CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY.
TOÁN 8

KHỞI ĐỘNG
Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt
cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai
hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các
cạnh bên của hình thang ban đầu (Hình 3.11). Hãy giải thích
tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.

BÀI 11:
HÌNH THANG CÂN

NỘI
DUNG
BÀI
HỌC
III

I

Hình thang, hình thang
cân

II

Tính chất của hình
thang cân

Dấu hiệu nhận biết

1. Hình thang. Hình thang cân
Hai đường thẳng song
song với nhau khi nào ?
Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng không có
điểm chung nào
Khái niệm:
+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang ABCD có:
Đáy nhỏ AB song song với đáy
lớn CD
Cạnh bên AD và BC
Đường cao AH

Nhận xét:
Hình thang ABCD có: AB // CD
ˆA =ˆB.
ˆC =ˆD.
VìˆA và ˆB là hai góc kề cùng một đáy nhỏ AB, nên hình
thang ABCD là hình thang cân.
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một
đáy bằng nhau.
Chú ý: Trong hình thang, hai góc kề một đáy bằng nhau thì
hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.
Ví dụ 1:  Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD)
biết ˆA=120°.

Vì ABCD (AB // CD) là hình thang cân nên ˆB =ˆA =120°.
Do ˆA+ˆD=180° (hai góc kề bù) nên ˆD = 180° − ˆA
=180°−120° = 60°.
⇒ˆC =ˆD = 60°.
Chứng minh rằng hai góc kề một
cạnh bên của hình thang bù nhau.
A
- Xét hình thang ABCD có  AB//CD. 
⇒ ˆA1 = ˆD( đồng vị ) 
D
Mà ˆA1+ˆBAD =180°( kề bù ) 
⇒ ˆD + ˆBAD =180° (trong cùng phía) 
⇒Vậy hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn bù
nhau

1)

B

C

Luyện tập 1:Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB //
CD), biết ˆC=40° (H.3.15).
giải:
Hình thang cân ABCD (AB // CD)
nên ta có:ˆA=ˆB; ˆD =ˆC = 40°
ˆA +ˆB +ˆC +ˆD = 360°
Khi đó: ˆA+ˆA + 40°+40° = 360°
Hay 2ˆA + 80° = 360°
Suy ra 2ˆA =360° − 80° = 280°.
Do đó ˆA =140° nên ˆB =140°.
Vậy ˆA =140° ; ˆB =140° ;ˆC = 40°;ˆD = 40° 

2. Tính chất của hình thang cân

HĐ1:
Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và AB < CD (H.3.16).
a, Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD.
Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI =
∆IBA.
b, Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC.

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên ˆBAI=ˆAIH
(hai góc so le trong).
Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.
Do đó ˆAIB=ˆHAI (hai góc so le trong).
Xét ∆AHI và ∆IBA có:
ˆBAI=ˆAIH(chứng minh trên);
Cạnh AI chung;
ˆAIB=ˆHAI (hai góc so le trong).
Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).
Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên ˆC=ˆD(1)
Xét ∆AHD vuông tại H có ˆDAH+ˆD = 90°(2) (trong tam
giác vuông, hai góc nhọn có tổng số đo bằng 90°).
Tương tự, ∆BIC vuông tại I có ˆCBI+ˆC=90° (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ˆDAH=ˆCBI .
Xét ∆AHD và ∆BIC có:
ˆAHD=ˆBIC=90° (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈
CD);
AH = BI (chứng minh câu a);
ˆDAH=ˆCBI(chứng minh trên).
Do đó ∆AHD = ∆BIC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Luyện tập 2 
Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18.
Biết rằng ˆA =ˆB=ˆD1.
Chứng minh rằng AD = BC.
Giải:
Ta có ˆA=ˆD1 mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
Mặt khác hình thang ABCD có ˆA=ˆB nên ABCD là hình
thang cân.
Do đó AD = BC (đpcm).

HĐ2:Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC,
BD (H.3.19). 
Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC.
Từ đó suy ra AC = BD.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên AD = BC; 
ˆADC =ˆBCD.
Xét ∆ACD và ∆BDC có
AD = BC (chứng minh trên);
ˆADC=ˆBCD(chứng minh trên);
Cạnh CD chung.
Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Luyện tập 3 
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song
song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E
(H.3.20).

a, Tứ giác DECB là hình gì?
b,Chứng minh BE = CD.
Lời giải:
a,Theo đề bài: d // BC nên DE // BC
Suy ra DECB là hình thang.
Vì tam giác ABC cân tại A nên ˆB=ˆC.
Hình thang DECB có ˆB=ˆC nên là hình thang cân.

b,Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.
Do đó BE = CD (đpcm).
Thực hành
a Vẽ hình thang có hai đường chéo
bằng nhau theo các bước sau:
-Vẽ hai đường thẳng song song a, b.
Trên a lấy hai điểm A, B.
- Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho
cung tròn tâm A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và
hai đoạn thẳng AC, BD cắt nhau. Hình thang ABCD có hai
đường chéo AC và BD bằng nhau.
b, Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?

Giải:
a, Học sinh vẽ hình theo các bước đã nêu ở đề bài.
b, Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.
Do đó ABCD là hình thang cân.
Bài 3.5 trang 55
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông
góc với AC tại C và đường vuông góc với BD tại D, hai
đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC =
ED thì hình thang ABCD là hình thang cân
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆DOE và ∆COE có:
ˆODE=ˆOCE=90°(vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)
EC = ED (giả thiết)
Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác OCD cân tại O nên ˆC1=ˆD1.
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy
ra ˆA1=ˆC1;ˆB1=ˆD1(cặp góc so le trong).
Do đó ˆA1=ˆB1 (vì ˆC1=ˆD1).
Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.
Xét ∆OAD và ∆OBC có:
OA = OB (chứng minh trên)
ˆAOD =ˆBOC (hai góc đối đỉnh)

OC = OD (chứng minh trên)
Do đó ∆OAD = ∆OBC (c.g.c)
Suy ra ˆC2=ˆD2(hai góc tương ứng).
Ta có ˆADC=ˆD1+ˆD2;ˆBCD=ˆC1+ˆC2.
Mà ˆC1=ˆD1 ;ˆC2=ˆD2 nên ˆADC=ˆBCD.
Hình thang ABCD có ˆADC=ˆBCD nên ABCD là hình
thang cân.
Bài tập 3.8 trang 55
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có các đường thẳng AD,
BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J.
Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của
đoạn thẳng AB

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:
AD = BC (tính chất hình thang)
CD chung
AC = BD (do ABCD là hình thang cân)
Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c.c.c)
Suy ra  ACD^=BDC^ hay  JCD^=JDC^
⇒ Tam giác JCD cân tại I.
Do đó JD = JC (1)
Tam giác ICD có hai góc ở đáy bằng nhau  C^=D^ nên tam
giác ICD cân tại I
⇒ ID = IC (2)
Từ (1) và (2) suy ra IJ là đường trung trực của CD.
Chứng minh tương tự có JA = JB, IA = IB
Suy ra J và I cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng
AB.
Do đó, IJ là đường trung trực của AB.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!