CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN
VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi
đại biểu tham dự có thể sử dụng được bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả
được biểu diễn như bảng sau:
Số ngoại ngữ

1

2

3

4

5

Số đại biểu

84

64

24

16

12

Hãy tính tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất hai ngoại ngữ.

CHƯƠNG 7.
MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ
BÀI 2. BẢNG TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI
VÀ BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Bảng tần số tương đối

2. Biểu đồ tần số tương đối

1.
BẢNG TẦN SỐ
TƯƠNG ĐỐI

HĐKP 1
Điều tra về “Loại nhạc cụ bạn muốn chơi nhất” đối với các bạn trong lớp,
bạn Dương thu được ý kiến trả lời và ghi lại như dưới đây:

a) Có bao nhiêu loại nhạc cụ được các bạn nêu ra?
b) Hãy xác định tỉ lệ phần trăm học sinh chọn mỗi loại nhạc cụ.

Giải:
a) Có 7 loại nhạc cụ được các bạn chọn.
b) Bảng tần số

Nhạc cụ

Đàn

Đàn

piano guitar

Sáo Trống

Đàn

Kèn

Đàn

violin

harmonica

bầu

Tần số

9

6

4

3

4

2

2

Tỉ lệ (%)

30

20

13,3

10

13,3

6,7

6,7

N = 30

Định nghĩa
Tần số tương đối của một giá trị trong mẫu dữ liệu được tính theo
công thức
trong đó là tần số của và là cỡ mẫu.
Bảng tần số tương đối biểu diễn tần số tương đối của mỗi giá trị trong
mẫu dữ liệu. Bảng gồm hai dòng (hoặc hai cột), dòng (hoặc cột) thứ
nhất ghi các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu, dòng (hoặc cột) thứ
hai ghi các tần số tương đối tương ứng với mỗi giá trị đó.

Ví dụ 1: Sau bài thi môn Ngữ văn, cô giáo ghi lại số lỗi chính tả mà một số
học sinh mắc phải vào bảng thống kê sau:

a) Mẫu số liệu trên gồm những giá trị khác nhau nào?
b) Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối của số lỗi chính tả mà
học sinh mắc phải.
c) Trong số học sinh được khảo sát, cô giáo muốn chọn ra 35% số học
sinh mắc nhiều lỗi nhất để hướng dẫn cách sửa. Hỏi cô giáo cần chọn các
học sinh mắc bao nhiêu lỗi?

Giải:
a) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu là:
b) Kích thước mẫu
Bảng tần số:

Số lỗi chính tả
Tần số

Giải:
Tương tự, ta tính được tần số tương đối của các giá trị lần lượt là
Ta thu được bảng tần số tương đối như sau:

Số lỗi chính tả
Tần số tương đối
c) Vì nên cô giáo cần chọn các bạn mắc lỗi hoặc lỗi.

Nhận xét:
Bảng tần số tương đối giúp chúng ta nhanh chóng quan sát được đặc
điểm của mẫu dữ liệu như tần số tương đối của mỗi giá trị, giá trị xuất
hiện thường xuyên nhất, giá trị xuất hiện ít thường xuyên nhất, … Bảng
tần số tương đối cũng giúp chúng ta so sánh mức độ xuất hiện thường
xuyên của một giá trị trong nhiều mẫu số liệu khác nhau.

Chú ý:
- Tổng tần số tương đối của tất cả các giá trị luôn bằng 100%.
- Có thể ghép bảng tần số tương đối thành bảng tần số - tần số tương đối.

Ví dụ 2: Bạn Linh gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một số lần và
ghi lại tần số tương đối số lần xuất hiện của mỗi mặt trong bảng thống kê
sau:

Mặt

1 chấm

Tần số tương đối
Số liệu trong bảng tần số tương đối trên có hợp lí không? Tại sao?
Giải:
Ta có:
Như vậy, số liệu trong bảng tần số tương đối là không hợp lí
vì tổng tần số tương đối của tất cả các giá trị nhỏ hơn

Thực hành 1

Trong bảng số liệu sau có một số liệu không chính xác.
Hãy tìm số liệu đó và sửa lại cho đúng.

Tần số
Tần số tương đối
Giải:
Vì nên một trong các số liệu về tần số tương đối không chính xác.
Do chỉ có một số liệu không chính xác nên các tần số là chính xác.
Tính lại các tần số tương đối theo tần số đã có ở trên thì số liệu là sai. Số
liệu đúng phải là

VẬN DỤNG 1
a) Hãy lập bảng tần số tương đối cho bài toán ở HĐKĐ (trang 31)
b) Tại trại hè thanh thiếu niên quốc tế tổ chức 1 năm trước đó, có 54
trong tổng số 220 đại biểu tham dự có thể sử dụng được từ 3 ngoại
ngữ trở lên. Có ý kiến cho rằng: “Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3
ngoại ngữ trở lên có tăng giữa hai năm đó”. Ý kiến đó đúng hay sai?
Giải thích.

Giải:

a) Bảng tần số tương đối
Số ngoại ngữ
Tần số tương đối

b) Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên ở trại hè năm trước
Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên ở trại hè năm nay là:
Vậy ý kiến cho rằng “Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên
có tăng giữa hai năm đó” là đúng.

2. BIỂU ĐỒ
TẦN SỐ
TƯƠNG ĐỐI

HĐKP 2
Khảo sát ngẫu nhiên 200 người về nhóm máu của họ. Kết quả thu được
thể hiện ở biểu đồ hình quạt tròn như hình bên. Hãy cho biết nhóm máu
nào phổ biến nhất, nhóm máu nào hiếm nhất.

Nhóm máu O phổ biến nhất,
nhóm máu AB hiếm nhất.

Định nghĩa
Biểu đồ biểu diễn tần số tương đối của các giá trị trong mẫu dữ
liệu gọi là biểu đồ tần số tương đối.
Biểu đồ tần số tương đối thường có dạng hình quạt tròn hoặc
dạng cột.
Trong biểu đồ hình quạt tròn, hình quạt tròn biểu thị tần số tương
đối a% có số đo cung tương ứng là a% .360 = 3,6a.
Trong biểu đồ cột, độ cao của mỗi cột tương ứng với tần số tương
đối của từng giá trị.

Bạn Minh thống kê lại số quyển sách mà mỗi bạn trong lớp đã đọc sau
tuần lễ đọc sách và ghi lại trong bảng dưới đây:
Số quyển sách
Số học sinh
a) Lập bảng tần số tương đối biểu diễn số liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn biểu diễn số liệu trên.

Giải:
a) Tổng số học sinh là:
Số quyển sách
Tần số tương đối
b) Số đo cung tròn tương ứng với các hình quạt tròn biểu diễn tần số
tương đối của các giá trị như sau:
Số quyển sách
Số đo cung

Giải:
Ta vẽ được biểu đồ hình quạt tròn như sau:

Đầu năm 2022, một công ty vận tải khảo sát ngẫu nhiên một số khách
hàng về mức độ hài lòng khi sử dụng dịch vụ của công ty. Trong năm
2022, công ty đã tiến hành một số cải tiến và đến cuối năm 2022, công
ty lại tiến hành khảo sát.
Dữ liệu về số lượng phản hồi theo các mức độ của khách hàng trong
hai đợt khảo sát được thống kê lại ở bảng sau:
Mức độ hài lòng

Không hài lòng

Hài lòng

Rất hài lòng

Đầu năm 2022

24

60

16

Cuối năm 2022

18

84

48

Đợt khảo sát

a) Hãy lựa chọn và vẽ biểu đồ phù hợp để so sánh mức độ hài lòng của
khách hàng trong hai đợt khảo sát.
b) Có người cho rằng các cải tiến của công ty không hiệu quả do tỉ lệ
khách hàng đánh giá ở mức “Hài lòng” giảm. Theo em nhận định đó có
chính xác không? Tại sao?

Giải:
a) Để so sánh mức độ hài lòng của khách hàng trong hai đợt khảo sát,
ta sẽ sử dụng biểu đồ cột kép mô tả tần số tương đối của các mức độ
hài lòng sau hai cuộc khảo sát.
Trước tiên, ta lập bảng tần số tương đối:
Mức độ hài lòng

Không hài lòng

Hài lòng

Rất hài lòng

Đầu năm 2022

24%

60%

16%

Cuối năm 2022

12%

56%

32%

Đợt khảo sát

Giải:

Giải:
b) Nhận định trên là không chính xác vì tỉ lệ khách hàng đánh giá ở
mức "Hài lòng” giảm 4% nhưng tỉ lệ khách hàng đánh giá ở mức
“Không hài lòng” giảm một nửa, từ 24% xuống còn 12% và tỉ lệ
khách hàng đánh giá ở mức “Rất hài lòng” tăng gấp đôi, từ 16% lên
đến 32%.

Thực hành 2
Bạn Mai phỏng vấn một số bạn học sinh cùng trường về màu mực
mỗi bạn yêu thích nhất. Kết quả được cho ở bảng sau:
Màu mực

Xanh đen

Đen

Tím đậm

Tím hồng

Tần số
Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn để biểu diễn
mẫu số liệu điều tracủa bạn Mai.

Giải:
Bảng tần số tương đối của số học sinh phân theo màu mực yêu thích
Màu mực

Xanh đen

Tần số
Biểu đồ tần số tương đối của
số học sinh phân theo màu
mực yêu thích

Đen

Tím đậm

Tím hồng

VẬN DỤNG 2

Một cửa hàng thống kê lại số điện thoại di động bán
được trong tháng 4/2022 và tháng 4/2023 ở bảng

Thương hiệu

sau:
A

B

C

D

Các thương hiệu khác

Tháng 4/2022

54

48

32

96

20

Tháng 4/2023

60

56

60

120

24

a) Hãy lựa chọn và vẽ biểu đồ phù hợp để thấy được xu thế thay đổi lựa
chọn thương hiệuđiện thoại giữa hai đợt thống kê.
b) Hãy cho biết trong các thương hiệu điện thoại A, B, C, D, thương hiệu
nào tăng trưởngcao nhất, thương hiệu nào tăng trưởng thấp nhất.

Giải:
a) Do ta cần so sánh số lượng điện thoại bán được trong hai tháng giữa
bốn thương hiệu điện thoại nên biểu đồ tần số dạng cột kép là phù hợp.
Bảng tần số tương đối dạng cột kép
Thương hiệu

A

B

C

D

Các thương hiệu khác

Tháng 4/2022

21,6%

19,2%

12,8%

38,4%

8%

Tháng 4/2023

18,75%

17,5%

18,75%

37,5%

7,5%

Giải:
Biểu đồ tần số tương đối dạng cột kép

LUYỆN TẬP

Câu 1. Tổng điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế
(IMO – hình thức thi trực tiếp) của Việt Nam đạt được trong các năm
2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018,
2019, 2020, 2022, 2023 được thống kê lần lượt như sau : 159 ; 161 ;
133 ; 113 ; 148 ; 180 ; 157 ; 151 ; 151 ; 155 ; 148 ; 177 ; 150 ; 196 ;
180. (Nguồn : https://imo-official.org).
a) Cho biết có bao nhiêu số liệu thống kê ở trên.
A. 14

B. 15

C. 30

D. 28

Câu 1. Tổng điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế
(IMO – hình thức thi trực tiếp) của Việt Nam đạt được trong các năm
2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018,
2019, 2020, 2022, 2023 được thống kê lần lượt như sau : 159 ; 161 ;
133 ; 113 ; 148 ; 180 ; 157 ; 151 ; 151 ; 155 ; 148 ; 177 ; 150 ; 196 ;
180. (Nguồn : https://imo-official.org).
b) Trong các số liệu thống kê ở trên có bao nhiêu giá trị khác nhau ?
A. 13

B. 12

C. 15

D. 14

Câu 2. Thống kê số quyển sách quyên góp ủng hộ thư viện nhà
trường của 100 học sinh khối 9 như sau :

a) Tần số tương đối của giá trị 32 là?
A. 15%

B. 20%

C. 25%

D. 30%

Câu 2. Thống kê số quyển sách quyên góp ủng hộ thư viện nhà
trường của 100 học sinh khối 9 như sau :

b) Tần số tương đối của giá trị 27 là?
A. 15%

B. 20%

C. 25%

D. 30%

Câu 2. Thống kê số quyển sách quyên góp ủng hộ thư viện nhà
trường của 100 học sinh khối 9 như sau :

c) Tần số tương đối của giá trị 50 là ?
A. 5%

B. 10%

C.15%

D. 20%

Bài 1 (SGK – tr.37) Bảng sau thống kê số lượt nháy chuột vào quảng cáo ở
một trang web vào tháng 12/2022.
Số lượt nháy chuột

0

1

2

3

4

5

Số người dùng

25

56

12

9

5

3

a) Lập bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn biểu diễn mẫu số liệu trên.
Giải:
a) Ta có bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu như sau :
Số lượt nháy chuột
Tần số tương đối

0

1

2

3

4

5

22,73% 50,91% 10,91% 8,18% 4,55% 2,72%

Giải:
b) Như vậy, ta có biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn mẫu số liệu sau :

Bài 2 (SGK – tr.37) Biểu đồ hình quạt tròn dưới đây biểu diễn tần số
tương đối của các ngôn ngữ lập trình được sử dụng khi viết 200 phần
mềm của một công ty công nghệ. Biết rằng, mỗi phần mềm được viết
bằng đúng một ngôn ngữ lập trình.
a) Ngôn ngữ lập trình nào được
sử dụng phổ biến nhất khi viết
200 phần mềm đó?
b) Hãy lập bảng tần số biểu diễn
số liệu cho bởi biểu đồ trên.

Giải:
a) Quan sát biểu đồ hình quạt
tròn, ta có thể thấy ngôn ngữ lập
trình Python sử dụng phổ biến
nhất khi viết 200 phần mềm đó.
b) Bảng tần số

Ngôn ngữ lập trình Python JavaScript Java C++ Các ngôn ngữ khác
Tần số

68

58

36

24

14

VẬN DỤNG

Bài 3 (SGK – tr.37) Người ta thường đặt tương ứng các mức độ hài lòng
của khách hàng với điểm số đánh giá như sau:
Điểm
Mức độ hài lòng

1

2

Rất không Không hài
hài lòng
lòng

3

4

5

Chấp nhận
Rất hài
Hài lòng
được
lòng

Chỉ số mức độ hài lòng CSAT (Customer Satisfaction Score) là một chỉ số
đo lường sự hài lòng của khách hàng về một dịch vụ nào đó. Chỉ số này
được tính theo công thức:
CSAT

a) Bảng sau cung cấp điểm đánh giá của người dùng dành cho cửa hàng
A.
Điểm

1

2

3

4

5

Số người dùng

2

4

2

9

25

Hãy tính chỉ số CSAT của cửa hàng A.
b) Bảng sau cung cấp điểm đánh giá của người dùng dành cho cửa hàng
B.
Điểm

1

2

3

4

5

Số người dùng

32

12

10

15

139

Hãy lựa chọn và vẽ biểu đồ phù hợp để so sánh mức độ hài lòng của
người dùng dành cho cửa hàng A và cửa hàng B. Có thể nói cửa hàng
B được yêu thích hơn do có số lượt đánh giá 4 điểm trở lên nhiều hơn
so với cửa hàng A hay không?
Giải:
a) Chỉ số CSAT của cửa hàng A là :

Giải:
b) Bảng tần số tương đối về mức độ hài lòng của người dùng dành cho mỗi
cửa hàng A và B như sau :
Cửa hàng A

Điểm
Tần số tương đối

1

2

3

4

5

4,76% 9,52% 4,76% 21,43% 59,53%

Cửa hàng B

Điểm
Tần số tương đối

1

2

15,38%

5,77%

3

4

5

4,81% 7,21% 66,83%

Giải:
Ta lựa chọn biểu đồ cột kép để so sánh mức độ hài lòng của người dùng
dành cho mỗi của hàng A và B.

Giải:
Do số lượng người đánh giá dành cho mỗi cửa hàng A, B là khác nhau
nên ta không nên dựa vào số lượng người đánh giá để so sánh mà nên
dựa vào tần số tương đối của từng điểm đánh giá ở từng cửa hàng.
Tần số tương đối người dùng đánh giá từ 4 điểm trở lên dành cho cửa
hàng A là :
Tần số tương đối người dùng đánh giá từ 4 điểm trở lên dành cho cửa
hàng B là :
Vì 80,96% > 74,04% nên chưa thể kết luận là cửa hàng B được yêu
thích hơn cửa hành A.

Bài 4 (SGK – tr.37) Trong bảng số liệu sau có một số liệu không
chính xác. Hãy tìm số liệu đó và sửa lại cho đúng.
Tần số

12

17

15

9

Tần số tương đối

24%

34%

24%

18%

Giải:
Vì 24% + 34% + 24% + 18% = 100% nên các số liệu tần số tương đối
không thể sai (nếu sai thì phải có ít nhất 2 số liệu không chính xác,
điều này mâu thuẫn với thông tin chỉ có 1 số liệu không chính xác).