CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500
nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng
trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người)
của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công
thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì
vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn
người?

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ
CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 5: DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Định nghĩa dãy số

2

Cách cho một dãy số

3

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1.
ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi
tắt là dãy số), nghĩa là
*
u:  
n  un u (n).
Dãy số trên được kí hiệu là un  .

Dạng khai triển của dãy số un  là: u1; u2 ;; un ;
Chú ý:
a) u1 u (1) gọi là số hạng đầu, un u (n) gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số.
b) Nếu un C với mọi n , ta nói un  là dãy số không đổi.

2.
CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

2. Cách xác định dãy số
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát un .
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
- Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
- Cho một công thức tính un theo un  1 (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Ví dụ : Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1;3;5;;19

n 1
Ví dụ 2. Cho dãy số un  với un 
.
3n  1
a) Tìm ba số hạng đầu tiên.
b) Tính u50 và u99 .

u1 1, u2 1
(n 3) .
Ví dụ 3. Cho dãy số un  xác định bởi: 
un un  1  un  2
Tính u5*

3.
DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
HĐ 4: a) Xét dãy số  với . Tính  và so sánh với .
b) Xét dãy số  với  . Tính  và so sánh với .
Trả lời:
a) Ta có:
Xét hiệu ta có:  
tức là .
Vậy .

Trả lời:
b) Ta có: .
Xét hiệu ta có:
2

𝑛 − (𝑛 + 1 )
1
1
−
=
𝑛 + 1 − 𝑣 𝑛=
2
2
2
2
𝑛
( 𝑛+1 )
𝑛 ( 𝑛+ 1 )

2

𝑛 − ( 𝑛 +2 𝑛+1 )
2 𝑛+1
¿
=−
<
0
,
∀
𝑛
∈
ℕ
∗
2
2
2
2
𝑛 (𝑛 +1 )
𝑛 ( 𝑛+1 )
2

Tức là ,
Vậy ,

2

LUYỆN TẬP 3

Xét tính tăng, giảm của dãy số , với
Giải

1
1
1
Ta có: 𝑢𝑛 = 𝑛 +1 , 𝑢𝑛 +1= ( 𝑛+1 ) +1 = 𝑛+ 2

Tức là . Vậy (un) là dãy số giảm.

1
𝑢𝑛 =
𝑛 +1

Nhận biết dãy số bị chặn
HĐ 5: Cho dãy số  với ,
a) So sánh  và 1.
Trả lời:
a) Ta có:
b) Ta có: suy ra
Do đó, .

b) So sánh  và 2.

KẾT LUẬN
• Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
với .
• Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
• Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

LUYỆN TẬP 4
Xét tính bị chặn của dãy số với
Giải
Ta có:
Do đó, dãy số bị chặn dưới.
Dãy số không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
với mọi .
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

VẬN DỤNG
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương
năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25
triệu đồng. Gọi  (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho
công ty đó. Khi đó ta có:               
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh  là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

LUYỆN TẬP

Bài tập 2.1 (SGK-tr46)
Viết năm số hạng đầu và số
hạng thứ 100 của các dãy
số  có số hạng tổng quát cho
bởi:
a)          
b)     
c) 

Bài tập 2.2 (SGK-tr46)
Dãy số  cho bởi hệ thức truy hồi: 
với
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng
tổng quát .

Bài tập 2.4 (SGK-tr46)
Trong các dãy số  sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

𝑛+1
𝑛 −1
a ¿ 𝑢 𝑛=𝑛 – 1 b ¿ 𝑢 𝑛=
𝑐 ¿ 𝑢𝑛 = 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑑 ¿ 𝑢𝑛=( – 1)
𝑛2
𝑛+2

VẬN DỤNG

Bài tập 2.5 (SGK-tr46)
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số
hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 4 dư 1.
Giải

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...
Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ*.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số
nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là
un = 3n với n ∈ ℕ*.

Bài tập 2.5 (SGK-tr46)
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà
mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 4 dư 1.
Giải

b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4n + 1 với
n ∈ ℕ *.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số
nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dưa là
un = 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Bài tập 2.6 (SGK-tr46)
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một
năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu
được sau n tháng được cho bởi công thức:

(

0,06
𝐴𝑛=100. 1+
12

)

𝑛

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Giải
a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:
(triệu đồng).
Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:
(triệu đồng).
b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là:
(triệu đồng).

Bài tập 2.7 (SGK-tr47)
Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần
2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau  tháng.
a) Tìm lần lượt  để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số .

Giải
a) Ta có: A0 = 100 (triệu đồng)
• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là: 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là: 2 – 0,8 = 1,2 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là:
A1 = 100 – 1,2 = 98,8 (triệu đồng).
• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là: 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là:
2 – 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là:
A2 = 98,8 – 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).

Giải

• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là:
97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là:
2 – 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là:
A3 = 97,5904 – 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).
• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là:
96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là:
2 – 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là:
A4 = 96,3711232 – 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).

Giải

• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là:
95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là:
2 – 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là:
A5 = 95,1420932 – 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).
• Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là:
93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là:
2 – 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là:
A6 = 93,9032332 – 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).

Giải

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An) là:
A0 = 100; An = An – 1 – (2 – An – 1. 0,8%) = 1,008An – 1 – 2.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Ghi nhớ

Hoàn thành các

Chuẩn bị trước

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

Bài 6. Cấp số cộng.

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI!