toán hình học 7 (kết
nối tri thức)

Bài 35. sự đồng quy của ba
đường trưng trực,
ba đường cao trong một tam
giác

Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh một tam giác ( không tù ). Họ
muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà. Các bạn có thể giúp họ chọn địa
điểm để khoan giếng không?

Định nghĩa: Đường trung trực của mỗi
cạnh gọi là đường trung trực của tam
giác.
d là đường trung
trực của tam giác
ABC
3 đường d, m, n là 3
đường trung trực của
tam giác ABC

SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Định lí: Ba đường trung trực của tam giác luôn đi qua một điểm
duy nhất (đồng quy tại một điểm). Điểm này cách đều ba đỉnh
của tam giác.
O là giao điểm ba đường trung
trực của tam giác ABC thì OA =
OB = OC
O còn gọi là tâm đường tròn đi
qua ba đỉnh của tam giác ABC

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác
ABC.
a/ CMR: AI là đường trung trực của cạnh BC
b/ Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên AI không?
GT
có AB = AC
D ABC
AI là đường trung tuyến

KL

AI là đường trung trực của cạnh BC

Giải:
Hai tam giác AIB và AIC có: AB = AC (gt), IB = IC (do AI là
trung tuyến), cạnh AI chung. Do đó D AIB = D AIC (c.c.c)
· = AIC
· = 900
· = AIC
·
Từ đó suy ra AIB
mà 2 góc này là 2 góc kề bù nên AIB
Do đó AI là đường trung trực của cạnh BC.
b/ Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường
trung trực của cạnh BC nên ta có điểm đó cũng nằm trên trung
tuyến AI

Trong tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến
AI cũng đồng thời là đường trung trực của BC

Chú ý: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cũng cách
đều ba đỉnh A, B, C

Vận dụng:
Trả lời câu hỏi lúc đầu

Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu
vườn là ba đỉnh một tam giác ( không tù ). Họ muốn
khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi
nhà. Các bạn có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan
giếng không?

SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC
Định nghĩa: Đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A,
vuông góc với cạnh đối diện BC là một
đường cao của tam giác ABC.
Đôi khi ta cũng nói đường thẳng AI là một đường
cao của tam giác ABC

Tam giác ABC có ba đường cao

Định lí: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
Chú ý:
- Điểm H là trực tâm của tam giác ABC.
- Nếu tam giác ABC nhọn thì H nằm bên
trong tam giác
- Nếu tam giác ABC vuông tại A thì H trùng
với A
- Nếu tam giác ABC tù thì H nằm bên ngoài
tam giác

Ví dụ 2
Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác.
GT

Tam giác đều ABC có H là trực tâm

KL

H cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

Chứng minh:
Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AI.
Hai tam giác vuông ABI và ACI có: AI chung, AB = AC (gt).
Do đó D AIB = D AIC (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra BI = IC.
Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC.
Vì tam giác ABC đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là ba đường trung trực
của nó. Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực nên nó cách đều
ba đỉnh của tam giác.

Luyện tập 2.

a. Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực
của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát
từ đỉnh A của tam giác đó
b. Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng
cách đều ba cạnh của tam giác
HD:
a. Chứng minh AI là đường cao thì ta cần chứng minh AI vuông góc với BC
· = CAI
·
Chứng minh AI là đường phân giác thì cần chứng minh các góc BAI
bằng nhau
Vậy ta cần chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?
b. Tam giác đều cũng là tam giác cân nên ta có kết quả tương tự

Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ
đỉnh A đồng thời là đường trung trực, đường phân
giác, đường trung tuyến của tam giác đó.

So sánh – Tóm tắt
Tên đường

Giao tại

Tên điểm

Trung trực

Cách đều ba đỉnh

Tâm đường tròn ngoại tiếp

Đường cao

Vuông góc từ đỉnh

Trực tâm

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

- Học các định lí.
- Làm các bài tập trong SGK, SBT