CHƯƠNG 3
BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG
I . CÁC BÀI TOÁN
Bài toán sản xuất
Bài toán tiêu dùng
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ
Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn
Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
III. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC
(CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS. Trần Đình Tuấn, Lý thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật,Hà Nội, 2004
2. To¸n cao cÊp cho c¸c nhµ kinh tÕ – phÇn I gi¶i tÝch ®¹i sè – Lª §×nh Thuý - §HKTQD Hµ néi
3. Mike Rosser, Basic Mathematics for
Economists, Taylor & Francis e-Library, 2003.
4. Alpha C. Chiang, Optimization Problem: Fundamental Methods of Mathematical Economics – Third Edition ,
Bài toán sản xuất
Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sẩn xuất ra sản phẩm đó, doanh nghiệp cần sử dụng N yếu tố đầu vào khác nhau. Khi biết được chi phí cho mỗi một đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình hưống sau:
Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất - tối đa hoá sản lượng.
Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất - cực tiểu hoá chi phí.
Bài toán sản xuất
Trường hợp 1: Tối đa sản lượng
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức X1,........,Xn để sản xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đâù vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau: P1X1 + P2X2 +…+ PnXn= Khi đó bài toán trở thành:
Xác định Xj>0 (j=1…n) để cho hàm số: Q= F(x1, x2…xn)  Max ( sản lượng cực đại).
Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất:
Bài toán sản xuất
Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí
Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Khi đó bài toán trở thành:
Xác định Xj>0 (j=1…n) để cho hàm số:
(chi phí sản xuất nhỏ nhất)
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất:
Q= F(x1, x2…xn) = Q0
Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí. Các nhà sản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giá thành sản phẩm mà chất lượng hàng hoá không đổi.
Bài toán tiêu dùng
Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là người tiêu dùng. Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ gia đình. Hành vi của các hộ gia đình trên thị trường hàng hóa là cách thức họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào :
- Thị hiếu, sở thích
- Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa ( ngân sách của hộ gia đình )
- Giá cả của hàng hóa
- Mục đích tiêu dùng.
Bài toán sản xuất
Trường hợp 1:
Kí hiệu M là ngân sách tiêu dùng, P1 ,P2......, Pn là giá các loại hàng và U(X) là hàm thoả dụng của hộ gia đình. Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X=(X1, X2.......,Xn) thì sẽ đạt mức thoả dụng là U(X) và cần chi tiêu một khoản .Từ các yêu cầu ở trên ta có mô hình:
U ( X )  Max
với điều kiện = M
Như vậy: Với giá cả các loại hàng hoá và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng nào, khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích.
Bài toán sản xuất
Trường hợp 2:
Người tiêu dùng cần đạt mức lợi ích đã định trước U = U0 thì phải tổ chức mua sao cho chi phí tiêu dùng là thấp nhất.
Hàm mục tiêu: P1X1 + P2X2 + ... PnXn => Min
Ràng buộc: U = U (X1, X2 ..., Xn) = U0
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ


1. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn
2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn

Chúng ta biết rằng : Đối với hàm số y = f(x). Điều kiện cần để hàm số có cực trị dy = 0 (vi phần cấp 1). dy = f`(x1) . dx1 => dy = 0  f`(x) = 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d2y < 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d2y > 0
+ dy = f`(x) dx
+ d2y = d(f`(x, dx) = f``(x) d2x
d2y < 0 khi f``(x) < 0
d2y > 0 khi f``(x) > 0
Như vậy ta có thể mở rộng ra trong trường hợp bài toán có 2 biến số
Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn

+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị dy = 0
dy = f1dx1 + f2dx2 =0
hay: f1 =0
f2=0
Giải hệ hai phương trình 2 biến trên ta xác định được một điểm dừng của hàm số M(x1, x2).
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn


+ Kiểm tra điều kiện đủ tại M
dy2 = d (f1dx1 + f2dx2)
= f11d2x1 + f12dx1dx2 + f21 dx2dx1 + f22d2x2
, , ,

- Theo tính chất đối xứng thì f12 = f21

Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn


Điều kiện đủ để hàm số có cực đại là:
f11 < 0
f11 * f22 > f212
Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu là:
f11 > 0
f11 . f22 > f212
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn

Ví dụ
Tìm cực trị của hàm số
y = 8x31 + 2x1x2 - 3x12 + x22 + 1
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị là: dy = 0
 (24x21 + 2x2 - 3) dx1 + (2x1 + 2x2) dx2 = 0
24x21 + 2x2 - 6x1= 0 x1 = 0 x1=1/3
 M1 hoặc là M2
2x1 + 2x2 = 0 x2 = 0 x2=-1/3
+ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Tại điểm dừng M1(x1,x2)=(0,0) ta có f11= 48x1­- 6=- 6<0 ; f12= 2 ; f22 = 2 do vậy không thoả mãn
Tại điểm dừng M2(x1,x2)=(1/3,-1/3)
 f11 = 48x1 - 6 =48/3 - 6 =10 > 0 ; f11 . f22 = 10* 2=20 > 22 =>hàm số đạt cực tiểu tại điểm M2(x1,x2)=(1/3,-1/3).
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn

Giả sử ta có hàm số gồm 3 biến x1, x2, x3 : y = f (x1, x2, x3) + Điều kiện cần để hàm số có cực trị là:
dy= f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 = 0
hay: f1 = 0
f2= 0
f3= 0
Ta giải hệ để tìm điểm dừng của hàm số: M(x1, x2, x3)
+ Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại điểm M
Để tìm điều kiện cực trị của hàm số trên chúng ta xét vi phân toàn phần cấp 2 (dy2)
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn

Ta có thể hình dung dy2 (i,j =1..3 ) sẽ lập thành 1 ma trận cấp 3

H = - ma trận Hessian


- Theo tính chất đối xứng của Young (fxy = fyx) => f13 = f31, f21 = f12, f32 = f23
Từ ma trận H ta lập nên các định thức con |HK| (k=1-3) được tạo từ K dòng đầu và K cột k đầu của ma trận H (tính từ dòng và cột đầu tiên).
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn

Ví dụ: Cho định thức với y = x21 + 6x22 + 3x23 - 2x1x2 tìm cực trị của hàm số trên.
Giải:
Từ hàm số ta có:
f1 = 2x1 – 2x2 ; f2 = 12x2 – 2x1; f3 = 6x3
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị là : dy=0 hay :
f1 = 2x1 – 2x2 = 0 x1= 0
f2 = 12x2 – 2x1 = 0 giải hệ ta xác định được M x2= 0
f3 = 6x3 = 0 x3= 0
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn

Giải: (tiếp)
+ Kiểm tra điều kiện đủ tại M(0,0,0)
Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2: f11= 2 ; f12=f21=-2; f13 =f31=0;f23 =f32=0; f22 =12; f33=6
Và lập thành ma trận Hessian như sau:
Do:
|H1| = 2 > 0 và |H3| = 6 |H2| = 120 > 0
Theo phương pháp trên ta kết luận rằng dy2 xác định dương, hay hàm số đạt cực tiểu tại M(0,0,0).
Trường hợp bài toán có n biến lựa chọn

Cho hàm số: y = f (x1, x2 ..., xn).
Lấy vi phân toàn phần: dy = f1 dx1 + f2dx2 + ... + fndxn­
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị :
là dy = 0 hay f1 = f2 = ... fn = 0
Giải hệ ta xác định điểm M(x1, x2,…,xn) thoả mãn để dy=0
+ Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: fij=
Chúng ta cũng lập ma trận Hessian
Trường hợp bài toán có n biến lựa chọn

Chúng ta cũng lập ma trận Hessian
|H| ={fij}
Chúng ta lần lượt lập các định thức con |HK| từ k dòng đầu và k cột đầu của |H|.
f11 = |H1|, |H2| = ... |Hn| = |H|
Hàm số đạt cực tiểu tại M khi d2y xác định dương, tức là :
|H1| > 0
|H2| > 0

|Hn| > 0
Hàm số đạt cực đại tại M khi d2y xác định âm, tức là :
|H1| < 0 ; |H2| > 0;…;(-1)n |Hn| > 0
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
Chúng ta biết rằng khi tham gia vào thị trường canh tranh hoàn hảo, doanh nghiệp không có quyền quyết định tới giá bán của sản phẩm. Và vì vậy để tối đa lợi nhuận, doanh nghiệp chỉ có thể nên quyết định bán các sản phẩm ra trên thị trường là bao nhiêu. Trong thị trường CTHH giá sản phẩm do cung cầu trên thị trường quyết định.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
Một cách tổng quát: ta giả sử DN sản xuất ra n sản phẩm và đem bán ra trên thị trường với sản lượng lần lượt là Qj(j=1…n), gọi Pj (j=1…n) là giá của sản phẩm j trên thị trường(giá này biết trước). Khi đó tổng doanh thu bán hàng của doanh nghiệp là:
TR(Q1,Q2,…,Qn)= P1Q1+ P2Q2+…+ PnQn=
Gọi TC(Q1,Q2,…,Qn) là hàm tổng chi phí sản xuất ra các sản phẩm. Từ đó ta sẽ tính được tổng lợi nhuận của doanh nghiệp thu được từ việc bán các sản phẩm :
=TR-TC=- TC(Q1,Q2,…,Qn); như vậy bài toán trở thành : xác định Qj để cho tổng lợi nhuận của doanh nghiệp cực đại.
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
1. Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường cạnh tranh hoàn hảo
* Điều kiện cần để max
d=0 hay : 1 = 0 MR1= P1 =MC1
2 = 0 ==> MR2=P2 =MC2
….
n = 0 MRn=Pn =MCn
giải hệ trên ta sẽ xác định được M(Q1,Q2,…,Qn) 
* Ta kiểm tra điều kiện đủ tạ M
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
* Điều kiện cần để max
d=0 hay : 1 = 0 MR1= P1 =MC1
2 = 0 ==> MR2=P2 =MC2
….
n = 0 MRn=Pn =MCn
giải hệ trên ta sẽ xác định được M(Q1,Q2,…,Qn) 
Ta kiểm tra điều kiện đủ tạ M
Lập ma trận Hessian :


ở đây ij =-TCij
Ta đi kiểm tra dấu của các định thức |Hk|
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối đa hoá lợi nhuận trong doanh nghiệp sản xuất nhiều loại hàng hoá ở thị trường độc quyền
- Giả sử doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí là TC (Q1, Q2) = Q21 + Q1Q2 + Q22 qua điều tra thị trường doanh nghiệp xác định hàm cầu về sản phẩm Q1, Q2 như sau:
Q1 = 14 - P1 + P2 P1 - P2 = -Q1 + 14 (1)
Q2 = 24 + P1 - 2P2 P1 - 2P2 = Q2 - 24 (2)
Yêu cầu xác định Q1, Q2, P1, P2 để lợi nhuận doanh nghiệp đạt tối ưu.
TR = P1Q1 + P2Q2;
Từ (1) => P1 = (14 - Q1) + P2 thế vào (2)
ta được 14 - Q1 + P2 - 2P2 = Q2 - 24
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
=> P2 = 38 - Q1 - Q2
P1 = 14 - Q1 + 38 - Q1 - Q2 = 52 - 2Q1 - Q2
 = TR - TC = (52 - 2Q1 - Q2)Q1 + (38 - Q1 - Q2)Q2 - (Q21 + Q1Q2 + Q22)
= 52Q1 - 2Q21 - Q1Q2 + 38Q2 - Q1Q2 - Q21 - Q1Q2 - Q22
= -3Q21 - 3Q1Q2 + 52Q1 + 38Q2 - 2Q22
Điều kiện cần để max  d = 0  `Q1 = 0
`Q2 = 0
 -6Q1 - 3Q2 + 52 = 0  6Q1 + 3Q2 = 52
- 3Q1 + 38 - 4Q2 = 0 3Q1 + 4Q2 = 38

=> Q1 =
=> Q1 =

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở nhiều thị trường riêng biệt.
- Mặc dù khi nghiên cứu ở thị trường 1 loại hàng hoá vẫn có thể gặp nhiều vấn đề về lựa chọn các biến cho phù hợp (2 hoặc thậm chí nhiều hơn thế những lựa chọn). Khi chúng ta bán 1 sản phẩm ở 2 thị trường trở lên (cả thị trường trong nước và thị trường nước ngoài) và chúng ta sẽ phải quyết định lựa chọn xem nên bán ở các thị trường đó với khối lượng sản phẩm là bao nhiêu để đạt được lợi nhuận tối đa. Để nghiên cứu vấn đề này chúng ta nghiên cứu 3 thị trường tương ứng với 3 sự lựa chọn.
Chúng ta có các hàm tổng thu doanh thu và chi phí:
TR = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)
TC = TC(Q) ở đây Q = Q1 + Q2 + Q3

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở nhiều thị trường riêng biệt.
- Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
 = TR - TC = TR1(Q1) + TR2(Q2) + TR3(Q3)- TC(Q)
với mỗi đạo hàm riêng i = / Qi (i = 1,2,3)
Để lợi nhuận đạt cực trị (cực đại)  1 = 2 = 3 = 0. Ta có TC`(Q) = TR`1(Q1) = TR`2(Q2) = TR`3(Q3) điều này có nghĩa là MC = MR1 = MR2 = MR3
Như vậy ở mỗi thị trường chúng ta luôn phải lấy MRi bằng với MC của cả khối lượng sản phẩm được bán ra ở cả 3 thị trường. Bây giờ ta xét mối quan hệ giữa giá cả từ hàng hoá ở từng thị trường với MR ở từng thị trường đó.

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tìm lợi nhuận tối đa trong doanh nghiệp sản xuất 1 loại sản phẩm đem bán ở nhiều thị trường riêng biệt.



Theo như lý thuyết ta có các trường hợp sau:
(1) |H1| = TR1`` - TC`` < 0, có nghĩa là độ dốc (h/s góc) của đường MR1­ sẽ nhỏ hơn độ dốc của đường MC.
(2) |H2| = (TR`` - TC``) (TR2`` - TC``) - (TC``)2 > 0
hoặc TR1`` TR2`` - (TR1`` + TR2``) TC`` > 0
(3) |H3| = TR1`` TR2`` TR3`` - (TR1`` TR2`` + TR1`` TR3`` + TR2`` TR3``)
TC`` < 0
Như vậy điều kiện đủ để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa là:
|H1| < 0 ; |H2| > 0 ; |H3| < 0

III. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC
(CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)


1. Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có ràng buộc
2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn
3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có ràng buộc
- Theo cách trên, ta giải quyết vấn đề bằng cách cài 1 trong 2 biến phụ thuộc vào biến kia. Sau đó dùng phương pháp thế để giảm bớt ẩn số, nhưng thực tế biểu thức ràng buộc rất phức tạp, do vậy phương pháp thế sẽ không còn hiệu quả. Nhà toán học Lagrange đưa ra một phương pháp mới cho phép bài toán có cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến chọn.
Thật vậy: khảo sát cực trị của hàm số sau:
y=f(x,y) với điều kiện G(x,y)=B0
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có ràng buộc
Xuất phát từ hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc ta lập hàm số, gọi là hàm Lagrange.
L = L (, x, y) = f(x,y) + [ B0 - G(x,y)] (4)
Hàm (4) có thêm 1 biến chọn , gọi là nhân tử Lagrange, chú ý rằng với tất cả các điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện ràng buộc, tức là khi xét các biến chọn chỉ trong miền biến thiên đã bị thu hẹp bởi điều kiện ràng buộc, hàm mục tiêu đồng nhất với hàm số L.
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị hai bien có 1 ràng buộc
+ Như vậy điều kiện cần để hàm số f(x,y) với ràng buộc đạt cực trị quy về điều kiện cần để hàm Lagrange đạt cực trị không có điều kiện.
Phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị hai bien có 1 ràng buộc
+ * Điều kiện đủ:
- Giả sử tại (0, x0, y0) đạo hàm bậc nhất của hàm Lagrange triệt tiêu khi đó nó là nghiệm của hệ phương trình (5)
Xét ma trận: Hessian Border



Định lý: Nếu định thức |H| > 0 (<0) thì hàm số L đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M(x0, y0)
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phương trình ràng buộc
Xét bài toán: Tìm cực trị hàm số y = f(x1, x2, ..., xn) (6)
Với điều kiện: G(x1, x2,..., xn) = B0 (7)
+ Hàm số Lagrange:
L = L(, x1, x2..., xn) = f(x1, x2, ..., xn) + [ B0 - G(x1, x2..., xn)]
+ Điều kiện cần:
Biến (x1, x2,...xn) mà tại đó hàm số (6) có khả năng đạt cực trị về điều kiện (7) được tìm cùng với một giá trị  = của nhân tử Lagrange từ hệ phương trình:
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phương trình ràng buộc








Trong đó các đạo hàm riêng:
được tính tại điểm dừng (của hàm Lagrange.
+ Điều kiện đủ (kiểm tra xem cực đại hay cực tiểu)
Để kiểm tra những điểm thoả mãn điều kiện cần ta lập ma trận:
Xét cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phương trình ràng buộc

Định lý:
Nếu (-1) > 0 với k = 2, 3,...n tức là:


thì hàm số L đạt giá trị cực đại tại điểm M (Nếu với k = 2, 3,... n thì hàm số L đạt cực tiểu tại điểm M (
Nếu với k = 2, 3,... n thì hàm số L đạt cực tiểu tại điểm M (
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối ưu hoá lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng

Bài toán: Ta xét lại bài toán tối đa hoá lợi ích của người tiêu dùng trong phần I của chương này. Đó là cực đại hoá hàm lợi ích U = U(x1, x2,… xn) với điều kiện TC(x1, x2,… xn) =P1x1 + P2x2+…+ Pnxn= B0. Trong đó P1, P2,… Pn là giá thị trường của các mặt hàng trong cơ cấu mua sắm (x1, x2,… xn); B0 là thu nhập dành cho tiêu dùng.
Giải:Lập hàm Lagrange: L= U(x1, x2,… xn) + (B0 –P1 x1–P2 x2- Pnxn)
* Điều kiện cần:
Chúng ta tính các đạo hàm riêng phần: L, L1, L2 …Ln và cho chúng bằng 0.

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối ưu hoá lợi ích và nhu cầu của người tiêu dùng
Nhân tử  phản ánh ảnh hưởng của thu nhập đối với lợi ích tối đa của người tiêu dùng khi có thêm 1 đồng thu nhập, lợi ích tối đa của người tiêu dùng sẽ tăng thêm khoảng  đơn vị.
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :

Ta lập ma trận Hessian Boder
Để tối đa lợi ích thì cấn điều kiện:
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Bài toán: Một hãng sản xuất cạnh tranh một loại sản phẩm và hàm sản xuất là Q=f(x1, x2,… xn). Giả sử hãy tiến hành sản xuất với một ngân sách B0 cố định chi cho việc mua các yếu tố sản xuất (x1, x2,… xn). Yêu cầu được đặt ra:
Xác định số lượng các yếu tố đầu vào được sử dụng để sản xuất ra thật nhiều sản phẩm nhưng tổng chi phí dành cho sản xuất là nhỏ nhất. Tức là:
Cực đại hàm số: Q=f(x1, x2,… xn). với điều kiện
TC(x1, x2,… xn) =P1X1 + P2X2+…+ PnXn= B0. Trong đó: Pj là giá của mỗi một đơn vị đầu vào j.

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Giải :
Ta lập hàm L= f(x1, x2,… xn)+ [ B0- (P1x1 + P2x2+…+ Pnxn)]
* Điều kiện cần: dL = 0 => L1 = L2 = ... = L = 0

Ý nghĩa kinh tế của : Khi tổng ngân sách dành cho sản xuất mà tăng lên 1 đơn vị thì số lượng sản phẩm sản xuất sẽ tăng thêm một lượng là .
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Giải :
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :

Để tối đa lợi ích thì cấn điều kiện:
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với sản lượng tối đa
Ví dụ: Với hàm sản xuất Q = L0,6 K0,25, WL = 8, WK = 5 và B = 680 hãng phải lựa chọn một tổ hợp yếu tố sản xuất (L, K) để đạt mức sản xuất lớn nhất trong điều kiện ngân sách có hạn, tức là cực đại hoá hàm số: Q = f(L, K) = L0,6 K0,25 với điều kiện: 8L + 5K = 680, giải bài này theo phương pháp nhân tố Lagrange ta tìm được: L = 60, K = 40.

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với chi phí tối thiểu các đầu vào
Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Khi đó bài toán trở thành:
Xác định xj>0 (j=1…n) để cho hàm số:

(chi phí sản xuất nhỏ nhất)
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất:
Q= f(x1, x2…xn) = Q0

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Sản xuất với chi phí tối thiểu các đầu vào
Giải:
* Điều kiện đủ:
Ta đi tính các đạo hàm riêng :
Để tối thiểu hoá ngân sách dành cho tiêu dùng thì cấn điều kiện:
Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Ví dụ: Với Q = 25 L0,5 K0, 5, PL = 3, PK = 12 và Q0 = 1250. Yêu cầu cực tiểu hoá hàm số: L = 3L + 12K với điều kiện 25 L0,5 K0, 5 = 1250, giải bài toán này theo phương pháp Lagrange ta tìm được phương án sử dụng các yếu tố sản xuất với chi phí tối thiểu là: L = 100, K = 25

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Tối đa hoá lợi nhuận của hãng độc quyền.
Để giải bài toán đặt ra trước hết ta đảo ngược các hàm cầu:
P1 = 210 - 10Q1
P2 = 125 - 2,5Q2
Trong cả 2 trường hợp, tổng doanh thu của cả 2 thị trường là:
TR = P1Q1 + P2Q2 = (210 - 10Q1) Q1 + (125 - 2,5Q2)Q­2
Tổng lợi nhuận thu được là:  = TR - TC
 = (210 - 10Q1) Q1 + (125 - 2,5Q2)Q2 - 2000 - 10(Q1+Q2) =
= -10Q12 -2,5Q22 +200Q1 +115Q2 -2000
Bài toán đặt ra là lựa chọn Q1, Q2 để hàm tổng lợi nhuận  đạt giá trị lớn nhất, nhưng có sự khác giữa trường hợp phân biệt giá và trường hợp giá bán ở 2 thị trường như nhau

Ứng dụng trong phân tích kinh tế
+ Trong trường hợp không phân biệt giá ta phải giải bài toán cực đại hoá hàm tổng lợi nhuận  với điều kiện ràng buộc:
P1 = P2
 210 - 10Q1 = 125 - 2,5Q2  10Q1 - 2,5Q2 = 85
Hàm số Lagrange là:
L = 200Q1 + 115Q2 - 10Q21 - 2,5Q22 - 2000 +  (85 - 10Q1 + 2,5Q2)
Điều kiện cần của cực trị là:
L1 = 200 - 20Q1 - 10 = 0 Q1 = 13,4
L2 = 115 - 5Q2 + 2,5 = 0  Q2 = 19,6
L = 85 - 10Q1 + 2,5Q2 = 0  = -6,8
- Điều kiện đủ: