Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

* Tìm giao điểm của hai đường
* Viết phương trình của tiếp tuyến
Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C1) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1).

Giải :

M0(x0 ;y0) là giao điểm của (C)và(C1) khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ
y = f(x)
y= g(x)
Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải phương trình :
f(x) = g(x) (1)
Nếu x0,x1.là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) .là các giao điểm của (C)và (C1)
ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm

số y =

Và y= x- m
Giải :
Xét phương trình :
( X  - 2 )
? x2-6x+3 = (x-m)(x+2) (x ? - 2 )

? x2-6x+3 = x2+ (2-m)x-2m (x ? - 2 )

? (8-m)x-3-2m = 0 (2) (x ? - 2 )

Biện luận
* m=8 :
(2) có dạng 0x-19 = 0
? (2) vô nghiệm
? Không có giao điểm
* m? 8 :
phương trình (2) có nghiệm duy nhất


nghiệm này khác -2 , vì nếu

? 3+2m =-16 +2m ? 3= -16 (vô lý )
Vậy trong trường hợp này , có một giao điểm là (x;y) với :
; y = x- m

Ví dụ 2
a, Khảo sát hàm số : y =x3 + 3x2 - 4
b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x3 + 3x2 - 4 =m (*)

Giải
a, Ta có đồ thị sau (C)
b, Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m
Kết luận :
m> 0
m< -4
? Có 1 giao điểm ? (*) có 1 nghiệm


+
+
m = 0
m = - 4
? Có 2 giao điểm ? (*) có 2 nghiệm

+
- 4 < m < 0
? Có 3 giao điểm ? (*) có 3 nghiệm


Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
Trường hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0)? (C)
Giải :
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
y - y0 = f ’ (x0) (x -x0)
Trường hợp 2 :
Đi qua điểm M1(x1; y1 ) (y1?f(x1) )
Giải :

- Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1 ) và có hệ số góc k có phương trình : y-y1 = k(x-x1) ? y= k (x-x1) + y1
- Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm :

f(x) = k(x-x1) + y1
f ’(x) = k
+ x0 ? y0 ; f`(x0)
+ y0 ? x0 ; f`(x0) (Gpt : f(x) =y0 ? x0... ...)
+ f`(x0) ? x0 ; y0 ( Gpt : f`(x) = f`(x0) ? x0 ...)
(y0= f(x0) )
Ví dụ 3 : Cho đường cong y=x3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó :
a, Tại điểm (-1 ;-1 )
b, Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Giải : a,
y`=3x2 ? y` (-1) = 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y+1 =3(x+1)
? y = 3x +2
b ,
Giải phương trình : 3x2 = 3
? x = ? 1
x= 1 ? y(1) = 1 ? pttt : y- 1 =3(x -1 )
? y = 3x -2
x =-1 ? pttt : y =3x +2
Củng cố
Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và(C`)
Hai đồ thị (C) và (C`) được gọi là tiếp xúcvới nhau tại một điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến, khi đó diểm chung được gọi là tiếp điểm
Như vậy ,hai đồ thị (C ) và (C`) tiếp xúcvới nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau có nghiệm :
f(x)=g(x)
f`(x) =g`(x)
Bài tập về nhà : 3 ;4 ; ôn tập chương 2

Ví dụ 4 : Cho hàm số : y=x4 -2x2 +1 Đồ thị là (C)
Tìm b để Parabol : y =2x2 +b tiếp xúc với (C)