BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

GIẢI
Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính (x > 0, y > 0).
Vật có khối lượng 124 g nên ta có x + y = 124.
Vậy biểu thức biểu thị khối lượng của vật qua x và y là: x + y = 124.

GIẢI

Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính (x > 0, y > 0).

Vì 1 cm3 đồng nặng 8,9 g

1
10
3
(
)
=
cm
Nên 1 g đồng có thể tích  8,9 89
Thể tích của x (g) đồng là 

10
3
(
x cm )
89

Vì 1 cm3 kẽm nặng 7 g
1
3
(
)
cm
Nên 1 g kẽm có thể tích  7

1
3
(
)
y
cm
Thể tích của y (g) kẽm là  7
10
1
x + y=15
3
Vật có thể tích 15 cm  nên ta có  89
7
Vậy biểu thức biểu thị thể tích của vật qua x và y là

10
1
x + y=15
89
7

GIẢI
Từ HĐ1 và HĐ2 ta có hệ phương trình 

{

x  +  y  = 124                      (1)
10 1
x+ y=15 (2)
89 7

Nhân hai vế của phương trình (2) với 7, ta được: 

Trừ từng vế phương trình (1) và (3), ta được:

x = 89  (thỏa mãn điều kiện)

Thế x = 89 vào phương trình (1), ta có:
89 + y = 124
y = 124 – 89
y = 35  (thỏa mãn điều kiện)
Vậy trong vật đó có 89 g đồng và 35 g kẽm.

GIẢI

Gọi x (km/h), y (km/h) lần lượt là vận tốc của xe khách và xe tải (x

> 0, y > 0).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km nên ta có x – y = 15.
Đổi 1 giờ 40 phút = 53 giờ, 40 phút = 23 giờ.
Thời gian xe khách đi được là: 23 + 53 = 73 (giờ).
Quãng đường xe khách đi được là: 73x (km).
Quãng đường xe tải đi được là: 23y (km).
Vì quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ dài 170 km

(1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình (2) với 3, ta được:
 
Từ phương trình (1), ta có: y = x – 15

Thế y = x – 15 vào phương trình (3), ta được:

Từ đó y = 60 – 15 = 45

7x + 2 . (x – 15) = 510

(thỏa mãn điều kiện)

7x + 2x – 30 = 510

Vậy vận tốc của xe khách là

9x = 510 + 30

60 km/h và vận tốc của xe

9x = 540

tải là 45 km/h.

x = 60 (thỏa mãn điều kiện)

GIẢI
Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một
mình để đầy bể (x > 0, y > 0).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được  

1
1
(bể);
vòi thứ hai chảy được    (bể).
x
y

Đổi: 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Sau 1 giờ 20 phút, vòi thứ nhất chảy được
Sau 1 giờ 20 phút, vòi thứ hai chảy được

1
80 . (b ể )
x

1
80 . (b ể )
y

Sau 1 giờ 20 phút, cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên ta có phương trình:

1 1
1
h ay + =
(1)
x 2 trong
y 1280
Mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ
phút thì chỉ được  
nước nên ta có phương trình: 

2
15

5 6
1
hay + =
(2)
x y 15

  bể

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
Đặt u =

; v = . Khi đó hệ phương trình trở thành: 
1
x

1
y

Nhân hai vế của phương trình (3) với 5, ta được: 
Trừ từng vế phương trình (4) cho phương trình (5), ta được:

1
hay v =
240

1
Thế v =  240 vào phương trình (3), ta có:

1
1
1
•  V ớ iu=
th ì =
suy ra x=120( thỏ a m ã n đ i ề u ki ệ n)
120
x 120

1
1
1
•V ớ i v =
thì =
suy ra y =240(thỏ a m ã n đ i ề u ki ệ n)
240
y 240
Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút, vòi thứ
hai 240 phút.

Lời giải:
Gọi số cần tìm là (a, b ∈ ℕ*; 0 < a < b < 10)
Tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có a + b = 12

(1)

Số ban đầu là  = 10a + b.
Khi đổi chỗ hai chữ số thì ta được số mới là  = 10b + a

Số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị nên ta có phương trình:
10a + b + 36 = 10b + a
36 = 10b + a – 10a – b
9b – 9a = 36
b – a = 4         (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình 

Cộng từng vế phương trình (1) và (2), ta được:
2b = 16
b=8

 

(thỏa mãn điều kiện).

Thay b = 8 vào phương trình (1), ta có:
a + 8 = 12
a = 12 – 8
a = 4 
Vậy số cần tìm là 48.

(thỏa mãn điều kiện).

Lời giải:
Gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y (x, y ∈ ℕ; 0 ≤ x < 100, 0 ≤
y < 100).

Số lần bắn là 100 nên ta có: 
25 + 42 + x + 15 + y = 100
x + y = 100 – 25 – 42 – 15
x + y = 18. 

(1)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69
điểm nên tổng điểm sau 100 lần bắn là 100 . 8,69 = 869

Ta có phương trình:
10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y = 869
250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869
8x + 6y = 869 – 250 – 378 – 105
8x + 6y = 136
4x + 3y = 68        (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
Nhân hai vế của phương trình (1) với 3, ta được: 
Trừ từng vế phương trình của (2) cho phương trình (3) , ta được:
x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 14 vào phương trình (1), ta có:
14 + y = 18
y = 18 – 14
y = 4 

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Lời giải:
Gọi số thóc của đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm
ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc
nên ta có phương trình: x + y = 3 600  (1)
Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15%  so với năm ngoái nên năm nay đội
sẽ thu hoạch được: 115%x = 1,15x (tấn thóc).
Đội thứ hai làm vượt mức 12%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu
hoạch được: 112%y = 1,12y (tấn thóc)
Theo đề bài, năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc nên ta có phương
trình:

1,15x + 1,12y = 4095

(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
Từ phương trình (1) ta có y = 3 600 – x
Thế y = 3 600 – x vào phương trình (2), ta được:
1,15x + 1,12(3 600 – x) = 4 095
1,15x + 4 032 – 1,12x = 4 095
0,03x + 4 032 = 4 095
0,03x = 4 095 – 4 032

0,03x = 63
x = 2 100 (thỏa mãn điều kiện)

Từ đó y = 3 600 – 2 100 = 1 500 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 1,15 . 2 100 = 2 415 tấn thóc, đội
thứ hai thu hoạch được 1,12 . 1 500 = 1 680 tấn thóc.
Dùng máy tính cầm tay ta kiểm tra lại kết quả thu được.
Hệ phương trình:
Ta có a1 = 1, b1 = 1, c1 = 3600, a2 = 1,15, b2 = 1,12, c2 = 4095.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

MO
DE

5

1

1=1=3600=1.15=1.12=4095=

=

=

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2100; 1500)
Từ đó, kết quả thu được năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2 415 tấn thóc, đội
thứ hai thu hoạch được 1 680 tấn thóc là đúng.

Lời giải:
Gọi x (giờ) và y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai
một mình hoàn thành công việc. (x > 16, y > 16)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 

1
(công
việc)
x

1
Trong 1 giờ, người thứ hai làm được  (công
việc)
y
Trong 1 giờ, cả hai người làm được 

1 1
+
x y (công việc).

Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương
trình:

Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn
thành 25% công việc (hay 14 công việc) nên ta có phương trình:

1
1
1
hay +2 . =
(2)
x
y 12
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 

1
1
Đặt u = x ; v = y . Khi đó hệ phương trình trở thành: 

Trừ từng vế phương trình (4) cho phương trình (3) , ta được:

1
hay v =
48

1
Thế v = 48 vào phương trình (3), ta có:

1
1
1
•  V ớ i   u=
th ì
=
, suy ra x =24 ¿
24
x
24
1
1
1
•  V ớ i   v =
th ì
=
, suy ra y = 48 ¿
48
x
48
Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người
thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Vào năm 2005, có tổng cộng 55 lần phóng vệ tinh thương mại và phi
thương mại trên toàn thế giới. Ngoài ra, số lần phóng vệ tinh phi thương mại
nhiều hơn 1 lần so với hai lần số lần phóng vệ tinh thương mại. Tính số lần
phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005.
Bài 2. Một ca nô đi ngược dòng sông một quãng đường 6 km thì hết  giờ. Mặt
khác, ca nô đó chỉ mất 45 phút để đi xuôi dòng sông một quãng đường tương
tự. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 3. Để pha chế 1 000 lít cồn nồng độ 16%, người ta trộn lẫn dung dịch cồn
nồng độ 10% và dung dịch cồn nồng độ 70%. Tính số lít mỗi dung dịch cồn
nồng độ 10% và nồng độ 70% cần dùng.
Bài 4. Chi phí để anh Hưng và ban nhạc của anh thu âm đĩa CD đầu tiên là 30
triệu đồng và mỗi đĩa CD sẽ có giá 8 nghìn đồng để sản xuất. Nếu ban nhạc
bán đĩa CD của mình với giá 20 nghìn đồng mỗi đĩa thì phải bán bao nhiêu đĩa
để hoà vốn (tức là doanh thu bằng với chi phí thu âm và sản xuất)?

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 5. Chị Hương tập thể dục vào mỗi buổi sáng trong vòng 40 phút. Chị ấy
kết hợp giữa thể dục nhịp điệu giúp đốt cháy khoảng 11 calo mỗi phút và giãn
cơ giúp đốt cháy khoảng 4 calo mỗi phút. Mục tiêu của chị là đốt cháy 335
calo trong mỗi buổi tập sáng của mình.
a) Viết hệ phương trình biểu thị thời gian chị dành cho mỗi hoạt động tập.
b) Từ hệ phương trình lập được ở câu a, tính thời gian chị nên dành cho mỗi
hoạt động tập để đạt được mục tiêu của mình.

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 6. Một cửa hàng sách có hai khu sách mới và sách cũ, mỗi khu được bán
đồng giá. Mai chi 112 500 đồng để mua 3 cuốn sách mới và 4 cuốn sách cũ,
còn Linh chi 157 500 đồng đề mua 10 cuốn sách cũ và 3 cuốn sách mới. Tính
giá mỗi cuốn sách mới và giá mỗi cuốn sách cũ.
Bài 7. Hùng dự định chạy 4 km trong tuần tập luyện đầu tiên và tăng quãng
đường chạy thêm 1 km mỗi tuần. Trong khi đó, Huy lại dự định sẽ bắt đầu chạy
1 km trong tuần đầu tiên và sau đó tăng thêm 2 km mỗi tuần. Hỏi ở tuần thứ
bao nhiêu thì hai người có tổng quãng đường chạy là bằng nhau và quãng đường
đó là bao nhiêu kilômét?