BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Phương trình DĐĐH: x = Acos(ωt + ϕ) = Acos(2ft + ϕ) = Acos(2t/T + ϕ)
Phương trình vận tốc: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + /2 )
Phương trình gia tốc: a = v' = x'' = - ω2Acos(ωt + ϕ) = ω2Acos(ωt + ϕ +  )
a = - ω2x

Bài 1 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 5cos(10t) (cm) , t tính bằng giây.
Hãy xác định :
1/ Chu kì , tần số dao động của vật ?
2/ Xác định số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời gian 1 phút ?
Giải: 1. So sánh với phương trình tổng quát:
x = Acos(ωt + ϕ) = Acos(2ft + ϕ) = Acost + ϕ)
ta có A = 5 cm, ω = 10 rad/s; f = 5 Hz; T = = 0,2 s; ϕ = 0
2. Số dao động toàn phần N = = 60/0,2 = 300

Bài 2. Cho phương trình dao động x = -2cos(5t - ) (cm) .
Xác định biên độ , chu kì , tần số và pha ban đầu của dao động ?
Giải:
Ta có x = -2cos(5t - ) = 2cos(5t - +  )
= 2cos(5t + )
Do đó A=2cm, ω = 5; T= 2/ω = 0,4 s; f = = 2,5Hz, φ =

Bài 3 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 10cos(2t + ) (cm) , t tính bằng giây.
a. Xác định vận tốc của vật ở thời điểm t = (s)
b. Xác định vận tốc khi vật đi qua vị trí có li độ x = 6cm
c. Xác định gia tốc khi vật đi qua vị trí có li độ x = 6cm
d. Thời điểm ban đầu t = 0 đã được chọn vào lúc nào ?
Giải:

Ta có v = x' = - 20sin(2t+ )

a. Khi t= (s) => v = -20sin( + ) = -20sin = - 10 (cm/s
b. Khi x = 6cm. Áp dụng công thức: v = ± ω
v = ±2 = ±16

Bài 3 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 10cos(2t + ) (cm) , t tính bằng giây.
a. Xác định vận tốc của vật ở thời điểm t = (s)
b. Xác định vận tốc khi vật đi qua vị trí có li độ x = 6cm
c. Xác định gia tốc khi vật đi qua vị trí có li độ x = 6cm
d. Thời điểm ban đầu t = 0 đã được chọn vào lúc nào ?
Giải:

Ta có v = x' = - 20sin(2t+ )
c. a = v' = x'' = - ω2x = - 42x = - 242 (cm/s2) = - 237 cm/s2
d. Khi t = o

v0 = - 20sin = - 10 (cm/s) <0
x0 = 10cos = 5 cm
Vật đi qua vị trí có li độ x0 = 5 cm theo chiều âm

Bài 4 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, tần số
f = 2Hz , chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ x = 5cm.
Lập phương trình dao động của vật ?
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ)
A = 5 cm ; ω = 2f = 4
Khi t = 0 , x = 5 cm ==> 5 = 5cosϕ ==> cosϕ = 1 ==> ϕ
=0
Phương trình dđ của vật là x = 5cos4t (cm)

Bài 5 : Một vật dao động điều hòa có chiều dài qũy đạo bằng 12 cm,
chu kì dao động bằng 0,25 s . Chọn gốc thời gian vào lúc vật đi qua
vị trí cân bằng theo chiều dương của hệ tọa độ .
Lập biểu thức li độ và biểu thức vận tốc của vật ?
Giải Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ)
:
A = = 6 cm; ω = = 8
Vận tốc của vật: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ)= ωAcos(ωt + ϕ + )
Khi t = 0: x0 = 0 ==> tức cosϕ = 0 (1)
và v0 = - ωAsinϕ > 0 ==> sinϕ < 0 (2)
Biểu thức li độ của vật:

===> ϕ = -

x = 6cos(8t - ) (cm)

Biểu thức vận tốc của vật: v = 48cos8t (cm/s)

Bài 6 : Vật dao động điều hòa có biên độ A = 10cm và tần số f = 2Hz .
Chọn gốc thời gian vào lúc vật đi qua vị trí cân bằng và đang chuyển
động ngược chiều dương của hệ tọa độ . Lập phương trình dao động của
vật và xác định vận tốc của vật khi vật có li độ x =  8cm .
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + φ)
A = 10 cm; ω = 2f = 4
Khi t = 0: x0 = 0 ==> tức cosϕ = 0 (1)
và v0 = - ωAsinϕ < 0 ==> sinϕ > 0 (2)
Phương trình dđ của vật:

x = 10cos(8t + ) (cm)

Khi x = - 8 cm. Áp dụng công thức: v = ± ω
v = ± 4 = ± 24

===> ϕ =

Bài 7 : Vật dao động điều hòa có biên độ A = 6cm và tần số f = 5Hz .
Chọn gốc thời gian vào lúc vật đi qua vị trí có li độ x = 3cm và đang
chuyển động theo chiều dương của hệ tọa độ . Lập phương trình dao
động của vật và xác định gia tốc của vật khi có li độ x = -3cm .
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ)
A = 6 cm; ω = 2f = 10
Vận tốc của vật: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ)
Khi t = 0: x0 = 3 ==> 3 = 6cosϕ ==> cosϕ = 0,5
(1)
và
v0 > 0 trình
==> vdđ
- 60sinϕ
0 ==> sinϕ
0 (2)
Phương
vật: x => 6cos(10t
- )<(cm)
0 =của

==> ϕ = -

Gia tốc của vật: a = - ω2x = 100 2.3 = 3000cm/s2 = 30m/s2

Bài 8 : Một vật dao động điều hòa phải mất 0,5s để đi từ điểm có vận tốc
bằng không đến điểm tiếp theo cũng như vậy . Khoảng cách giữa hai
điểm là 20cm. Biên độ và tần số của dao động này bằng bao nhiêu?
Giải: Vật dđđh: Thời gian giữa hai lần liên tiếp có vận tốc bằng 0 là T/2
Do đó chu kỳ dđ là T = 1 s
Vật dđđh: Khoảng cách giữa hai lần liên tiếp có vận tốc bằng 0 bằng
hai lần biên độ dđ
Do đó biên độ dđ là A = = 10 cm

Bài 9 : Một vật dao động điều hòa theo phương trình :
x = 2cos(2t - ) (cm) . Tìm thời điểm vật qua vị trí có li độ x = cm
và đang theo chiều dương lần thứ nhất và lần thứ 20 .
Giải: 2cos(2t - ) = ==> cos(2t - ) = = cos
2t - = ± + 2k ==> t = ± + k
Khi tâ = + + kâ = + kâ Vật CĐ theo chiều âm
Khi td = - + kd = + kd Vật CĐ theo chiều dương
Vật có li độ x = cm và đang theo chiều dương lần thứ nhất ứng với
kd = 0 ===> t1 = ¼ = 0,25 s
Vật có li độ x = cm và đang theo chiều dương lần thứ 20 ứng với
kd = 19 ===> t20 = 0,25 + 19 = 19,25 (s)

Bài 10 : Một vật dao động điều hòa theo phương trình :
x = 2cos(2t -) (cm) . Tìm thời điểm vật qua vị trí có li độ
x = cm và đang theo chiều âm lần thứ nhất và lần thứ 20 .
Giải: 2cos(2t - ) = ==> cos(2t - ) = = cos
2t - = ± + 2k ==> t = ± + k
Khi tâ = + + kâ = + kâ Vật CĐ theo chiều âm
Khi td = - + kd = + kd Vật CĐ theo chiều dương
Vật có li độ x = cm và đang theo chiều âm lần thứ nhất ứng với kâ
= 0 ===> t1 = 5/12 = 0,42 s
Vật có li độ x = cm và đang theo chiều âm lần thứ 20 ứng với kâ =
19 ===> t20 = 0,42 + 19 = 19,42 (s)

Bài 11 : Một vật dao động điều hòa theo phương trình :
x = 2cos(2t - ) (cm) .
Tìm thời điểm vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương của hệ tọa độ.
Giải:

2cos(2t - ) = 0 ===> 2t - = + k (k = 0;1;2; )
t = + + = + (k = 0;1;2; ... )
v = - 4sin(2t - ) > 0 ==> sin(2t - ) < 0

vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm tại các thời điểm
t- = + k (s) với k = 0; 1; 2; ...
vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương tại các thời điểm
t+ = + = + n (s) với n = 0; 1; 2; ...

Bài 12 : Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 4cm , thời gian ngắn
nhất để vật đi từ vị trí biên đến vị trí cân bằng là 0,1s . Chọn gốc thồi gian
lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiếu âm của hệ tọa độ . Hãy viết phương
trình dao động của vật .
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ)
A = = 2 cm; T = 4.0,1 = 0,4 (s) ω = = 5
Vận tốc của vật: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ)
Khi t = 0: x0 = 0 ==> tức cosϕ = 0 (1)
và v0 = - ωAsinϕ < 0 ==> sinϕ > 0 (2)

===> ϕ =

Phương trình dđ của vật là : x = 2cos(5t + )

Kt1 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 10cos(2t + ) (cm) , t tính bằng giây.
Xác định vận tốc và gia tốc khi vật ở thời điểm ban đầu và
khi đi qua vị trí có li độ x = 8cm.
Kt2 : Một vật dao động điều hòa có chiều dài quỹ đạo bằng 10 cm, tần số dao
động bằng 4Hz . Chọn gốc thời gian vào lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều âm của hệ tọa độ .Lập biểu thức li độ và biểu thức vận tốc của vật ?

Kt1 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 10cos(2t + ) (cm) , t tính bằng giây.
Xác định vận tốc và gia tốc khi vật ở thời điểm ban đầu và khi đi qua vị
trí có li độ x = 8cm.
Giải:

Áp dụng công thức: v = ± ω
khi t = 0 ==> x0 = 10cos = 5 (cm)
v0 = ± ω = ± 2π = ±10π cm/s

Vận tốc v = x' = - 20πsin(2πt + π/3) ===> v0 = - 10π < 0
Suy ra v0 = -10π (cm/s)
Gia tốc a = x'' = - ω2x ===> a0 = - 4π2.5 = - 20π2 (cm/s2)

Kt1 : Phương trình dao động của một vật DĐĐH là :
x = 10cos(2t + ) (cm) , t tính bằng giây.
Xác định vận tốc và gia tốc khi vật ở thời điểm ban đầu và khi đi qua vị
trí có li độ x = 8cm.
Giải:

Áp dụng công thức: v = ± ω
khi vật qua vị trí có li độ: x = - 8 cm
v = ± ω = ± 2π = ± 12π cm/s
Gia tốc a = x'' = - ω2x ===> a = - 4π2.8 = - 32π2 (cm/s2)

Kt2 : Một vật dao động điều hòa có chiều dài quỹ đạo bằng 10 cm, tần số dao
động bằng 4Hz . Chọn gốc thời gian vào lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều âm của hệ tọa độ .Lập biểu thức li độ và biểu thức vận tốc của vật ?
Giải:

Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ)

A = L/2 = 5 cm; ω = 2πf = 8π

==> Ptdđ : x = 5cos(8πt + ϕ)

Xác định ϕ: Khi t = 0 x0 = 5cosφ = 0 ==> cosφ = 0 suy ra φ = ± (1)
Phương trình vận tốc: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ)
Khi t = 0: v0 = - 40πsinφ < 0 ==> sinφ > 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có φ =
Do đó biểu thức li độ: x = 5cos(8πt + )
Biểu thức vận tốc: v = - ωAsin(ωt+ϕ)= - 40πsin(8πt+)= 40πcos(8πt+π) cm/s

Kt3: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz , biên độ A = 2cm .
1. Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau :
a. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương .
b. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương .
2. Xác định chiều dài quỹ đạo của vật và tốc độ trung bình của vật trong một
chu kì dao động
3. Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có tọa độ

Kt3 : Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz , biên độ A = 2cm .
1. Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau :
a. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương .
b. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương .
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) Ta có A = 2 cm; ω = 2πf = π
Phương trình li độ: x=2cos(πt+ϕ)

và vận tốc: v = x' = -2πsin(πt + ϕ)

Xác định ϕ: a. Khi t = 0 x0 = 2cosφ = 0 ==> cosφ = 0 suy ra φ = ± (1)
Khi t = 0: v0 = - 2πsinφ > 0 ==> sinφ < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có φ = Do đó biểu thức li độ: x = 2cos(πt - ) cm

Kt3 : Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz , biên độ A = 2cm .
1. Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau :
a. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương .
b. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương .
Giải: Phương trình dđ có dạng: x = Acos(ωt + ϕ) Ta có A = 2 cm; ω = 2πf = π
Phương trình li độ: x=2cos(πt+ϕ)

và vận tốc: v = x' = -2πsin(πt + ϕ)
Xác định ϕ: b. Khi t = 0 x0 = 2cosφ = -1 ==> cosφ = -1/2 suy ra φ = ± (1)
Khi t = 0: v0 = - 2πsinφ > 0 ==> sinφ < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có φ = Do đó biểu thức li độ: x = 2cos(πt - ) cm

Kt3 : Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz , biên độ A = 2cm .
2. Xác định chiều dài quỹ đạo của vật và tốc độ trung bình của vật trong một
chu kì dao động
3. Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có tọa độ
Giải: Ta có A = 2 cm; T = = 2 (s)
2. Chiều dài quỹ đạo L=2A = 4 cm
Tốc độ trung bình trong 1 chu kì: vtb = = =

= 4 cm/s

3. Xét pt : x = 2cos(πt - ) cm
x = Acos(πt - ) = ===> cos(πt - ) = = cos
πt - = ± +2kπ ===> t = ± +2k ===> tmin = - = (s)

Câu 24(CĐ):Chọn câu trả lời đúng: Một chất điểm dao động điều hòa trên
trục Ox có phương trình x = 8cos(πt+π/4) tính bằng cm, t tính bằng s) thì:
A lúc t = 0 chất điểm chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
A.
B. chất điểm chuyển động trên đoạn thẳng dài 8 cm.
C. chu kì dao động là 4s.
D. vận tốc của chất điểm tại vị trí cân bằng là 8 cm/s.
Giải:

Từ x = 8cos(πt+π/4) → v= - 8πsin(πt+π/4)

A. Khi t = 0 → v0 = - 8πsin(π/4) < 0: chất điểm CĐ theo chiều âm
B. chất điểm chuyển động trên đoạn thẳng dài L = 2A = 16 cm.
C. chu kì dao động là: T = 2π/ω = 2π/π = 2s.
D. vận tốc của chất điểm tại vị trí cân bằng v = ωA = 8π cm/s.

Câu 25 (ĐH): Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s.
Lấy π = 3,14. Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là:
A
A. 20 cm/s
B. 10 cm/s
C. 0.
D. 15 cm/s.
Giải:

Quảng đường vật đi được trong 1 chu ki: s = 4A
Từ công thức vmax = ωA = A → T = A = A = 0,2A
Từ công thức vtb = = = 20 cm/s.
Chọn đáp án A

Câu 26(CĐ): Một vật dao động điều hòa với chu kì T. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị
trí cân bằng, vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên ở thời điểm
D
A. T/2.
B. T/8.
C. T/6
D. T/4
Giải: Vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên khi vật ở vị trí biên: t = T/4

Chọn đáp án D

Câu 27(CĐ): Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ
A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là:
A. A.
B. 3 .
C. A .
D. A .

Câu 27(CĐ): Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ
A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là:
A. A.
B. 3 .
C. A .
D. A .
D
Giải:

Quãng đường đi được lớn nhất khi trong khoảng thời gian T/4 vật có vận tốc lớn
nhất. Trong cùng một thời gian tốc độ lớn nhất khi vật CĐ quanh vị trí cân bằng

Trong T/4 vật đi Smax khi vật đi trong T/8 ở mỗi bên VTCB, tức vật đi từ li độ x1 = A đến
li độ x2 = - A
π/4 π/4

Trong T/4: Smax = 2A = A
Chọn đáp án D

π/4

x2

x1

Câu 28(ĐH): Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng
thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = chất
điểm có tốc độ trung bình là: A.
B.
C.
D.
B
Giải: Quãng đường vật đi từ li độ x = A đến vị trí x =
S = A + A/2 = 3A/2
Thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x = A đến vị trí x =
t = T/4 + T/12 = T/3
vtb khi vật đi từ li độ x = A đến vị trí x =
vtb = = =
Chọn đáp án B

π/6

x2 = -

x1 =A

Câu 29(CĐ): Khi nói về một vật dao động điều hòa có biên độ A và chu kì T,
với mốc thời gian (t = 0) là lúc vật ở vị trí biên, phát biểu nào sau đây là sai?
A
A. Sau thời gian T/8, vật đi được quảng đường bằng 0,5 A.
B. Sau thời gian T/2, vật đi được quảng đường bằng 2 A.
C. Sau thời gian T/4, vật đi được quảng đường bằng A.
D. Sau thời gian T, vật đi được quảng đường bằng 4 A.
Giải: Đểvật đi từ li độ x = A đến vị trí x = cần khoảng thời
gian t = T/6
Sau thời gian T/8 vật đi được S < A/2
Các câu B, C, D đề đúng.
Chọn đáp án A

π/3
x = A/2 x0 =A

4. Năng lượng trong dđđh
a) Động năng Wđ m = m(ωt+φ) = (ωt+φ)
b) Thế năng Wt
c) Cơ năng

= (ωt+φ)

W = Wđ + Wt = (ωt+φ)+(ωt+φ)=

W = Wđmax = Wtmax = = = cosnt

Câu 30 (CĐ): Một vật dao động đều hòa dọc theo trục Ox. Mốc thế năng ở vị trí cân
bằng. Ở thời điểm độ lớn vận tốc của vật bằng 50% vận tốc cực đại thì tỉ số giữa động
năng và cơ năng của vật là
A.
B.
C.
D.
B
Giải:

Ta có: W = Wđmax =

m

Khi v = 50%vmax thì Wđ = 25%W hay Wđ = W
Do đó =

Chọn đáp án B

Câu 31. (ĐH)Vật nhỏ của một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, mốc thế
năng tại vị trí cân bằng. Khi gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại thì
tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là
A.
B.
C. 2
D.
B 3.

=

Giải: Ta có W = Wtmax = =

Khi a = max thì Wt = W
Khi đó Wđ = W – Wt = W

Do đó = 3

Chọn đáp án B

Câu 32(CĐ): Một cật dao động điều hòa dọc theo trục tọa độ nằm ngang Ox với chu kì T, vị
trí cân bằng và mốc thế năng ở gốc tọa độ. Tính từ lúc vật có li độ dương lớn nhất, thời điểm
đầu tiên mà động năng và thế năng của vật bằng nhau là:
A. T/4
B. T/8
C. T/12
D. T/6
B
Giải:

Khi Wđ = Wt thì Wt =
→ x=

hay =

→ α = /4

→ thời gian CĐ từ x0 = A đến x1 = là t= T/8
Chọ đáp án B

π/4
x = x0 = A

Câu 33 (ĐH): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt
quá 100 cm/s2 là T/3 Lấy 2 =10. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz.
B. 3 Hz.
C. 2 Hz.
D. 1 Hz.
D
Giải:

Gia tốc a = - ω2x

Có giá trị nhỏ khi ở gần VTCB

M2

π/6

M1

π/3

Thời gian |a| ≤ 100 cm/s2 là T/3 ứng với t12 + t34 = T/3
Tại M1 : ωt + φ = π/3 nên x1 = Acos(π/3) = A/2
→| a1| = ω2x1 = Aω2/2 = 100 (cm/s2)
5ω2/2 = 100 → ω2 = 40
→f2 = 40/4π2 = 1

M3

Hay 4π2f2 = 40
→f = 1 Hz

Chọn đáp án D

M4