ta có: (so le trong).
cân tại A.
Tương tự ta chứng minh được: cân tại C.
+ Xét và có:
AD = BC (ABCD là hình bình hành).

= (g.c.g)

Giải

b) Ta có: (theo câu a)
Mà (so le trong).
Tứ giác DEBF là hình bình hành.

THỰC HÀNH 2
Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn
bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi
dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như
Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Giải

• Theo định lí 2a: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.
• Vì sợi xích có đoạn dài ngắn xen kẽ nhau, hai đoạn dài bằng nhau, hai
đoạn ngắn bằng nhau nên tứ giác đó chính là hình bình hành.

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH
THEO GÓC VÀ ĐƯỜNG CHÉO

Định lí 3:
a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.
GT Tứ giác ABCD, có:
KL Tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình
bình hành.
GT Tứ giác ABCD, có:
KL Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 3 (SGK – tr60)
Trong ba tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là
hình bình hành? Vì sao?

Hình bình hành

Hình bình hành

Hình b: Không là hình bình hành vì hai góc A và C không bằng nhau

LUYỆN TẬP 3
Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A',
B' là các điểm sao cho O là trung điểm của AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và
đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.
Giải
Cho điểm: A, B, A', B' phân biệt;
GT

O không nằm trên AB.
O là trung điểm AA' và BB'.

KL

A'B' = AB; A'B' // AB.

Giải

Xét tứ giác ABA'B' ta có: AA' và BB' là hai đường chéo của tứ giác;
O là trung điểm của mỗi đường, suy ra ABA'B' là hình bình hành (định lí 3b).

Từ đó suy ra A'B' = AB và A'B' // AB (định lí 1a).

VẬN DỤNG
Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi
qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng
nhau.

Giải
- Gọi C là giao điểm của a và b. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm của đoạn CD.
- Từ D vẽ đường thẳng song song với b, cắt a tại A và đường thẳng song song với
a, cắt b tại B.
- Ta có CD và AB là hai đường chéo của hình bình hành CADB, chúng cắt nhua tại
O nên OA = OB.
Hình minh họa:

LUYỆN TẬP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD có  = α > 900. Ở phía ngoài hình
bình hành vẽ các tam giác đều ADE, ABF. Tam giác CEF là tam giác
gì? Chọn câu trả lời đúng nhất.
A. Tam giác  
C. Tam giác đều

 

B. Tam giác cân
D. Tam giác tù

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Hãy chọn câu sai.
A. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau
C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
D. Hai bình hành có hai cặp cạnh đối song song

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Hãy chọn câu sai:
A. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành
B. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình bình hành
C. Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
D. Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Tứ giác có hai đường chéo …
thì tứ giác đó là hình bình hành”.
A. Bằng nhau
B. Cắt nhau
C. Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
D. Song song

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Hãy chọn câu đúng. Cho hình bình hành ABCD có các điều kiện như
hình vẽ, trong hình có:
A. 3 hình bình hành                           
B. 5 hình bình hành
C. 4 hình bình hành                           
D. 6 hình bình hành

Bài 3.13 (SGK – tr.61)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
Vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
Vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.
Vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

Bài 3.14 (SGK – tr.61)
Giải

Tính các góc còn lại của hình
bình hành ABCD trong Hình 3.35

Ta có ABCD là hình bình hành, nên: và
.
Ta có :

Bài 3.15 (SGK – tr.61)
Cho hình bình hành . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh
Giải
Ta có là hình bình hành; là trung
điểm , là trung điểm .
Tứ giác là hình bình hành
Vậy

Bài 3.16 (SGK – tr.61)
Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không
là hình bình hành? Vì sao?

Giải
• Hình 3.36 a là hình bình hành, vì:
Hai góc đối :
Hai góc đối :
• Hình 3.36 b không phải hình bình hành, vì :
Hai góc đối  
• Hình 3.36 c là hình bình hành, vì :
Hai góc đối :
Hai góc đối :

VẬN DỤNG

Bài 3.17 (SGK – tr.61)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng
minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;
b) EF = AD, AF = EC.