KHỞI ĐỘNG
Bài toán:
Mai cần mua đĩa giấy, cốc giấy để chuẩn bị cho một
bữa tiệc sinh nhật. Đĩa và cốc được đóng thành từng
gói với số lượng mỗi loại khác nhau: gói 4 cái đĩa và
gói 6 cái cốc. Cửa hàng chỉ bán từng gói mà không bán
lẻ. Mai muốn mua số đĩa và số cốc bằng nhau thì phải
mua ít nhất bao nhiêu gói mỗi loại?

Để giúp Mai mua được
số đĩa và số cốc bằng nhau,
chúng ta sẽ tìm hiểu trong
bài mới hôm nay

Tiết 22 - Bài 13:
BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a. Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

HOẠT ĐỘNG NHÓM: Hoàn thành phiếu học tập

00:00
00:01
00:02
00:03
00:04
00:05
00:06
00:07
00:08
00:09
00:10
00:11
00:12
00:13
00:14
00:15
00:16
00:17
00:18
00:19
00:20
00:21
00:22
00:23
00:24
00:25
00:26
00:27
00:28
00:29
00:30
00:31
00:32
00:33
00:34
00:35
00:36
00:37
00:38
00:39
00:40
00:41
00:42
00:43
00:44
00:45
00:46
00:47
00:48
00:49
00:50
00:51
00:52
00:53
00:54
00:55
00:56
00:57
00:58
00:59
01:00
01:01
01:02
01:03
01:04
01:05
01:06
01:07
01:08
01:09
01:10
01:11
01:12
01:13
01:14
01:15
01:16
01:17
01:18
01:19
01:20
01:21
01:22
01:23
01:24
01:25
01:26
01:27
01:28
01:29
01:30
01:31
01:32
01:33
01:34
01:35
01:36
01:37
01:38
01:39
01:40
01:41
01:42
01:43
01:44
01:45
01:46
01:47
01:48
01:49
01:50
01:51
01:52
01:53
01:54
01:55
01:56
01:57
01:58
01:59
02:00
02:01
02:02
02:03
02:04
02:05
02:06
02:07
02:08
02:09
02:10
02:11
02:12
02:13
02:14
02:15
02:16
02:17
02:18
02:19
02:20
02:21
02:22
02:23
02:24
02:25
02:26
02:27
02:28
02:29
02:30
02:31
02:32
02:33
02:34
02:35
02:36
02:37
02:38
02:39
02:40
02:41
02:42
02:43
02:44
02:45
02:46
02:47
02:48
02:49
02:50
02:51
02:52
02:53
02:54
02:55
02:56
02:57
02:58
02:59
03:00
03:01
03:02
03:03
03:04
03:05
03:06
03:07
03:08
03:09
03:10
03:11
03:12
03:13
03:14
03:15
03:16
03:17
03:18
03:19
03:20
03:21
03:22
03:23
03:24
03:25
03:26
03:27
03:28
03:29
03:30
03:31
03:32
03:33
03:34
03:35
03:36
03:37
03:38
03:39
03:40
03:41
03:42
03:43
03:44
03:45
03:46
03:47
03:48
03:49
03:50
03:51
03:52
03:53
03:54
03:55
03:56
03:57
03:58
03:59
04:00
04:01
04:02
04:03
04:04
04:05
04:06
04:07
04:08
04:09
04:10
04:11
04:12
04:13
04:14
04:15
04:16
04:17
04:18
04:19
04:20
04:21
04:22
04:23
04:24
04:25
04:26
04:27
04:28
04:29
04:30
04:31
04:32
04:33
04:34
04:35
04:36
04:37
04:38
04:39
04:40
04:41
04:42
04:43
04:44
04:45
04:46
04:47
04:48
04:49
04:50
04:51
04:52
04:53
04:54
04:55
04:56
04:57
04:58
04:59
05:00
TG

HĐ1

Tìm các tập hợp B(6) và B(9)
B(6) = ………………………..
B(9) = ………………………..

HĐ2 Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội
của 9. Hãy viết tập hợp BC(6, 9)
BC(6, 9) = ……………………

HĐ3

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là số …

HOẠT ĐỘNG NHÓM: Hoàn thành phiếu học tập
HĐ1

Tìm các tập hợp B(6) và B(9)
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72;…}
B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;...}

HĐ2 Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội
của 9. Hãy viết tập hợp BC(6, 9)
BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; 72;… }
HĐ3

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là số 18

KHÁI NIỆM
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất
khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

KÍ HIỆU
BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b
BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b

Chú ý
Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

Ví dụ 1:

Hoạt động cá nhân, nêu cách tìm bội chung và bội
chung nhỏ nhất của 4 và 6.
Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 4 và 6.
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;...}
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30;…}
BC(4, 6) = {0; 12; 24;…}
BCNN(4, 6) = 12

Ví dụ 2: (BT mở đầu)

Để mua cùng số lượng n cái mỗi loại thì n  BC(4, 6)
Để mua ít nhất thì n = BCNN(4, 6) = 12
Vậy bạn Mai có thể mua ít nhất 12 cái mỗi loại
hay mua 3 gói đĩa và 2 gói cốc.

b. Tìm bội chung nhỏ nhất trong trường hợp đặc biệt

Em có cách
khác ngắn hơn
Tròn và vuông đều làm rất
tốt

Nhận xét 1:
Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại
thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.
Nếu a b thì BCNN(a, b) = a

Nhận xét 2:
Mỗi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên
a và b (khác 0), ta có:
BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

HOẠT ĐỘNG CÁ NHÂN
? Tìm BCNN(36, 9)?

Bài làm:
Vì 36 9 nên BCNN(36, 9) = 36

Luyện tập 1:
Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 6 và 8

b) 8; 9; 72

Bài làm:
a) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;…}
B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}
BC(6, 8) = {0; 24; 48;…}
BCNN(6, 8) = 24

b) Vì 72 8 và 72 9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72

Vận dụng:
Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối
với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy
vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao
nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng
một tháng?

Hướng dẫn
- Tìm số tháng mà những lần tiếp theo máy A bảo dưỡng.
- Tìm số tháng mà những lần tiếp theo máy B bảo dưỡng.
- Tìm số tháng mà những lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng.
- Tìm số tháng ít nhất lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng.

Hướng dẫn
Số tháng mà những lần tiếp theo máy A bảo dưỡng là B(6)
Số tháng mà những lần tiếp theo máy B bảo dưỡng là B(9)
Số tháng mà những lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng là BC(6,
9)
Số tháng ít nhất lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng là BCNN(6, 9)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Đọc và ghi nhớ nội dung chính của bài.
- Làm bài tập vận dụng, các bài tập 2.36; 2.38 (SGK/53).
- Tìm hiểu trước mục 2 và mục 3.

XIN CẢM ƠN CÁC THẦY
CÔ GIÁO VÀ CÁC EM!

Có cách nào tìm bội chung nhỏ nhất của
hai hay nhiều số mà không cần liệt kê
các bội của mỗi số hay không?

2. CÁCH TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra
thừa số nguyên tố.
Ví dụ: Tìm BCNN(75, 90)
1

Phân tích các số 75 và 90 ra thừa số nguyên tố, ta được:
75 = 3 . 5 . 53=. 52
90 = 2 . 3 . 3 . 25 .=32 . 5

2

Thừa số nguyên tố chung và riêng:

3

2; 3; 5

Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi thừa số lấy với
số mũ lớn nhất của nó.
BCNN(75, 90) =

.

2

.

2

= 450

Quy tắc:
Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
1

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

2

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

3

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ
lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

So sánh cách tìm ƯCLN và BCNN
ƯCLN

BCNN

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố:

Chung

Chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy
với số mũ:

Nhỏ nhất

Lớn nhất

?

Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15,
biết: 9 = 32 và 15 = 3 . 5
Giải:
Thừa số nguyên tố chung là 3 và riêng là 5
Khi đó BCNN(8, 12) = 32 . 5 = 45

Ví dụ 3:
Tìm BCNN(18, 24, 40) bằng cách phân tích các số
ra thừa số nguyên tố.

Giải:

Ta có:
18 = 2 . 32
24 = 23. 3
40 = 23. 5
BCNN(18, 24, 40) = 23 . 3 . 5 = 360

Có cách nào tìm bội chung của hai hay
nhiều số mà không cần liệt kê các bội của
mỗi số hay không?

b. Tìm bội từ bội chung nhỏ nhất
Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:
1

Tìm BCNN của các số.

2

Tìm các bội của BCNN đó.

?

Biết bội chung nhỏ nhất của 8 và 6 là 24.
Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6.
Giải:
Ta có BCNN(8, 6) = 24
Suy ra BC(8, 6) = {0; 24; 48; 96; 192; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là
0 ; 24; 48; 96.

Ví dụ 4:
Ta có BCNN(18, 24, 40) = 360
Suy ra BC(18, 24, 40) = {0; 360; 720; 1 080; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 900 của 18; 24 và 40 là
0 ; 360; 720.

Luyện tập 2:
Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54.
Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54.
Giải:
Ta có 15 = 3 . 5
54 = 2. 33
BCNN(15, 54) = 2. 33 . 5 = 270
Suy ra BC(15, 54) = {0; 270; 540; 1 080; …}
Nên các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54 là
0 ; 270; 540.

Thử thách nhỏ:
Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội)
được ghi ở bảng dưới đây. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng
lúc vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày
(từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe buýt này lại xuất bến
cùng một lúc?
Bến xe Mỹ Đình
Số xe
Thời gian
Xe 16
15 phút/chuyến
Xe 34
9 phút/chuyến
Xe 30
10 phút/chuyến

Giải:

3. Quy đồng mẫu các phân số
*) Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số
c
a
Để quy đồng mẫu hai phân số và , ta phải tìm mẫu
b chungdcủa hai phân số đó.
Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

7
5
Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số
và
12
8
Ta có BCNN(8, 12) = 24 nên

5 5.3 15


8 8.3 24
7
7.2 14


12 12.2 24

?

4
7
Quy đồng mẫu hai phân số
và
15
9
Giải:
Ta có 9 = 32
15 = 3 . 5
BCNN(9, 15) = 32 . 5 = 45
7 7.5 35
Do đó


9 9.5 45
4
4.3 12


15 15.3 45

Ví dụ 5:

1
3
5
Quy đồng mẫu các phân số sau:
;
và
8
9
6
Giải:
Ta có 8 = 23; 9 = 32; 6 = 2 . 3
BCNN(8, 9, 6) = 23 . 32 = 72
Do đó

3 3.9 27


8 8.9 72

5 5.8 40


9 9.8 72
1 1.12 12


6 6.12 72

Có thể chọn một bội chung
khác 0 bất kì của các mẫu
làm mẫu chung. Tuy nhiên,
người ta thường lấy BCNN
làm mẫu chung

Ví dụ 6:
Thực hiện phép tính:
1
1

a)
4
6

b)

11 3

12 8

Giải:
a) Ta có BCNN(4, 6) = 12
nên

1 1

4 6
1.3 1.2


4.3 6.2
3 2
5
  
12 12 12

b) Ta có BCNN(12, 8) = 24
nên

11 3

12 8
11.2 3.3


12.2 8.3
22 9 13
 

24 24 24

Luyện tập 3:
1

Quy đồng mẫu các phân số sau:
7
2 4
7
5
a)
và
b)
; và
7
9
12
15
12
Giải:

a) Ta có 12 = 22 . 3; 15 = 3 . 5

b) Ta có 7 = 7; 9 = 32; 12 = 22 . 3

BCNN(12, 15) = 22 . 3 . 5= 60

BCNN(7, 9, 12) = 22 . 32 . 7 = 252

5
5.5 25
Do đó 

12 12.5 60

2 2.36 72
Do đó 

7 7.36 252

7
7.4 26


15 15.4 60

4 4.28 112


9 9.28 252
7
7.21 147


12 12.21 252

2

Thực hiện phép tính:
3
5
a) 
8
24

Giải:

a) Ta có BCNN(4, 6) = 12
nên

3 5

8 24
3.3 5
 
8.3 24
14

24
7

12

7 5
b) 
16 12

b) Ta có BCNN(12, 8) = 24
nên

7 5

16 12
7.3 5.4


16.3 12.4
21 20
 
48 48
1

48

LUYỆN TẬP
Bài 2.36: (SGK/53)
Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của:
a)5 và 7

b) 3, 4 và 10
Giải:

a) Ta có 5 = 5; 7 = 7
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35
Suy ra BC(8, 6) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210…}
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là
0 ; 35; 70; 105; 140; 175.

Chú ý:
Nếu các hai đã cho nguyên tố cùng nhau thì BCNN
của chúng là tích của các số đó.
Ví dụ:
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35

b) Ta có 3 = 3; 4 = 22; 10 = 2 . 5
Suy ra BC(3, 4, 10) = BCNN(3, 4, 10) = 22 . 3 . 5 = 60
{0; 60; 120; 240…}
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là
0; 60; 120.

Bài 2.37: (SGK/53)
Tìm BCNN của:
a)2 . 32 và 3 . 5

Giải:

b) 2 . 5. 72 và 3 . 52 . 7

a) BCNN(2 . 32, 3 . 5) = 2 . 32. 5 = 90
b) BCNN(2 . 5. 72, 3 . 52 . 7 ) = 2 . 3 . 52. 72 = 7350

Bài 2.38: (SGK/53)
Tìm BCNN của các số sau:
a)30 và 45
a) Ta có 30 = 2. 3 . 5;

Giải:

b) 18, 27 và 45

45 = 32. 5

BCNN(30, 45) = 2 . 32. 5 = 90
b) Ta có 18 = 2 . 32;

27 = 33 ;

BCNN(18, 27, 45 ) = 2 . 33. 5 = 270

45 = 32. 5

Bài 2.39: (SGK/53)
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0,
biết rằng a 28 và a 32.
Giải:

Ta có a  28; a  32 và a nhỏ nhất khác 0
Nên a = BCNN(28, 32)
28 = 22. 7; 32 = 25
Suy ra BCNN(28, 32) = 25. 7 = 224. Vậy a = 224

Bài 2.40: (SGK/53)
Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng
đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp từ 30 đến 40.
Tính số học sinh của lớp 6A.

Giải:
Gọi số học sinh của lớp 6A là x (x N và 30  x 40)
Vì số học sinh khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ
Nên x3; x 4; x 9
Suy ra x  BC(3, 4, 9)
Ta có BCNN(3, 4, 9) = 22. 32 = 36
BC(3, 4, 9) = {0; 36; 72; …}
Suy ra x  {0; 36; 72; …}
Mà 30  x 40 nên x = 36
Vậy lớp 6A có 36 học sinh.

Bài 2.41: (SGK/53)
Hai đội công nhân trồng được một số cây như nhau.
Mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội hai
đã trồng 11 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng, biết rằng
số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200 cây.