BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
NỘI DUNG
I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNGTRÌNH MỘT ẨN
II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
III.MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi
Hãy biểu diễn tập số sau trên trục số A = (-?; 3/2]?
I. Khái niệm bất phưƯơng trình một ẩn.
1. bất phƯương trình một ẩn.
1. bất phưƯơng trình một ẩn.
Ví dụ về bất phưưuơng trình một ẩn:
a. 2x - 3 < x +1
b. 2x2 - x ? 2x-1
(Có dạng f(x) < g(x) hoặc f(x) ? g(x))
1. bất phưƯơng trình một ẩn.
+ Ta gọi f(x) và g(x) lần lưuợt là vế trái và vế phải của bất phuương trình (1).
+ Giải bất phuương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm
rỗng thì ta nói bất phưuơng trình vô nghiệm.
Chú ý: Bất phưuơng trình (1) cũng có thể viết lại dưuới dạng sau:
g(x) > f(x) (g(x) ? f(x)).
1. bất phưưuơng trình một ẩn.
Cho bất phưuơng trình: 2x ? 3
b. Giải bpt đó và biểu diễn tập của nó trên trục số?
2. Điều kiện của một bất phưưuơng trình.
Hãy kiểm tra các số: -1; -46; 4
số nào là nghiệm của bất phuương trình trên?
2
7
2. Điều kiện của một bất phưUơng trình.
+ Tưuơng tự đối với phưuơng trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phưuơng trình (1).
là 3- x ? 0 và x + 1 ? 0.
2. Điều kiện của một bất phưUơng trình.
là 1- x ? 0 và x - 3 ? 0
Có giá trị của x thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên không?
Giá trị nào của x thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên?
Nghiệm của bất phưuơng trình là:
là 1- x ? 0 và x - 1 ? 0
x = 1
x = 1
Không có giá trị nào của x thoả mãn đồng thời hai ĐK trên.
3. Bất phưUơng trình chứa tham số.
VD4: Xét bất phưuơng trình: 3x- 4 < 0.
Trong một bất phưuơng trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có những chữ khác đưuợc xem nhưưu những hằng số và đưuợc gọi là tham số.
Chẳng hạn: (2m - 1)x + 3 < 0
x2 - mx + 1 > 0
Giải và biện luận bất phuương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phưuơng trình vô nghiệm, bất phưuơng trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
(x là ẩn, m là tham số.)
II. Hệ bất phUương trình một ẩn.
(*) là một hệ bất phưuơng trình một ẩn.
Ta thấy x = 1 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện trên.
Ta nói x = 1 là nghiệm của hệ bất phuương trình (*).
là 1- x ? 0 và x - 1 ? 0
II. Hệ bất phưUơng trình một ẩn.
+ Hệ bất phưuơng trình ẩn x gồm một số BPT ẩn x mà
ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
+ Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phưuơng trình của hệ đưuợc gọi là một nghiệm của hệ bất phuương trình đã cho.
+ Giải hệ bất phuương trình là tìm tập nghiệm của nó.
+ Để giải một hệ bất phưuơng trình ta giải từng bất phưuơng trình rồi lấy giao các tập nghiệm.
II. Hệ bất phưUơng trình một ẩn.
Giải bất phưuơng trình (1):
Giải bất phưuơng trình (2):
3 - x ? 0 ? x ? 3
x + 1 ? 0 ? x ? -1
II. Hệ bất phUương trình một ẩn.
VD1: Giải hệ bất phưuơng trình:
Giải bất phưuơng trình (1):
Giải bất phuương trình (2):
3 - x ? 0 ? x ? 3
x + 1 ? 0 ? x ? -1
Kết luận tập nghiệm của bất phưuơng trình:
T = [-1; 3]
III.MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1/Bất phương trình tương đương
2/Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đền khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm . Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng)là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó
Tương tự:Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương đó
VÍ DỤ 2 :Giải hệ phương trình
3/ Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện cùa bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
VÍ DỤ 2 (SGK tr 83): Giải bất phương trình
Nhận xét .Nếu cộng hai vế của bất phương trình
P(x) < Q(x) +f(x) với biểu thức –f(x) ta được bất phương trình P(x) –f(x) < Q(x) .Do đó
4/ Nhân (chia) (SGK tr 84)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương ( mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phươngtrình tương đương. Nhân ( chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm ( mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương
VÍ DỤ 3(SGK tr 84) :Giải bất phương trình
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 1
5. Bình phương:
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương
VÍ DỤ 4 (SGK tr 85) : Giải bất phương trình
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1/4
6 . Chú ý:
a / Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi . Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới
VÍ DỤ 5 (SGK tr 85) : Giải bất phương trình
Giải
Điều kiện:
Ta có:
Kết hơp điều kiện ta có hệ:
Vậy nghiệm của bất pt là
b/ Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biễu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x) . Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp . Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình
VÍ DỤ 6( SGK tr 86) : Giải bất phương trình:
Điều kiện:
Giải
Khi đó ta có hệ :
Vậy nghiệm của bất pt là
VÍ DỤ 7 (SGK tr87) : Giải bất phương trình:
Giải
b/ Khi
bpt
Ta có hệ :
Vậy nghiệm của bất pt là x < 4
XIN CHÀO TẠM BIỆT