THÂN MẾN CHÀO CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

Hãy nêu lại định nghĩa tam giác nội
tiếp. Từ đó, em hãy đưa ra dự đoán về
thế nào là tứ giác nội tiếp.

BÀI 29.
TỨ GIÁC NỘI TIẾP

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Đường tròn ngoại tiếp một tứ giác

2

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
và hình vuông

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
MỘT TỨ GIÁC

 HĐ1: Cho tứ giác ABCD có (H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn
đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm
là trung điểm O của đoạn thẳng BD.
Giải:
Vì tam giác ABD vuông tại A nên
ba điểm A, B, D thuộc đường
tròn đường kính BD. Mà O là
trung điểm của BD nên ba điểm
A, B, D thuộc đường tròn (O).

Giải:
Vì tam giác CBD vuông tại C nên
ba điểm C, B, D thuộc đường
tròn đường kính BD. Mà O là
trung điểm của BD nên ba điểm
C, B, D thuộc đường tròn (O).
Do đó, 4 đỉnh của tứ giác ABCD
cùng nằm trên một đường tròn
có tâm là trung điểm O của BD.

 HĐ2: Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho
ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các
cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?
Giải:
Ta có A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O)
nên OA = OB = OC = OD.
Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.
Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của BC.

 HĐ2: Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho
ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các
cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?
Giải:
Vì OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.
Vì OD = OA nên O nằm trên đường trung trực của DA.
Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD,
DA có đồng quy tại O.

ĐỊNH NGHĨA
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ
giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và
đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Ví dụ 1: Trong các hình sau (H.9.30), hình nào vẽ một
tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Giải
Hình a và b không vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn vì mỗi tứ giác có ba
đỉnh nằm trên đường tròn và đỉnh còn lại không nằm trên đường tròn.

Ví dụ 1: Trong các hình sau (H.9.30), hình nào vẽ một
tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Giải
Hình c vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn vì tứ giác có
bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

 HĐ3: Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong
HĐ2 và tính tổng . So sánh kết quả của em với các bạn.
Giải:

Sử dụng thước đo góc ta đo được
và
Ta có:

ĐỊNH LÍ
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .
GT

Tứ giác ABCD nội tiếp (O)

KL

.
Chứng minh
Do hai điểm B, D chia đường tròn (O) thành hai
cung và nên .

ĐỊNH LÍ
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .
Chứng minh
Do và là các góc nội tiếp của đường tròn (O) lần
lượt chắn cung và nên

Tương tự, .

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.32.
Hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Biết rằng , . Tính số đo
của các góc BCD và BXC.
Giải

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn
(O) nên các góc đối diện có tổng số đo
bằng .
Do đó , hay
.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.32.
Hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Biết rằng , . Tính số đo
của các góc BCD và BXC.
Giải

Tương tự, ta có: , hay .
Vì tổng các góc trong tam giác AXD bằng
nên:

Luyện tập 1
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng ,
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung
điểm của cạnh BC.
b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.
Giải

a) Gọi là trung điểm của Vì các tam giác
vuông với cạnh huyền chung nên Vậy tứ
giác nội tiếp đường tròn

Luyện tập 1
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng ,
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung
điểm của cạnh BC.
b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.
Giải

b) Do tổng các góc đối nhau của tứ giác
nội tiếp bằng 180o nên:

Thử thách nhỏ 1 Cho tứ giác ABCD, biết rằng
các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB,
AC, AD đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì
sao ABCD là tứ giác nội tiếp.
Giải

Gọi là giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng
Do mỗi điểm trên đường trung trực một đoạn thẳng đều cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng nên:
Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn

2. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH VUÔNG

 HĐ4: Vẽ hình chữ nhật ABCD và giao điểm M của hai đường chéo
AC và BD (H.9.33).
a) Hãy giải thích vì sao điểm M cách
đều bốn đỉnh của hình chữ nhật
ABCD.
b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCD
nội tiếp một đường tròn có bán kính
bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Giải:
a) Hình chữ nhật có
Suy ra (Hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường)
Vậy cách đều 4 đỉnh của .
b) Vì cách đều 4 đỉnh A, B, C, D nên hình chữ nhật nội tiếp
đường tròn tâm
Vì là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật nên

 HĐ5: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh
bằng 3 cm như Hình 9.34. Hãy xác định tâm,
vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
và cho biết bán kính của đường tròn đó.
Giải:
Gọi là giao điểm của và của hình vuông.
Vì là hình vuông
nên

Giải:

Nên bốn điểm cùng nằm trên đường tròn tâm , bán kính

bằng nửa đường chéo
Xét vuông cân tại có:

cm
cm
Vậy, đường tròn ngoại tiếp hình vuông có tâm là giao
hai đường chéo và bán kính bằng

điểm

GHI NHỚ
Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn
ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo
và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao
nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?
Giải

Chỉ có duy nhất một hình vuông như vậy.
Vì, một đường chéo là đường kính đi qua
đỉnh , đường chéo còn lại là đường kính
vuông góc với đường kính trên.

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao
nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?
Giải

Do vậy, hai đường chéo của hình vuông
hoàn toàn xác định một cách duy nhất
nên các đỉnh còn lại của hình vuông hoàn
toàn xác định một cách duy nhất.

Ví dụ 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, AD = 4 cm. Vẽ đường tròn
(O; R) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tính bán kính R.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ
đường tròn tâm O bán kính R = OA.
Đường tròn (O; R) vừa vẽ ngoại tiếp
hình chữ nhật ABCD (H.9.35).

Ví dụ 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, AD = 4 cm. Vẽ đường tròn
(O; R) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tính bán kính R.
Giải

Áp dụng định lí Pythagore cho
tam giác ABD vuông tại A, ta có:

nên .
Do đó, ta có .

Luyện tập 2

Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3 cm.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng
tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn
ngoại tiếp của tứ giác đó.
Giải

Do MN là đường trung bình của
nên MN // AC. Tương tự, NP //
BD, PQ // AC, QM // BD.

Giải

Vì là hình thoi nên
Do vậy,
Suy ra là hình chữ nhật có đường chéo
Gọi là giao điểm của và Khi đó MO,
PO là đường trung bình của các tam
giác ABC và ACD.

Giải

Suy ra MO // BC // AD // PO và
Như vậy M, O, P thẳng hàng. Do
đó bán kính của đường tròn
ngoại tiếp hình chữ nhật là

Thử thách nhỏ 2
Nếu các hình chữ nhật có chung một đường
chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và
AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng
có cùng nằm trên một đường tròn không?
Giải
Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn
đường kính AC, hay bốn điểm A, B, C, D cùng nằm
trên đường tròn đường kính AC.

Giải
Vì AECF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường
tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, E, C, F
cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.
Do đó các điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên
đường kính AC.
Vậy các đỉnh của hai hình chữ nhật có chung một đường
chéo thì các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn
đường kính là đường chéo chung đó.

LUYỆN TẬP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tứ giác nội tiếp đường tròn . Chọn khẳng định sai
A.
B.
C.
D.

Câu 2. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng
nhau.
B. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng nhau thì
tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
C. Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp.
D. Hình thang là một tứ giác nội tiếp.

Câu 3. Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm trên tia đối
của tia . Kẻ tiếp tuyến của nửa đường tròn ( với là tiếp điểm ).
Tia cắt tia của nửa đường tròn tại . Khi đó tứ giác là:
A. Hình thang.

B. Tứ giác nội tiếp.

C. Hình thang cân.

D. Hình bình hành.

Câu 4. Cho đường tròn và điểm cố định nằm ngoài đường
tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn là 2 tiếp điểm).
Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại và ( . Gọi là
trung điểm . Khẳng định nào sau đây đúng:
A.

B.

C.

D.

Câu 5. Cho đường tròn đường kính . Gọi là điểm nằm giữa và .
Kẻ dây vuông góc với tại . Trên cung nhỏ lấy điểm , kẻ tại .
Đường thẳng cắt tại . Tính bằng:
A.

B.

C.

D.

Bài 9.18 (SGK – tr.83) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo
của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a)

b)

c)

d)

Giải

a)
b)
c)
d)

Bài 9.20 (SGK – tr.83)
Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Giải
Do hình bình hành nội tiếp nên tổng các góc đối
nhau bằng 180o. Do đó
Do vậy hình bình hành có hai góc vuông nên là hình
chữ nhật.

Bài 9.21 (SGK – tr.83)
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp
đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Giải
Vì hình thang nội tiếp đường tròn nên các góc
đối diện có tổng số đo bằng .
Do đó: (1)
Vì là hình thang nên // ,
nên (2)

Bài 9.21 (SGK – tr.83)
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp
đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Giải
Từ (1)(2) suy ra
Hình thang có hai góc kề cùng một đáy bằng
nhau là hình thang cân.

VẬN DỤNG

Bài 9.19 (SGK – tr.83) Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O).
Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C,
D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng
, và
Giải
Do tổng các góc đối nhau của tứ giác
nội tiếp bằng 180o nên:

Bài 9.19 (SGK – tr.83) Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O).
Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C,
D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng
, và
Giải
Mặt khác, từ các đẳng thức trên ta
suy ra (g.g).
Do đó hay

Bài 9.22 (SGK – tr.83)
Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có
chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 2,5 cm.
Giải

Gọi hình chữ nhật đó là Khi đó
Theo định lí Pythagore cho vuông tại ta có:
Do đó
Do đó SABCD = AB . BC = 10 (cm2).

Bài 9.23 (SGK – tr.83)
Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và
cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng
nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm
khung nửa đường tròn đó.
Giải

Khung cửa là một nửa của hình

chữ nhật với kích thước 6 cm × 4 cm và
nội tiếp một đường tròn với một nửa là
khung thép trên.