CHÀO MỪNG
CÁC EM ĐẾN VỚI
TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng
giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một
mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt
nón là đường tròn hoặc đường cong mà
ta gọi là đường conic. (Hình 48). Từ
“đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy
Lạp konos nghĩa là mặt nón.

Đường conic gồm những loại
đường nào và được xác định
như thế nào?

BÀI 6:
BA ĐƯỜNG CONIC

NỘI DUNG BÀI HỌC

01

Đường elip

03

Đường parabol

02

Đường hypebol

04

Một số ứng dụng thực tiễn
của ba đường conic

I. Đường Elip
1. Định nghĩa đường elip
Một số hình ảnh về đường elip trong thực tế

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm
F1, F2 trên mặt một bảng gỗ. Lấy một
vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn
hơn 2F1F2. Quàng vòng dây đó qua hai
chiếc đinh và kéo căng tại vị trí của đầu
bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì
sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch
nên một đường mà ta gọi là đường elip.
Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF1 + MF2?

Giải
Ta thấy tổng MF1 + MF2 luôn bằng
độ dài vòng dây kín, do đó khi M
thay đổi, tổng MF1 + MF2 là một độ
dài không đổi.

KẾT LUẬN
Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách
F1F2 = 2c (c > 0).
Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M
trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó
a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip
Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M
sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c (với a > c > 0).
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F 1F­2,
trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox
(Hình 52). Khi đó, F1(– c; 0) và F2(c; 0) là hai tiêu điểm của
elip (E). Chứng minh rằng:
a) A1(– a; 0) và A2­(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.
b) B1(0; – b) và B2(0; b), ở đó ,  đều là giao điểm của elip (E) với
trục Oy.

Giải
a. Do A1F1 = a – c và A1F2 = a + c nên A1F1 + A1F2 = 2a.
Vậy A1(-a; 0) thuộc elip (E).
Mà A1 (-a; 0) thuộc trục Ox nên A1(-a; 0) là giao điểm của
elip (E) với trục Ox.
Tương tự, ta chứng minh được A2(a; 0) là giao điểm của
elip (E) với trục Ox.

b. Ta có:
B2F2 =
Vì B2F1 = B2F2 nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a.
Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E). Mà B2(0; b) thuộc trục Oy
nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.
Tương tự, ta chứng minh được: B1(0; -b) là giao điểm
của elip (E) với trục Oy.
Như vậy, elip (E) đi qua bốn điểm A1(-a; 0), A2(a; 0),
B1(0; -b), B2(0; b), với b =

KẾT LUẬN
Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình
đường elip có thể viết dưới dạng:
Trong đó, a > b > 0
Đây gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:
Đối với elip (E) có phương trình chính tắc như đã
nêu ở trên, ta có:
• c2 = a2 – b2, ở đó 2c = F1F2
• Nếu điểm M(x; y) thuộc elip (E) thì – a x a.

Ví dụ 1 (SGK – tr95)
Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình chính tắc của đường elip?
a)
b)
c) ;
d) .

Giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng , với nên
chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của
đường elip.

Ví dụ 2 (SGK -tr95)
Lập phương trình chính tắc của
elip có một tiêu điểm là và đi
qua điểm .

Luyện tập 1:
Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm
M(0; 3) và 
Giải:
Elip có phương trình chính tắc là: (a > b > 0)
Do M(0; 3) (E) nên:

(1)

Do N(3; -) (E) nên:
Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là:

Giải
Elip có phương trình chính tắc là:
Do là một tiêu điểm của nên . Điểm nằm trên nên .
Do đó , suy
Vậy elip có phương trình chính tắc là:

II. Đường hypebol
1. Định nghĩa đường hypebol
Một số hình ảnh đường hypebol trong thực tế

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F1, F2 trên
mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB
và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài l thỏa
mãn AB – F1F2 < l < AB. Đính một đầu dây vào điểm
A và đầu dây kia vào F2. Đặt thước sao cho điểm B
trùng với F1 và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi
dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng.

Cho thước quay quanh điểm B (trùng F1), tức là điểm A chuyển
động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn
thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu
bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.
Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF1 – MF2?

Giải
Khi M thay đổi, hiệu
không đổi.

KẾT LUẬN
Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0).
Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M
sao cho , trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c.
Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của đường hypebol
Để lập phương trình của đường hypebol
trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ
trục tọa độ Oxy thuận tiện nhất.
Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường
thẳng F1F2, trục Oy là đường trung trực của
đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là
trung điểm của đoạn thẳng F1F2 (Hình 54).

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F1, F2.
b) Nêu dự đoán thích hợp cho

trong bảng sau:

Elip

Hypebol

Hai tiêu điểm

Hai tiêu điểm

Elip (E ) là tập hợp các điểm M sao cho:

Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho:

Elip (E ) có phương trình chính tắc là:

Hybebol (H) có phương trình chính tắc là:

trong đó

trong đó

Giải
a. Vì Oy là đường trung trực của F1F2 nên O là trung điểm của F1F2.
Do đó, OF1 = OF2 = =
Điểm F1 thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O và cách O
một khoảng bằng c nên toạ độ của F1 là F1(-c; 0).
Điểm F2 thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O và cách O
một khoảng bằng c nên toạ độ của F2 là F2(c; 0).

( OLS

Hypebol

Hai tiêu điểm ‫ܨ‬ଵ െ
ܿǢͲ ǡ‫ܨ‬ଶ ܿǢͲ

Hai tiêu điểm ‫ܨ‬ଵ െ
ܿǢͲ ǡ‫ܨ‬ଶ ܿǢͲ

Elip (E ) là tập hợp các điểm M sao cho:

Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao

‫ܨܯ‬ଵ ൅ ‫ܨܯ‬ଶ ൌ
ʹܽ

cho:
ȁ ‫ܨܯ‬ଵ െ‫ܨܯ‬ଶȁ ൌ
ʹܽ

Elip (E ) có phương trình chính tắc là:
‫ݔ‬ଶ

‫ݕ‬ଶ

ൌ
ͳ
൅
ܽଶ ܾଶ

trong đó ܽଶ ൌ
ܿଶ ൅ ܾଶ

Hybebol (H) có phương trình chính tắc là:
‫ݔ‬ଶ
ܽଶ
trong đó

͍

ܽଶ=

‫ݕ‬ଶ
ൌ
ͳ
ܾଶ
?
ܿଶ

ܾଶ

KẾT LUẬN
Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình
đường hypebol có thể viết dưới dạng , trong đó a
> 0, b > 0.
Đây gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý:
Đối với hypebol (H) có phương trình
chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:
• c2 = a2 + b2, ở đó 2c = F1F2 và điều
kiện a > b là không bắt buộc.
• Nếu điểm M(x; y) thuộc hypebol (H) thì
x -a hoặc x a.

Ví dụ 4 (SGK – tr98)
Viết phương trình chính tắc của đường hypebol có
một tiêu điểm là và đi qua điểm .
Giải
Giả sử hypebol có phương trình chính tắc là với .
Do thuộc nên , suy ra . Mà là tiêu điểm của nên . Suy ra nên . Suy ra
Vậy hypebol có phương trình chính tắc là .

Ví dụ 3 (SGK – tr98)
Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình chính tắc của đường hypebol?
a)
b)
c)
d)

Giải
Phương trình chính tắc của hypebol
có dạng , với nên các trường hợp b),
c), d) là phương trình chính tắc của
đường hypebol.

Luyện tập 2:
Viết phương trình hypebol sau đây dưới
dạng chính tắc: 4x2 – 9y2 = 1.
Giải
4x2 – 9y2 = 1
Phương trình chính tắc của đường hypebol:

III. Đường parabol
Một số hình ảnh đường parabol trong thực tế

1. Định nghĩa đường parabol
Lấy đường thẳng ∆ và một điểm F không thuộc ∆. Lấy một ê
ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài
bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B
của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên ∆, lấy đầu bút
chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng
sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF.
Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút
chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M
đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?

Giải
Khi M thay đổi, ta có:
MA + MB = MF + MB (= AB).
Do đó MA = MF.

KẾT LUẬN
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định
không đi qua F.
Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm
M trong mặt phẳng cách đều F và .
Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của parabol.

2. Phương trình chính tắc của parabol.
Cho parabol (P) với tiêu điểm F và
đường chuẩn ∆.
Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH
= p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao
cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F
nằm trên tia Ox (Hình 56).

Suy ra: và phương trình đường thẳng ∆ là .
Do đó khoảng cách từ M(x; y) (P) đến đường thẳng là .
Ta có: M(x; y) (P) khi và chỉ khi độ dài MF bằng khoảng cách từ M tới , tức
là:

KẾT LUẬN
Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình
đường parabol có thể viết dưới dạng
Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:
Đối với parabol (P) có phương trình chính tắc
(p > 0), ta có:
• Tiêu điểm là F và phương trình đường chuẩn
là: x + = 0.
• Nếu điểm M(x; y) thuộc parabol (P) thì x 0.

Ví dụ 5 (SGK – tr 100)
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình
chính tắc của đường parabol?
a)

b)

c)

d) .
Giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng với p > 0 nên chỉ có
trường hợp b) là phương trình chính tắc của đường parabol.

Ví dụ 6 (SGK – tr 100)
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết:
a) (P) có tiêu điểm là F(5; 0).
b) (P) đi qua điểm M(2; 1)

Giải
Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là:
.
a) Vì (P) có tiêu điểm là F(5; 0) nên tức là p = 10.
Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là
b) Do điểm M(2; 1) nằm trên (P) nên , tức là .
Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là .

Luyện tập 3:
Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:
a)
b)

Giải:
a) Ta có: x =
Vậy phương trình chính tắc của parabol là:
với p = 2
b. Ta có: x - .
Vậy phương trình chính tắc của parabol là:
với p =

IV. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic
1. Mô hình hạt nhân nguyên tử: Các electron bay quanh hạt
nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay
quanh Mặt Trời.

2. Hiện tượng giao thoa của hai sóng: Các gợn sóng có
hình các đường hypebol gọi là các vân giao thoa.

3. Gương parabol: tia sáng phát
ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến
một điểm của parabol sẽ bị hắt
lại (tia phản xạ) theo một tia
song song (hoặc trùng) với trục
của parabol.

• Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay
sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó,
bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó.