CHƯƠNG
CHƯƠNG
VIII. ĐẠII SỐ TỔ HỢP

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉

1

HOÁN VỊ

2

CHỈNH HỢP

3

TỔ HỢP

24

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

4ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
4
5

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Danh sách các cầu thủ của Đội tuyển
bóng đá quốc gia tham dự một trận
đấu quốc tế có cầu thủ gồm thủ
môn, hậu vệ, tiền vệ và tiền đạo.
Huấn luyện viên rất bí mật, không
cho ai biết đội hình (danh sách cầu
thủ) sẽ ra sân. Trong cuộc họp báo,
ông chỉ tiết lộ đội hình sẽ đá theo sơ
đồ (nghĩa là hậu vệ, tiền vệ, tiền
đạo và thủ môn). Đối thủ đã có
danh sách cầu thủ (tên và vị trí của
từng cầu thủ) và rất muốn dự đoán
đội hình, họ xét hết các khả năng có
thể xảy ra. Hỏi nếu đối thủ đã dự
đoán được trước vị trí thủ môn thì họ

1
4

HOÁN VỊ
HĐ1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng từ
trái sang phải để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng
Trả vấn?
lời:
a)

1
4

HOÁN VỊ
HĐ1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng từ
trái sang phải để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng
Trả vấn?
lời:
b) Đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 trong hàng từ trái sang phải, rồi thực hiện các công
đoạn sau:
1.
2.
3.
4.

Chọn
Chọn
Chọn
Chọn

một
một
một
một

bạn
bạn
bạn
bạn

(trong bốn bạn) xếp vào vị trí số 1: có 4 (cách).
(trong ba bạn còn lại) xếp vào vị trí số 2: có 3 (cách).
(trong hai bạn còn lại) xếp vào vị trí số 3: có 2 (cách).
(bạn còn lại) xếp vào vị trí số 4: có 1 (cách).

1
4

HOÁN VỊ
HĐ1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng từ
trái sang phải để tham gia một cuộc phỏng vấn.

a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng
Nhận
xét
vấn?

Mỗi cách sắp xếp thứ tự của bốn bạn tham gia phỏng vấn ở HĐ1 được gọi
lại một hoán vị của tập hợp gồm bốn bạn này. Số các hoán vị của bốn bạn
ở HĐ1 là
.

1
4

HOÁN VỊ

Tổng quát ta có:
Một hoán vị của một tập hợp có phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự
phần tử đó (với là số tự nhiên, ).
Số các hoán vị của tập hợp có phần tử, kí hiệu là , được tính bằng công
thức
Chú ý

Kí hiệu là (đọc là giai thừa), ta có: .
Chẳng hạn
Quy ước .

1
4

HOÁN VỊ

Ví dụ 1

Từ các chữ số 6, 7, 8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác
nhau?

Bài giải

Mỗi cách xếp bốn chữ số đã cho để lập thành một số có bốn chữ số khác
nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.
Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là .

1
4

HOÁN VỊ

Luyện tập
1

Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Bài giải

Mỗi cách xếp 6 vận động viên vào 6 đường chạy (mỗi đường chạy chỉ một
vận động viên) là một hoán vị của 6 vận động viên đó.
Vậy số cách xếp các vận động viên vào các đường chạy là .

2
4

CHỈNH HỢP

HĐ2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia
cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?
b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn làm nhóm trưởng,
một bạn làm nhóm phó?

Trả lời:

a) Liệt kê các cách chọn ra hai bạn từ bốn bạn: Tuấn, Hương; Tuấn, Việt;
Tuấn, Dung; Hương, Việt; Hương, Dung; Việt, Dung.
Vậy có 6 cách chọn hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn.

2
4

CHỈNH HỢP

HĐ2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia
cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?
b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn làm nhóm trưởng,
một bạn làm nhóm phó?

Trả lời:

b) Cách 1:
Với mỗi cách chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a, chúng ta xếp một bạn chức nhóm

trưởng, một bạn chức nhóm phó (một bạn một chức vụ). Mỗi cách xếp như vậy
là một hoán vị của hai bạn.
Vậy số từ cách chọn nhóm hai bạn ở câu HĐ2a, chúng ta có số cách chọn hai
bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm
nhóm phó là .

2
4

CHỈNH HỢP

HĐ2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia
cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?
b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn làm nhóm trưởng,
một bạn làm nhóm phó?
Trả lời:
b) Cách 2: Để chọn hai bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn làm nhóm trưởng,
một bạn làm nhóm phó chúng ta thực hiện hai công đoạn sau:
1. Chọn một bạn (trong bốn bạn) làm nhóm trưởng: có (cách).
2. Chọn một bạn (trong ba bạn còn lại) làm nhóm phó: có (cách).
Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn hai bạn phụ trách nhóm, trong đó có một bạn
làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó là .

2
4

CHỈNH HỢP
Nhận
xét:

Trong HĐ2b, mỗi cách xếp hai bạn từ bốn bạn làm nhóm trưởng, nhóm phó
được gọi là một chỉnh hợp chập 2 của 4. Để tính số các chỉnh hợp chúng ta
dùng quy tắc nhân.
Tổng quát ta có:
Một chỉnh hợp chập của là một cách sắp xếp có thứ tự phần tử từ một tập hợp phần tử (với
là các số tự nhiên, ).
Số các chỉnh hợp chập của , kí hiệu là , được tính bằng công thức

2
4

CHỈNH HỢP

Ví dụ 2

Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lần lượt 4 học sinh trồng bốn
cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi
giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Bài giải

Mỗi cách chọn lần lượt trong học sinh để trồng bốn cây khác nhau là một
chỉnh hợp chập của .
Vậy số cách chọn là .

2
4

CHỈNH HỢP
Chú ý

 Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra
một số phần tử và sắp xếp chúng.
· Mỗi hoán vị của phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập của phần tử
đó.
Vì vậy .

2
4

CHỈNH HỢP

Luyện tập
2

Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3
con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu
kết quả có thể xảy ra?
Bài giải

Giả sử 12 con ngựa tham gia giải đều có thể đạt thành tích nhanh nhất
hoặc nhanh nhì hoặc nhanh thứ ba. Khi đó, 3 con ngựa bất kỳ trong 12
con ngựa tham gia giải sẽ có con nhanh nhất, con nhanh nhì và con nhanh
thứ ba. Nghĩa là, với mỗi cách chọn ra 3 con ngựa bất kỳ trong 12 con
tham gia đều có một kết quả xảy ra, mỗi kết quả xảy ra này là một chỉnh
hợp
chập
3
của
12.
Vậy số các kết quả có thể xảy ra là .

3
4

TỔ HỢP

HĐ3: Trở lại HĐ2:
a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.
b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra
cách tính kết quả ở câu HĐ2a.
Trả lời:
a) Sự khác biệt ở chỗ:

- Trong câu HĐ2a: hai bạn chọn ra không cần sắp xếp (nếu có xếp thứ tự thì
không ảnh hưởng kết quả, tức là chỉ được 1 kết quả);
- Trong câu HĐ2b: mỗi cách xếp thứ tự (hoán vị) hai bạn được chọn là mỗi kết
quả khác nhau.

3
4

TỔ HỢP

HĐ3: Trở lại HĐ2:
a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.
b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra
cách tính kết quả ở câu HĐ2a.
Trả lời:
b) Từ chỗ khác biệt ở hai câu HĐ2a, HĐ2b chúng ta thấy:

- Số cách chọn hai bạn ở câu HĐ2b gấp lần số cách chọn hai bạn ở câu HĐ2a.

3
4

TỔ HỢP

Nhận
xét
Mỗi cách chọn ra bạn từ bạn ở HĐ2a được gọi là một tổ hợp chập của . Vì

không cần sắp xếp thứ tự hai bạn được chọn nên số cách chọn sẽ giảm đi
lần so với việc chọn ra hai bạn có sắp xếp thứ tự (ở câu HĐ2b).
Tổng quát ta có:

Một tổ hợp chập của là một cách chọn phần tử từ một tập hợp phần tử
(với là các số tự nhiên, ).
Số các tổ hợp chập của , kí hiệu là , được tính bằng công thức

TỔ HỢP

3
4

Chú ý

· .
· Chỉnh hợp và tổ hợp đều có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử
trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ
tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

3
4

TỔ HỢP

Ví dụ 3

Có bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có người chơi.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn bạn chơi cờ cá ngựa?
Bài giải

Mỗi cách chọn bạn trong bạn học sinh là một tổ hợp chập của .
Vậy số cách chọn bạn chơi cờ cá ngựa là .

3
4

TỔ HỢP

Luyện tập
3
Trong ngân

hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có câu lí thuyết và
câu bài tập. Người ta chọn ra câu lí thuyết và câu bài tập trong ngân hàng
đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm câu hỏi
theo cách chọn như trên?
Bài giải

Để lập đề thi gồm câu hỏi theo cách chọn như trên ta tiến hành hai công
đoạn sau:
1. Chọn câu hỏi lí thuyết trong số câu lí thuyết: có cách;
2. Chọn câu bài tập trong số câu bài tập: có cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách lập đề thi gồm câu hỏi theo cách chọn như

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 4

Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh
Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi
về Hỏi
lại Hà
Nội.
a)
anh
Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa
điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan)?
b) Anh Hưng có việc đột xuất phải về sớm, nên anh chỉ có ngày để đi tham quan
địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?
Bài giải

a) Số cách xếp lịch trình của anh anh Hưng để đi tham quan nơi, thì mỗi
cách xếp lịch trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự địa điểm từ
địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập của . Hay là số hoán vị địa điểm trên.
Vậy số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là
(cách).

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 4

Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh
Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi
về Hỏi
lại Hà
Nội.
a)
anh
Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa
điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan)?
b) Anh Hưng có việc đột xuất phải về sớm, nên anh chỉ có ngày để đi tham quan
địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?
Bài giải

b) Nếu anh Hưng chỉ có ngày để đi tham quan nơi, thì mỗi cách xếp lịch
trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự địa điểm từ địa điểm, tức là
một chỉnh hợp chập của .
Vậy số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là
(cách).

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Ví dụ 5

Giải bài toán trong tình huống mở đầu về đội hình của đội tuyển bóng
đá Quốc gia
.

Bài
giải
Vì mỗi đội hình gồm có thủ môn, hậu vệ, tiền vệ và
tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn
đội hình ta cần thực hiện công đoạn:
1. Chọn hậu vệ là chọn trong số hậu vệ: có (cách).
2. Chọn tiền vệ là chọn trong số tiền vệ: có (cách).
3. Chọn tiền đạo là chọn trong số tiền đạo: có
(cách).
Vậy, theo quy tắc nhân, số các đội hình có thể có (khi
đã biết vị trí thủ môn) là:
.

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Vận
dụng

Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban
quản lí?
Bài giải

a) Mỗi cách chọn thành viên từ học sinh là một tổ hợp chập của .
Vậy, số cách chọn thành viên vào Ban quản lí là:
.

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Vận
dụng

Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban
quản lí?
Bài giải

b) Để chọn được Trưởng ban, Phó ban, thành viên khác vào Ban
quản lí ta thực hiện các công đoạn sau:
1. Chọn Trưởng ban ( người) từ học sinh: có (cách).
2. Chọn Phó ban trong số học sinh: có (cách).
3. Chọn thành viên trong số học sinh còn lại: có (cách).
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn Trưởng ban, Phó ban,
thành viên khác vào Ban quản lí là: .

4

ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Vận
dụng

Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban
quản lí?
Bài giải

Cách khác: Trong người được chọn ở câu a), chúng ta chọn
người để làm Trưởng ban, Phó ban (xếp thứ tự), còn người còn
lại là thành viên của Ban quản lí: có (cách).
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn Trưởng ban, Phó ban,
thành viên khác vào Ban quản lí là
.

5

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

HOÁN
VỊ

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh
hợp và tổ hợp.
Hoán vị
Để tính ta ấn phím theo trình tự sau:
Ấn số , ấn phím q/, sau đó ấn phím =, Khi đó, kết quả sẽ hiển thị
ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tính .
Ta ấn liên tiếp các phím sau: 9q/=
Dòng kết quả hiện ra .

5

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

CHỈNH
HỢP

Để tính ta ấn phím theo trình tự sau:
Ấn số , ấn phím qO, ấn số , sau đó ấn phím =. Khi đó, kết quả sẽ
hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tính .
Ta ấn các phím theo trình tự sau: 15qO2=
Dòng kết quả hiện ra .

5

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY

TỔ HỢP

Để tính ta ấn phím theo trình tự sau:
Ấn số , ấn phím qP, ấn số sau đó ấn phím =. Khi đó, kết quả sẽ
hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tính .
Ta ấn các phím theo trình tự sau: 20qP5=
Dòng kết quả hiện ra

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

5BÀI 8.6

Một họa sĩ cần trưng bày bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng
ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?
Bài giải

Mỗi cách sắp xếp bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là
một hoán vị của phần tử.
Vậy số cách sắp xếp các bức tranh là: (cách).

5BÀI 8.7

Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau?
Bài giải

Gọi số cần tìm có dạng .
Chọn chữ số từ các chữ số có (cách).
Ứng với mỗi cách chọn có số cách chọn bộ từ chữ số còn lại là
(cách).
Áp dụng quy tắc nhân, số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
là:
(số).

5
a)BÀI
Có8.8
bao

nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ

hơn ?
b) Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ
hơn ?
Bài giải

a) Gọi tập hợp cần tìm có dạng .
Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập của .
Vậy số cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn
là:
(cách).
b) Gọi tập hợp cần tìm có dạng .
Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập của .
Vậy số cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn
là:

5BÀI 8.9

Bạn Hà có viên bi xanh và viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra
đúng viên bi khác màu?
Bài giải

Chọn một bi xanh từ viên bi xanh có (cách).
Ứng với mỗi cách chọn một bi xanh có số cách chọn một bi đỏ từ viên bi
đỏ là (cách).
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra đúng viên bi khác màu là:
(cách).

5
BÀI 8.10

Một câu lạc bộ cờ vua có bạn nam và bạn nữ. Huấn luyện viên muốn
chọn bạn đi thi đấu cờ vua.
a) Có bao nhiêu cách chọn bạn nam?
b) Có bao nhiêu cách chọn bạn không phân biệt nam, nữ?
c) Có bao nhiêu cách chọn bạn, trong đó có bạn nam và bạn nữ?
Bài giải

a) Mỗi cách chọn bạn nam từ bạn nam là một tổ hợp chập của .
Số cách chọn là: (cách).
b) Mỗi cách chọn bạn không phân biệt nam, nữ là một tổ hợp chập
của .
Số cách chọn là: (cách).
c) Số cách chọn bạn nam từ bạn nam là (cách).
Ứng với mỗi cách chọn bạn nam, số cách chọn bạn nữ từ nữ là

5
BÀI 8.11

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?
Bài giải

Gọi số cần tìm có dạng trong đó .
TH1:
Chọn chữ số có (cách).
Ứng với mỗi cách chọn có số cách chọn bộ từ chữ số còn lại là (cách).
Số các số lập được là: (số).
TH2:
Chọn chữ số có (cách).
Ứng với mỗi cách chọn có số cách chọn bộ từ chữ số còn lại là (cách).
Số các số lập được là: (số).
Vậy số các số tự nhiên chia hết cho và có bốn chữ số khác nhau là: (số).