LỚP : 9A1

KHỞI ĐỘNG

Đường
chân trời

a)

b)

c)

Hãy mô tả các vị trí của Mặt Trời so với
đường chân trời ở các thời điểm Mặt Trời
lặn khác nhau trong hình bên trên.

KHỞI ĐỘNG

Đường
chân trời

a)

b)

c)

Hình a: Hình ảnh Mặt trời và đường chân trời không cắt nhau
Hình b: Hình ảnh Mặt trời và đường chân trời tiếp xúc nhau
Hình c: Hình ảnh Mặt trời và đường chân trời cắt nhau

KHỞI ĐỘNG

Đường
chân trời

a)

b)

c)

Hình ảnh Mặt trời và đường chân trời cho ta 3 vị trí tương đối
của đường thẳng và đường tròn.

1 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .

Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn
(O) trong mỗi hình sau :

O
a

O
a

a)

C
b)
Hình 1

O
a

B

A
c)

 Hình 1a : đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung.
 Hình 1b : đường thẳng a và đường tròn (O) có một điểm chung là C.
 Hình 1c : đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung là
điểm A và B.

1 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .

 Định nghĩa :
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O)
- Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau
- Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại
điểm C; khi đó, a là tiếp tuyến của đường tròn (O) và C là tiếp điểm
- Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O); khi đó, a là cát tuyến
của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm.

O
a

O
a

a)

C
b)
Hình 1

O
a

B

A
c)

1 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .

Cho đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến
đường thẳng a (Hình 2). Ta có kết quả sau :
• Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi d R
• Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O; R) khi d R
• Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi d R

O
R

a

d

d>R
a)

O
R

d

a
d=R
b)

O
R

a

d
d>R
c)

1

Cho đường thẳng b và một điểm I cách b một khoảng d = 6cm .
Xác định vị trí tương đối của b với các đường tròn sau :
a) Đường tròn (I; 3cm)
b) Đường tròn (I; 6cm)
c) Đường tròn (I; 8cm)
a) Ta có d = 6cm, R = 3cm .
Vì d > R nên b và đường tròn (I; 3cm) không giao nhau.
b) Ta có d = 6cm, R = 6cm .
Vì d = R nên b tiếp xúc với đường tròn (I; 6cm) .
c) Ta có d = 6cm, R = 8cm .
Vì d < R nên b cắt đường tròn (I; 8cm) tại 2 điểm.

2

Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 8cm. Vẽ
đường tròn tâm O, bán kính 10cm
a) Giải thích vì sao a và (O) cắt nhau.
b) Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn
(O; 10cm). Tính độ dài của dây MN.

a) - Vẽ OH vuông góc với a tại H
- Ta có OH = 8cm, R = 10cm , suy ra OH < R
- Vậy a cắt (O; 10cm).

2

Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 8cm. Vẽ
đường tròn tâm O, bán kính 10cm
a) Giải thích vì sao a và (O) cắt nhau.
b) Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn
(O; 10cm). Tính độ dài của dây MN.

b) - Vì M, N thuộc (O) nên OM = ON = R
- Do đó ΔOMN cân tại O và có OH là đường
cao đồng thời là đường trung tuyến
- Suy ra H là trung điểm của dây MN
- Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có :
MH = (Pythagore)
- Suy ra MN = 2.MH = 2 . 6 = 12 (cm)

1

Cho đường tròn (J; 5cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân
đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng
JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường
tròn (J; 5cm) trong mỗi trường hợp sau:
a) d = 4cm
b) d = 5cm
c) d = 6cm

a) Ta có d = 4 cm, R = 5 cm.
Vì d < R nên đường thẳng c cắt đường
tròn (J; 5 cm) tại hai điểm.

J
R

d = 4cm

c
K

1 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .

1

Cho đường tròn (J; 5cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân
đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng
JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường
tròn (J; 5cm) trong mỗi trường hợp sau:
a) d = 4cm
b) d = 5cm
c) d = 6cm

b) Ta có d = 5 cm, R = 5 cm.
Vì d = R nên đường thẳng c tiếp xúc
với đường tròn (J; 5 cm) tại điểm K.

J

R
c
K

d = 5cm

1 . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .

1

Cho đường tròn (J; 5cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân
đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng
JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường
tròn (J; 5cm) trong mỗi trường hợp sau:
a) d = 4cm
b) d = 5cm
c) d = 6cm

c) Ta có d = 6 cm, R = 5 cm.
Vì d > R nên đường thẳng c và đường
tròn (J; 5 cm) không giao nhau.

J
R
d = 6cm
c
K

1

Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng
được cố định ở 2 đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 72cm,
tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

- Do sợi dây tiếp xúc với bánh xe nên khoảng
cách từ trục bánh xe đến dây cáp bằng bán kính
bánh xe.
- Vậy khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp là:
R = (cm)

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN .

Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R) , đường thẳng d đi qua A
và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A)
a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R
b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác
ngoài A.
a) - Vì điểm A nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = R
O

- Ta có OA vuông góc với đường thẳng d tại A nên
OA là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d.
- Vì OA là đường vuông góc, OM là đường xiên kẻ
từ O đến đường thẳng d nên OA < OM.
- Mà OA = R nên OM > R.

R
d
A
Hình 5

M

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN .

Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R) , đường thẳng d đi qua A
và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A)
a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R
b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác
ngoài A.
b) - Ta có OA = R nên d tiếp xúc với đường
tròn (O; R) tại A.
- Mà khi đường thẳng d tiếp xúc với đường
tròn (O; R) thì đường thẳng d và đường tròn
(O; R) có duy nhất một điểm chung.
- Vậy d và (O) không thể có điểm chung nào
khác ngoài A.

O
R
d
A
Hình 5

M

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN .

• Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi
nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc
với bán kính đi qua điểm đó.

O
R
d
A
Hình 5

M

* Lưu ý (dấu hiệu nhận biết 2):
Nếu đường thẳng d và đường tròn
(O) có duy nhất một điểm chung thì
ta nói d là tiếp tuyến của đường
tròn (O).

3

Cho đường tròn (O; 2cm) và điểm M nằm trên (O). Nêu cách
dựng tiếp tuyến d với (O) tại M.
d

 Ta vẽ đường thẳng d vuông góc với
bán kính OM tại điểm M (Hình 6)
Khi đó d là tiếp tuyến với (O) tại M

O

2cm

Hình 6

M

 Chú ý : Tính chất của tiếp tuyến :
- Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm
- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán
kính của đường tròn đó.

4

Một thuỷ thủ đang ở trên cột buồm của một con tàu, cách mặt
nước biển 10m. Biết bán kính Trái Đất là khoảng 6400km.
Tính tầm nhìn xa tối đa của thuỷ thủ đó (làm tròn đến hàng phần
nghìn)
A

 Trên Hình 7, ta có điểm B biểu diễn vị trí con tàu,
điểm A biểu diễn vị trí của thuỷ thủ, điểm C biểu
diễn điểm xa nhất mà thuỷ thủ nhìn thấy.
Khi đó độ dài AC gọi là tầm nhìn xa tối đa từ A.
Đặt h = AB, R = OB = OC .
Do AC là tiếp tuyến với (O; R) tại C nên suy ra ACOC.
Xét tam giác ACO vuông tại C, ta có :

h
B
R
O

AC 2  AO 2  OC 2 ( R  h)2  R 2 2 Rh  h 2
 AC  2 Rh  h 2 11,314(km)
Vậy tầm nhìn xa tối đa của thuỷ thủ là khoảng 11,314 km

C

Hình 7

2

Cho tam giác ABC có đường cao AH (Hình 8)
Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) tại H.

- Ta có BC đi qua điểm H thuộc đường tròn (A;
AH) và BC ⊥ AH tại H.

A

- Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

R
B

H
Hình 8

C

2

Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng
(Hình 9) . Ta coi sợi dây là tiếp tuyến của mỗi bánh xe, xác
định các tiếp điểm.
 Tiếp điểm là giao điểm của mỗi
nan hoa với dây cáp.

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU.

* Định lí