1. Bài toán



Cho tam giác ABC vuông tại A
(BC = a; AB = c; AC = b).
Tính các tỷ số: a/sinA; b/sinB;
c/sinC và có nhận xét gì về các tỷ
số này

A

B

I
C

Nhận xét:

- Tam giác ABC vuông tại A nên A nằm trên đường
tròn đường kính BC (BC=2R)
- Các tỷ số này đều bằng BC

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

2. Định lý sin trong tam
giác


Định lý:
Với mọi tam giác ABC, ta có:

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hình minh họa

2. Định lý sin trong tam
giác
Chứng minh:
Ta chứng minh hệ thức: a/sinA=2R


TH1:
Góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và
khi đó vì tam giác BCD vuông tại C nên
ta có BC=BD.sinD hay a= 2R.sinD

A

D
O
B

a
C

2. Định lý sin trong tam
giác

 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung).
Ta có: BAC
BDC

A

Do đó:
a=2R.sinA
hay

a
2 R
sin A

D
O
B

a
C

2. Định lý sin trong tam
giác


TH2: Nếu góc A tù
Ta có: tứ giác ABCD nội tiếp (O)

A

 1800  A
Nên: D

C
a

0

Do đó: sin D sin(180  A)
Mà: BC=BD.sinD
Hay a=BD.sinA
Vậy: a=2RsinA

a
2 R
sin A

B
O

D

2. Định lý sin trong tam
giác


Tương tự ta cũng chứng minh được:

b
2 R
sin B


c
2 R
sin C

Tóm lại ta có:

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

Ví Dụ 1:


Cho tam giác ABC có BC = 6 và góc
A=45, góc B=60. Tính AC.
Giải:
BC
AC

Theo công thức định lý hàm số sin ta có:

sin A

Suy ra: AC = (BCsinB)/sinA

3
6
2 3 6
=
2
2

sin B

Ví Dụ 2:


Từ hai vị trí A (ở mặt đất) và B của toà nhà, người ta
quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng AB bằng 70m,
phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 ,
phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 030'.
Hỏi ngọn núi cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
C

B

15030'

70
300
A

H

Ví Dụ 2:


 600 , 
Ta có: CAB
ABC 105030 ', c 70
 1800  ( A  B
 ) 1800  165030 '
C

b
c
AC
70

hay

(Đlý sin)
0
0
sin B sin C
sin105 30 ' sin14 30 '
C

B

15030'

70
300
A

H

Ví Dụ 2:
70.sin105030 '
AC 
296, 4(m)
0
sin14 30 '



Do đó:



Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất.
Suy ra: CH=AC/2=134,7(m) (CAH là nửa tam giác đều)
Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m
B

15030'

C

135 m

70
300
A

H