CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa
nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính
được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không
khí).

CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM
BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2

Đạo hàm của hàm số tại một điểm

3

Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

4

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Một số bài toán dẫn đến
khái niệm đạo hàm

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
 HĐ1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2).
Quãng đường của chuyển động là một hàm số của thời
gian , (được gọi là phương trình của chuyển động).
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian
từ  đến .
b) Giới hạn  cho ta biết điều gì?

Giải:

a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ đến  là

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
Giải:
b) Khi càng gần , tức là  càng nhỏ, thì tỉ số
càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm
tại thời điểm t0.
Giới hạn cho ta biết vận tốc tức thời của vật
tại thời điểm

b) Cường độ tức thời
 HĐ2. Điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian , có
dạng
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ đến .
b) Giới hạn  cho ta biết điều gì ?
Giải:
a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian
từ  đến  là .

b) Cường độ tức thời
 HĐ2. Điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian , có
dạng
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ đến .
b) Giới hạn  cho ta biết điều gì ?
Giải:
b) Khi càng gần , tức là   càng nhỏ thì cường độ trung bình càng thể hiện được
chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm
Giới hạn cho ta biết cường độ tức thời của vật tại thời điểm

Nhận xét
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn
dạng
Ở đó là một hàm số đã cho.
Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là
khái niệm đạo hàm.

2. Đạo hàm của hàm số
tại một điểm

Cho hàm số xác định trên khoàng và điểm Nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm , kí hiệu bởi
(hoặc , tức là

Chú ý
Các bước tính đạo hàm của hàm số tại điểm
1. Tính .
2. Lập và rút gọn tỉ số với .
3. Tìm giới hạn .

Ví dụ 1

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
Giải:

Ta có
Với
Tính giới hạn
Vậy .

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau

Chú ý
Đặt , khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm là:

Luyện tập 1

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm

Giải:

Vậy

3. Đạo hàm của hàm số
trên một khoảng

 HĐ3. Tính đạo hàm tại điểm bất kì trong các trường hợp sau:
a) ( là hằng số);

b)
Giải:

Kết luận
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu nó
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó, kí hiệu là .

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số với là hằng số
Giải:

Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số (với là hằng số) có đạo hàm là hàm số

Chú ý
• .
• Nếu phương trình chuyển động của vật là thì là vận tốc tức thời
của vật tại thời điểm

Ví dụ 3

Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bỏ qua sức cản của không khí và làm

tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải:
Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là ( là gia tốc rơi tự do, lấy ).
Do vậy, vận tốc của quả bóng tại thời điểm là .
Mặt khác, vì chiều cao của toà nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm , với . Từ đó,
ta có: (giây).
Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là:

Luyện tập 2

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b) (với là các hằng số).

Giải:
a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

Luyện tập 2

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)

b) (với là các hằng số).

Giải:
b) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số (với là các hằng số) có đạo hàm là hàm số

4. Ý nghĩa hình học
của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 HĐ4. Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số có đồ thị và Xét điểm thay đổi trên với
a) Đường thẳng đi qua hai điểm được gọi là một
cát tuyến của đồ thị (H.9.3). Tìm hệ số góc  của cát
tuyến .
b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị thay đổi như thế
nào?
c) Nếu điểm di chuyển trên tới điểm mà có giới hạn hữu hạn thì có nhận xét gì về
vị trí giới hạn của cát tuyến ?

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Giải:
a) Hệ số góc của cát tuyến là
b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị sẽ tiến gần đến
điểm và khi hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm di chuyển trên tới điểm mà có giới hạn
hữu hạn thì cát tuyến cũng sẽ tiến đến gần vị trí
đường thẳng

Kết luận
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đường thẳng đi
qua với hệ số góc nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn,
nghĩa là . Điểm gọi là tiếp điểm.

Nhận xét
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đạo
hàm .

Ví dụ 4

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có

hoành độ
Giải:

Ta có nên
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là .

Luyện tập 3

1
T ì m  h ệ số gó c c ủ a  ti ế p  tuy ế n  c ủa  parabol   𝑦=𝑥  t ạ i  đ i ể m  c ó hoà nh  độ 𝑥 𝑜= .
2
2

Giải:

b) Phương trình tiếp tuyến
 HĐ5. Cho hàm số có đồ thị là đường parabol
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải:
a) Ta có nên .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là

b) Phương trình tiếp tuyến
 HĐ5. Cho hàm số có đồ thị là đường parabol
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Giải:
b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc có dạng 

Vậy phương trình tiếp tuyến là

Kết luận
Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là , trong đó .

Ví dụ 5

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành

độ
Giải:
Từ Ví dụ 2, ta có .
Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là .
Ngoài ra, ta có nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
hay

Luyện tập 4

Giải:

Ta có nên
Ngoài ra, nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Vận dụng
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng
cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10 o (độ dốc tại một điểm
được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình
9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ nhất).

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho là trung điểm , tia trùng với tia , tia hướng lên trên.
Khi đó .
Gọi chiều cao giới hạn của cầu là , suy ra đỉnh cầu có tọa độ .

Giải:

Vì độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là .

LUYỆN TẬP

Câu 1. Cho hàm số xác định trên khoảng . Đạo hàm của tại
là

A.

B.

C. (nếu tồn tại giới hạn)

D. (nếu tồn tại giới hạn)

Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đường
thẳng đi qua P với hệ số góc

A.

C.

B.

D.

Câu 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Hệ số góc của tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

A.

B.

C.

D.

Câu 4. Cho hàm số . Để hàm số này có đạo hàm tại thì
giá trị của là

A.

B.

C.

D.

Câu 5. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
trong đó tính bằng mét và là thời gian tính bằng giây. Tính vận
tốc tức thời của chuyển động tại

A.

B.

C.

D.

Bài 9.1 (SGK – tr.86) Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) tại ;

b) tại ;
Giải:

a) Ta có .
Với .
Tính giới hạn .
Vậy .

Bài 9.1 (SGK – tr.86) Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) tại ;

b) tại ;
Giải:

b) Ta có .
Với .
Tính giới hạn .
Vậy .

Bài 9.2 (SGK – tr.86) Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) (với là các hằng số);
Giải:
a) Với bất kì, ta có

Vậy hàm số có đạo hàm là .

b)

Bài 9.2 (SGK – tr.86) Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) (với là các hằng số);
Giải:
b) Với bất kì, ta có
Vậy hàm số có đạo hàm là .

b)