THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt
đất với vận tốc ban đầu . Trong vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua
sức cản không khí, độ cao so với mặt đất (tính bằng mét) của
vật tại thời điểm (giây) sau khi phóng được cho bởi công thức
sau:

trong đó là vận tốc ban đầu của vật, là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của
vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM
BÀI 32. CÁC QUY TẮC
TÍNH ĐẠO HÀM

NỘI DUNG
BÀI HỌC

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

3. Đạo hàm của hàm số hợp

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

1. Đạo hàm của một số
hàm số thường gặp

a) Đạo hàm của hàm số
HĐ1

Nhận biết đạo hàm của hàm số

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số
Giải:
a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

a) Đạo hàm của hàm số
HĐ1

Nhận biết đạo hàm của hàm số

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số
Giải:
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số

Kết luận: Hàm số có đạo hàm trên và

b) Đạo hàm của hàm số
HĐ2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm
Giải:

Kết luận

Ví dụ 1

1
T ính  đạ o  h à m c ủa  h àm  số  𝑦=√ 𝑥  tạ i  cá c  điể m  𝑥=4  v à 𝑥=
4
Giải:

2. Đạo hàm của
tổng, hiệu, tích, thương

HĐ3

Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì.
b) So sánh: và .
Giải:
a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
b) Do đó .

Kết luận
Giả sử các hàm số có đạo hàm trên khoảng Khi đó

Chú ý
• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho
tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.
• Với là một hằng số, ta có:
• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo:

Ví dụ 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau

1 3
2 𝑥 +1
2
𝑎 ¿ 𝑦= 𝑥 − 𝑥 +2 𝑥 +1 ; 𝑏 ¿ 𝑦 =
3
𝑥 −1
Giải:

1 3' 2'
' ' 1
2
2
𝑎¿  Ta  c ó  𝑦 = ( 𝑥 ) − ( 𝑥 ) + ( 2 𝑥 ) +1 = .3 𝑥 −2 𝑥+2=𝑥 − 2𝑥+2
3
3
'

Ví dụ 3

Giải bài toán trong tình huống mở đầu
Giải:

Phương trình chuyển động của vật là
Vận tốc của vật tại thời điểm được cho bởi
Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm tại đó vận tốc bằng
Vật chạm đất tại thời điểm mà nên ta có
Khi chạm đất, vận tốc của vật là
Dấu âm của thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc (tức là chiều chuyển động của vật
ngược với chiều dương đã chọn).

Luyện tập 1

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

𝑥
√
2
𝑎 ¿ 𝑦=
𝑏 ¿ 𝑦 = ( √ 𝑥 +1 ) ( 𝑥 + 2 )
𝑥+ 1

Giải:

'

𝑎 ¿ 𝑦 =¿ ¿

3. Đạo hàm của
hàm số hợp

a) Khái niệm hàm số hợp
• Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính được cho
bởi .
• Bán kính thay đổi theo nhiệt độ :
• Khi đó: .
là hàm số hợp của hàm với .

Khái niệm
Giả sử là hàm số xác định trên khoảng có tập giá trị chứa
trong khoảng và là hàm số xác định trên khoảng . Hàm số
được gọi là hàm số hợp của hàm số với

Ví dụ 4
10

Bi ể u  di ễn   hà m  s ố  𝑦=( 2𝑥+1 )  d ướ i  d ạ ng  h à m s ố h ợp.
Giải:

b) Đạo hàm của hàm số hợp
HĐ4

Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số và
a) Viết công thức của hàm số hợp theo biến .
b) Tính và so sánh: và
Giải:
a)
b)

Vậy

Kết luận
Nếu hàm số có đạo hàm tại và hàm số có đạo hàm
tại thì hàm số hợp

có đạo hàm tại là

Ví dụ 5

Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là

• Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

Luyện tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a ) 𝑦 =( 2 𝑥 −3 )                                          b ) 𝑦 =√ 1− 𝑥
10

Giải:
a)

2

4. Đạo hàm của hàm số
lượng giác

a) Đạo hàm của hàm số
HĐ5 Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số
a) Với , biến đổi hiệu thành tích.
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số tại
điểm bằng định nghĩa.
Giải:
a)
b) Với bất kì, ta có:
Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

Kết luận
• Hàm số có đạo hàm trên và
• Đối với hàm số hợp với ta có:

Ví dụ 6

Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

(

𝜋
𝑦 =𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 +
8

)

Luyện tập 3
Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

(

𝜋
𝑦 =𝑠𝑖𝑛 −3 𝑥
3

)

b) Đạo hàm của hàm số
HĐ6

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số

Giải:

Kết luận
• Hàm số có đạo hàm trên và
• Đối với hàm số hợp với ta có:

Ví dụ 7

Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

(

𝜋
𝑦=𝑐𝑜𝑠 4 𝑥−
3

)

Luyện tập 4

(

𝜋
𝑦
=2
𝑐𝑜𝑠
−2
𝑥
Tính đạo hàm của hàm số
4
Giải:

)

c) Đạo hàm của các hàm số và
HĐ7 Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số và

Giải:

'

(

a )𝑦 =

sin 𝑥
cos 𝑥

)

'

=¿ ¿

c) Đạo hàm của các hàm số và
HĐ7 Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số và

Giải:

b )¿

Kết luận
Hàm số có đạo hàm tại mọi và
Hàm số có đạo hàm tại mọi và
Đối với các hàm số hợp và với ta có:

(giả thiết và có nghĩa).

Ví dụ 8

Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

(

𝜋
𝑦 =𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 +
4

)

Luyện tập 5

(

𝜋
𝑦
=2
𝑡𝑎𝑛
𝑥
+3
𝑐𝑜
𝑡
−2
𝑥
Tính đạo hàm của hàm số
3
2

Giải:

)

Vận dụng 1
Một vật chuyển động có phương trình vớilà thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc
của vật khi giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải:

Vậy vận tốc của vật khi giây là:

5. Đạo hàm của hàm số mũ
và hàm số logarit

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit
HĐ8

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến tìm giới hạn
b) Với , tính và tìm giới hạn của
c) Đặt . Tính theo và tìm giới hạn

Giải:

a) Ta có thì

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit
Giải:
b)
c)

Nhận xét:
Ta có các giới hạn sau

b) Đạo hàm của hàm số mũ
HĐ9

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa.
b) Sử dụng hằng đẳng thức , hãy tính đạo hàm của hàm số .

Giải:
a) Với bất kì và , ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

b) Đạo hàm của hàm số mũ
HĐ9

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa.
b) Sử dụng hằng đẳng thức , hãy tính đạo hàm của hàm số .

Giải:
b) Ta có:
.

Kết luận
• Hàm số có đạo hàm trên và .
Đối với hàm số hợp với có
• Hàm số có đạo hàm trên và .
Đối với hàm số hợp với có

Ví dụ 9

𝑦 =2

Tính đạo hàm của hàm số
Giải:

2

𝑥 −𝑥

Luyện tập 6
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)

b)
Giải:

a)
b)

ạo hàm của hàm số logarit
HĐ10 Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit