I. ĐƯỜNG ELIP

Chuyển động của electron
xung quanh hạt nhân
Quỹ đạo chuyển động của các hành
tinh xung quanh trong hệ Mặt trời

I. ĐƯỜNG ELIP

Cách vẽ đường elip:
Cố định 2 điểm và trên trên mặt gỗ
phẳng bằng 2 cái đinh. Lấy một vòng
dây kín không đàn hồi có độ dài lớn
hơn . Quàng vòng dây đó qua 2 cái đinh
và kéo căng tại vị trí cua đầu bút chì. Di
chuyển đầu bút chì sao cho sợi dây luôn
căng, đầu bút chì sẽ vạch nên một
đường mà ta gọi là đường elip.
Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M. Khi M thay đổi có
nhận xét gì về tổng độ dài ?
Tổng độ dài là một số không đổi.

I. ĐƯỜNG ELIP

1. Định nghĩa đường elip.
Cho hai điểm cố định , và một độ
dài không đổi 2a lớn hơn . Elip là
tập hợp các điểm M trong mặt
phẳng sao cho:
.
Các điểm , được gọi là các tiêu
điểm của elip.
Độ dài gọi là tiêu cự của elip.
Nhận xét:

Từ định nghĩa suy ra

I. ĐƯỜNG ELIP

2. Phương trình chính tắc của elip.
y

F1 (-c; 0)

O

M (x;y)

F (c; 0)

x

2

Cho elip (E) có các tiêu điểm và như định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy
thỏa mãn 2 điều kiện sau:
+ nằm trên trục Ox
+ Gốc tọa độ O là trung điểm của

I. ĐƯỜNG ELIP

2. Phương trình chính tắc của elip.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho và .
Phương trình chính tắc của elip là:
(1) trong đó

I. ĐƯỜNG ELIP

3. Hình dạng của elip.
Elip cắt Ox tại hai điểm
A1(-a;0); A2(a;0).
Elip cắt Oy tại hai điểm
B1(0;-b); B2(0;b).
Các điểm A1, A2, B1, B2 là các đỉnh của elip.
Đoạn A1A2 là trục lớn với độ dài 2a
Đoạn B1B2 là trục nhỏ với độ dài là 2b.

Elip nhận các trục tọa độ Ox, Oy làm trục
đối xứng và gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.

I. ĐƯỜNG ELIP

Bài tập 1: Viết phương trình chính tắc của elip biết độ
dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.

Bài tập 2: Cho elip có phương trình sau:
a, Xác định tọa độ các đỉnh và tọa độ các tiêu điểm
b, Xác định độ dài các trục và độ dài tiêu cự

I. ĐƯỜNG ELIP

Bài tập 3: Cho elip có phương trình sau:
Trong các điểm A(2;1), B(-1;0), C(0;1) và D(1;
Điểm nào nằm trên Elip ? Vì sao ?

I. ĐƯỜNG ELIP

Tóm tắt :

2a
M

Tiêu điểm F1

2
c

F2

Tiêu điểm

Tiêu cự

M  (E)  MF1 + MF2 = 2a > 2c

I. ĐƯỜNG ELIP

Tóm tắt :
Elip (E) có các tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0) và MF1+MF2 =2a
có phương trình chính tắc:

x2 y 2
 2 1
2
a b

(b 2 a 2  c 2 )
(a, b, c  0)

• Cho 2 điểm phân biệt cố định F1 và F2 . Đặt
Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho được
gọi là đường hypebol
• Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là tiêu cự
của hypebol đó.
 Chú ý : Hypebol có 2 nhánh , một nhánh gồm những
điểm M thoả mãn và nhánh còn lại gồm những
điểm M thoả mãn

Hình 7.23

1

Trên biển có hai đảo hình tròn với bán kính khác nhau. Tại vùng biển giữa
hai đảo đó, người ta xác định một đường ranh giới cách đều hai đảo, tức
là đường mà khoảng cách từ mỗi vị trí trên đó đến hai đảo bằng nhau.
Hỏi đường ranh giới đó có thuộc một nhánh của hypebol hay không?

Giả sử đảo thứ nhất có tâm O1 và bán kính R1, đảo thứ
hai có tâm O2 và bán kính R2
Do 2 đường tròn nằm ngoài nhau nên
Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường ranh giới, vì M
cách đều 2 đảo nên

MO1 - R1 = MO2 - R2

Hình 7.24

Û MO1 - MO2 = R1 - R2

Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh của hypebol với tiêu điểm F 1 trùng O1,
F2 trùng O2, ,

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có 2 tiêu điểm thuộc trục hoành sao
cho O là trung điểm của đoạn nối 2 tiêu điểm đó thì có phương trình

x2 y2
- 2 = 1 ( a > 0, b > 0)
2
a
b

(2)

 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2) đều là phương trình của hypebol
có 2 tiêu điểm
tiêu cự và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc
hypebol đó tới 2 tiêu điểm bằng 2a.
 Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

2
 Ta có :

Cho hypebol có phương trình chính tắc
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới 2 tiêu điểm
có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu ?

ìï a 2 = 9
ïí
ïï b 2 = 16
î

Þ c = a 2 +b2 = 5

Vậy hypebol có 2 tiêu điểm là và tiêu cự
Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới 2 tiêu điểm có giá trị
tuyệt đối bằng

Cho hypebol
LUYỆN
TẬP

Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H)

2
 Ta có : ìïï a = 144

í 2
ïï b = 25
î

Þ c = a 2 + b 2 = 13

Vậy hypebol có 2 tiêu điểm là
và tiêu cự

BÀI TẬP

Ta có :

Cho hypebol có phương trình :
Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

ìï a 2 = 7
ïí
ïï b 2 = 9
î

Þ c = a 2 + b2 = 4

Do đó hypebol có các tiêu điểm là
Tiêu cự :

2c = 2.4 = 8

F1 (- 4;0) , F2 (4;0)

 Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố
định không đi qua F.
Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là
đường parabol
 Điểm F được gọi là tiêu điểm , được gọi là
đường chuẩn, khoảng cách từ F đến được gọi
là tham số tiêu của parabol đó.

M(x;y)

F

(P)

3

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là
tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox
trùng tia OF
a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi
2

æ pö
p
2
ç
x- ÷
÷
ç
÷+ y = x + 2
ç
è 2ø
y

+Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH, chính bằng tham
số tiêu của (P) nên HF = p.
Lại có O là trung điểm của HF nên
Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O nên có
tọa độ là
Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O nên có tọa độ là
Đường thẳng ∆ đi qua và vuông góc với Ox, có phương trình :

M(x;y)
x
H

O

F

(P)

Hình 7.27

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi

3

2

æ pö
p
ç
x- ÷
+ y2 = x +
÷
ç
÷
ç
è 2ø
2

2

æ pö
+ y2
b) Ta có : MF = çççx - ÷
÷
÷
è 2ø

; d (M , D) =

p
x+
2
12 + 0

y

= x+

p
2

M(x;y)
x

2
æ pö
p
2
+ Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh çççx - ÷
÷
÷+ y = x +

è

2ø

æ p÷
ö
p
ç
x- ÷
+ y2 = x +
ç
÷
ç
è 2ø
2

2
æ
ö
p
2
+ Giả sử çççx - p ÷
ta cần chứng minh M thuộc (P)
÷
÷+ y = x +

2ø

2

2

æ pö
p
+ y2 = x +
÷
Thật vậy, vì çççèx - 2 ÷
÷
ø
2

F

(P)

Hình 7.27
2

è

O

2

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên
Û

H

nên Vậy M thuộc (P)

 Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường
chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên .
Khi đó trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung
điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol có
phương trình : (với ) (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình chính
tắc của parabol (P)

y
M(x;y)
x
H

O

F

 Ngược lại mỗi phương trình dạng (5) , với là phương trình chính tắc của
parabol có tiêu điểm và đường chuẩn

(P)

5
a) Ta có :

Cho parabol
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3

2 p =1 Þ p =

1
2

Parabol có tiêu điểm và đường chuẩn
b) Điểm thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi và
y02 = x0
ìï
1
Mặt khác : ïï D : x + = 0
1
1
4
í
Þ 3 = d ( M , D ) = x0 + = x0 +
ïï
2
4
4
ïî x0 = y0 ³ 0

5
Vậy :

Cho parabol
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3

x0 =

11
11
; y0 = ±
4
2

Vậy có 2 điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ

æ
ö
11 11 ÷
ç
÷
;
ç
và
÷
ç
ç
è4 2 ÷
ø

æ
11
ç
;ç
ç
ç
4
è

ö
11 ÷
÷
÷
2 ÷
ø

2

Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một
đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng
đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh
giới nói trên có hình gì? Vì sao?

 Coi đường thẳng là bờ biển của vùng đất liền là
đường chuẩn, đảo là hình tròn với tâm là vị trí
tiêu điểm F
Thì đường ranh giới là tập hợp các điểm cách
đều đất liền và đảo; và đó là đường parabol
Vì nó thỏa mãn tính chất của đường parabol, nên
mọi điểm M nằm trên đường ranh giới phải cách
đều đường chuẩn và tiêu điểm F.

Hình 7.28

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các gương lõm
elip, hypebol) sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia (tia phản xạ)
nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.29)

Hình 7.29

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các gương lồi
elip, hypebol) khi gặp elip, hypebolsẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường
thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.30)

Hình 7.30

 TÍNH CHẤT QUANG HỌC
•

Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bị
hắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của parabol ( H.7.31) . Ngược
lại nếu tia tới vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi
qua tiêu điểm của parabol.

Hình 7.31

 MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc
sống, chẳng hạn :
•

Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những
hình ảnh về đường parabol.

•

Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh
sáng mặt trời , bóng của một quả bóng, là một elip.

•

Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn led trên trần nhà có thể tạo ra trên tường
các nhánh hypebol.

•

Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol, hypebol.

3

Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có
phương trình chính tắc (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí
đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

 Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị
trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip.

ì 2
Ta có : ïï a = 400 Þ c = a 2 - b 2 = 18
í
ïï b 2 = 76
î

Hình 7.33

Tiêu cự :
Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận
cần tán là 36 cm.

7.21
Ta có :

Cho parabol có phương trình :
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

2 p =8 Þ p = 4
p
Þ
=2
2

Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.

7.23

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Phương trình chính tắc của parabol có dạng : y2 = 2px (với p > 0).
Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên ta có :

16 = 2 p.2
Þ p=4

Vậy phương trình chính tắc của parabol là : y2 = 8x

( thoả mãn)

Học lý thuyết
Làm bài tập 2, 3, 4, 6
(SGK trang 102)