1

a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính
BC, sin B, cos B.
b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, MN = 6 cm, MP = 8 cm. Hỏi
hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sinN, cosN.
B

a) Theo định lý Pythagore, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25.

 BC  25  5(cm)
AC
4

Từ đó ta có : sin B 
BC
5
AB 3
cosB 

BC
5

3cm

A

4cm

C

1

a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính
BC, sin B, cos B.
b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, MN = 6 cm, MP = 8 cm. Hỏi
hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sinN, cosN.
B

MN 6 3 AB
b) Ta có :
  
3cm
MP
8 4 AC
Suy ra hai tam giác vuông MNP và ABC đồng dạng
A
vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.
N
AC
4

Suy ra : sin N  sin B 
BC
5
6cm
AB 3
cosP  cosB 

BC
5
M
4
3
Vậy hai tam giác MNP và ABC đồng dạng, sin N  ;cosP 
5
5

4cm

C

8cm

P

2

a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α < 45°, ta có :

sin(450   )  cos(450   ) ; cos(450   )  sin(450   )

b) Không dùng MTCT, tính :

sin250  sin350  sin450  cos450  cos550  cos650
0

0

0

a) Ta có : (45   )  (45   )  90
Suy ra đây là hai góc phụ nhau.

 sin(450   )  cos(450   )
cos(450   )  sin(450   )
0

0

0

0

0

0

b) Ta có : sin25  sin35  sin45  cos45  cos55  cos65

(sin250  cos650)  (sin350  cos550)  (sin450  cos450)

0  0  0 0

3

Khi góc α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, hãy dùng MTCT tính
sin α trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ ba).
 Để tính sin 10°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin10° ≈ 0,174.
 Để tính sin 200 :
Ta được sin20° ≈ 0,342.
 Để tính sin 300 :
Ta được sin30° = 0,5.
 Để tính sin 400 :
Ta được sin40° ≈ 0,643.

4

Biết rằng với mỗi góc nhọn α, ta có sin2 α + cos2 α = 1
Không dùng MTCT, hãy tính :

sin2 250  sin2 350  sin2 450  sin2 550  sin2 650

 Do các góc phụ nhau có sin α = cos (90°– α) nên ta có:

sin650  cos250 ; sin550  cos350
 Ta có : sin2 250  sin2 350  sin2 450  sin2 5500  sin22 6500
2

0

2

0

2

0

2
2

0
0

2
2

0
0

 sin 25  sin 35  sin 45  cos 35  cos 25

(sin2 250  cos2 250)  (sin2 350  cos2 350)  sin2 450
1  1  0,5  2,5

5

Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12
cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao
nhiêu?
B

 Xét tam giác vuông ABC có AB = 5 cm, AC = 12cm.
Góc nhọn cần tính là góc C.

5cm

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC  AB 2  AC 2  52  122 13(cm)

A

AB
5
Do đó : sinC 

BC 13
Vậy sin của góc nhọn nhỏ nhất trong tam giác đó bằng

12cm

C

6

Xét tam giác ABC vuông tại B, có .Tia Bt sao cho cắt tia AC ở
D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến
đường thẳng BC bằng .
A



 Ta có : BCA
 900  BAC
 900  300  600

300




BDC 1800  BCD  CBD 1800  600  300  900

Do đó tam giác BDC và tam giác ABD vuông tại D.

t

+ Xét tam giác vuông ABD, ta có:

BD
1
0
 sin BAD  sin30 
AB
2

D

B

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D tới BC.
Khi đó ta có DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

300

C

6

Xét tam giác ABC vuông tại B, có .Tia Bt sao cho cắt tia AC ở
D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến
đường thẳng BC bằng .
A

+ Xét tam giác vuông BDE, ta có:
300

DE
1

0
 sin DBE  sin30 
BD
2
Ta có :

t

DE DE BD 1 1 1

.
 . 
AB BD AB
2 2 4

AB
 DE 
(dpcm)
4

D

B

300

C

7

Một cái thang dài 3,2 m đặt tựa bức tường, đầu thang đạt đến
độ cao 3 m thì thang tạo với mặt đất góc α xấp xỉ bằng bao
nhiêu độ ?

 Gọi vị trí chân thang là A, đầu thang là điểm B và hình
chiếu vuông góc của đầu thang với mặt đất là điểm C.
Ta thấy AB = 3,2 m, BC = 3 m và ACB vuông tại C.

BC
3
15


Ta có : sin  
BA 3,2 16

   700
Vậy thang tạo với mặt đất góc α xấp xỉ bằng 70°.

8

Một cái diều có dây diều dài 8 m, khi dây diều căng thì diều
bay ở độ cao 6 m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang
của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ ?

 Gọi vị trí của điều là B, đầu dây diều là C, hình chiếu vuông
góc của diều tới phương ngang của đầu dây điều là A.
Ta thấy BC = 8 m, AB = 6 m và BAC vuông tại A.

AB 6 3
Ta có : sin  
 
BC
8 4

   490
Vậy khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn
α xấp xỉ bằng 49°.

9

Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1
là tam giác vuông cân.
B

 Xét tam giác ABC vuông tại A có tan B = 1.

AC
Khi đó ta có: tan B 
1
AB
Hay : AC  AB
Suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.

A

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1 là tam
giác vuông cân.

C

10

a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang
bằng
b) Một hình chữ nhật có kích thước 3 và . Tính các góc tạo
bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.

3
a) Ta có : tan 
3
Suy ra :
Góc nhọn còn lại là 90° – 30° = 60°.
Vậy hai góc nhọn của tam giác vuông đó có
độ lớn là 30° và 60°.

α

10

a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang
bằng
b) Một hình chữ nhật có kích thước 3 và . Tính các góc tạo
bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.
D

b) Đường chéo hình chữ nhật chia hình chữ nhật
thành 2 hình tam giác với độ dài 2 cạnh là 3 và
Gọi hai góc tạo bởi đường chéo hình chữ nhật và
hai cạnh hình chữ nhật là α và 90° – α.
3
Đặt : tan 
3
Theo câu a, ta có α = 30° và 90° – α = 60°.

C

900 - α
3
α
A

3

Vậy hai góc tạo bởi đường chéo hình chữ nhật với cạnh của hình chữ
nhật đó có độ lớn là 30° và 60°.

B

11

Tính tang, côtang của góc kề đáy của tam giác cân biết cạnh
đáy dài 8 cm, đường cao ứng với đáy dài 5 cm.

 Xét tam giác ADB cân tại D có AB = 8 cm, C là trung
điểm AB.
Suy ra DC vuông góc với AB hay tam giác ACD
vuông tại C và DC = 5 cm.

AB 8
AC 
  4(cm)
2
2
CD 5

Xét tam giác vuông ACD, ta có : tan A 
AC
4
AC
4
cot A 

CD 5
Vậy tan và cotan của góc kề đáy có giá trị lần lượt là và .

Bộ Giáo án Powerpoint – Bài tập Chương 4 – Hệ thức lượng trong tam giác vuông
được tuyển chọn từ 3 bộ sách : KNTT – CTST – Cánh Diều

Bài tập chương này gồm 3 phần :
• Phần 1 : Bài tập Tỉ số lượng giác
Phần 2 : Một số hệ thức giữa cạnh và góc
Phần 3 : Bài tập cuối chương 4
Bộ giáo án cung cấp khoảng 130 bài tập đầy đủ các dạng : Trắc nghiệm, tự
luận , chọn đúng – sai , từ 3 bộ sách.
Xem đầy đủ các phần , tại đây ….
https://sites.google.com/view/baitaptonghop-toan9/trang-ch%E1%BB%A7
(copy link và dán vào trình duyệt )

Để có bản full , xin liện hệ : zalo - 0918.790.615

12

Cho góc α có . Tính sin α, cos α.

1
3 2 25
2
1  tan  1  ( ) 
2
4
16
cos 
16
4
2
hay cos 
Suy ra : cos  
25
5

 Ta có :

3 4 3
Ta có : sin  tan .cos  . 
4 5 5
4
3
Vậy : cos  ; sin  
5
5

13

Tính giá trị các biểu thức sau:

tan600.cot 300
a) P 
0
6sin30

sin450.cos450
b) Q 
0
0
sin30 .cos60

2 2
.
0
0
tan60 .cot 30
3
2
2
a) P 
 1

0
3
1 1
6sin30
.
2 2

2 2 2
.
0
0
sin45 .cos45
2 2  4 2
b) Q 

1
1 1
sin300.cos600
.
2 2
4

14

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của
các góc nhỏ hơn 45°.

a) cos690

b) cot 830

c) sin770

a) cos690  sin(900  690)  sin210
b) cot 830  tan(900  830)  tan70
c) sin770  cos(900  770)  cos130
d) tan510  cot(900  510)  cot 390

d) tan510

15

Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc
sau (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn):

a) 740

a) Ta có :

b) 380
b) Ta có :

c) 83015'

15

Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc
sau (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn):

a) 740

c) Ta có :

b) 380

c) 83015'

15

Tìm các góc nhọn x, y, z, m trong mỗi trường hợp sau (kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị của phút):

a) cosx  0,435
c) tan z  4,12

b) sin y  0,451
d) cot m  0,824

1
 Chú ý: Để tính α khi biết cotα, ta tính tan 
cot 

16

Một cái thang dài 10 m đặt dựa vào tường sao cho chân thang
cách tường 6,5 m (Hình 7). Tìm góc α tạo bởi thang và tường
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

 Gọi C là chân tường. Khi đó, tam giác ABC
vuông tại C, ta có:
AC
6,5
sin  sin B 

 0,65
AB
10
Sử dụng máy tính cầm tay, sau đó làm tròn kết
quả đến hàng đơn vị của độ ta được: α ≈ 41°.

17

Một màn hình ti vi có kích thước như trong Hình 8. Tính góc
giữa đường chéo và hai cạnh.

 Gọi x và y lần lượt là góc giữa đường chéo
và cạnh ngang, cạnh dọc.

71,8
tan x 
124,2
124,2

 x  3000
Ta có :

0

x  y  90

 y  900  x  900  300  600

18

Hai trụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng ở hai bên lề đối
diện một đại lộ rộng 80 m (AC = 80 m). Từ một điểm M trên mặt đường
giữa hai trụ người ta nhìn thấy đỉnh hai trụ điện với các góc nâng lần
lượt là 60° và 30°. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm
M đến gốc mỗi trụ điện.

AM

 Xét ∆ABM vuông tại A, ta có: cot AMB

AB

AB 3

0
 AM  AB .cot AMB  AB .cot 60 
(m)
3

CM

Xét ∆CMD vuông tại C, ta có: cotCMD 
CD


CD.cot 300 CD 3(m)
 CM CD.cotCMD

Mà AB = CD nên (m)

AB 3
 AB 3
Ta có: AC = AM + CM , suy ra : 80 
3

D

B

600
A

300
M

C

18

Hai trụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng ở hai bên lề đối
diện một đại lộ rộng 80 m (AC = 80 m). Từ một điểm M trên mặt đường
giữa hai trụ người ta nhìn thấy đỉnh hai trụ điện với các góc nâng lần
lượt là 60° và 30°. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm
M đến gốc mỗi trụ điện.

 3

80  AB 
 3
 3




 AB 

80

3
3

 3

 20 3(m)

Như vậy, chiều cao của trụ điện là (m)
Khoảng cách từ điểm M đến trụ điện AB là :

AB 3 20 3. 3
AM 

 20(m)
3
3

Khoảng cách từ điểm M đến trụ điện CD là : MC = AC ‒ AM = 80 ‒ 20 = 60

19

Hình 4 mô tả một con mèo bị mắc kẹt ở vị trí B trên cành cây với
độ cao AB = 5,5 m. Để đưa con mèo xuống, người ta cần phải
đặt thang dựa vào cành cây đó. Khoảng cách từ chân thang đến
điểm chạm vào cành cây là BC = 7,6 m. Góc giữa thang với
phương nằm ngang là góc BCA. Tính các tỉ số lượng giác của
góc BCA (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

 Trong tam giác ABC vuông tại A, theo định lí
Pythagore, ta có:
AC 2  BC 2  AB 2  7,62  5,52  27,51

 AC  27,51(m)
Tam giác ABC vuông tại A nên:

AB 5,5
27,51
AC


 0,72 ;cosBCA


 0,69
BC
7,6
BC
7,6
AB
5,5

27,51
AC

tan BCA 

1,05 ;cot BCA


 0,95
AC
AB
5,5
27,51

sin BCA


20

Cho tam giác ABC có
Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng
giác của góc C.

 Vì : ( 2)2  ( 3)2  2  3 ( 5)2
2

2

nên AB  AC  BC

2

Do đó tam giác ABC vuông tại A. Hai góc B
và C phụ nhau .

AC
3
15
 sin B  cosC 


BC
5
5
AC
3
6
 tan B  cotC 


AB
2
2

AB
2
10
 cosB  sinC 


BC
5
5
2

6
 cot B  tanC 

3
3