Các phương pháp giải
bất phương trình mũ và lôgarit
Phần 1


Nội dung
Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá
Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ
Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh tính đúng đắn của nghiệm đó

Để giải bất phương trình mũ và lôgarit học sinh cần phải biết vận dụng thành thạo các phép biến đổi về hàm số mũ và hàm số lôgarit; nắm vững các tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số đó. Ngoài ra còn phải biết cách biến đổi tương đương các dạng bất phương trình cơ bản, bất phương trình chứa căn thức…
Tóm tắt lý thuyết
Xét bất phương trình mũ dạng af(x) > b (a > 0) ta có kết luận:
Nếu b  0 thì nghiệm của bất phương trình là x  D, với D là tập xác định của f(x).
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình:
f(x) > logab nếu a > 1
f(x) < logab nếu 0 < a < 1
Xét bất phương trình mũ dạng af(x) < b (a > 0) ta có kết luận:
Nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm.
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình
f(x) > logab nếu 0 < a < 1
f(x) < logab nếu a > 1
Tóm tắt lý thuyết (tt)
Xét bất phương trình lôgarit dạng: logaf(x) > logag(x) (a > 0, a  1), khi đó
Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với hệ

Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với hệ

Sau đây là các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit.
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình mũ sau:
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)
Bài giải
a) Chia hai vế của bất phương trình cho 5x > 0 ta được:



b) Bất phương trình được viết về dạng:
(2.3.5)x > 900  30x > 900  x > 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2 ; + )
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)
c) Bất phương trình được biến đổi thành:
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 1 (tt)
d) Lôgarit cơ số 2 cả hai vế của bất phương trình ta được:
x2 > (x – 1)log23  x2 – xlog23 + log23 > 0 (*)
Bất phương trình (*) có  = (log23)2 – 4log23 = log23(log23 – 4) < 0
(Vì log23 > 0 và log23 – 4 < 0) nên BPT (*) đúng với mọi giá trị của x.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x  R.
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau:

I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2 (tt)
Bài giải


I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 2 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3 (tt)
Bài giải


I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 3 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x thoả mãn: log2x+3 x2 < log2x+3 (2x + 3)

I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4 (tt)
Bài giải


I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 4 (tt)
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5:

I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5 (tt)
Bài giải






Kết hợp với điều kiện x > –2 suy ra trong trường hợp này nghiệm của bất phương trình là x > 4.
I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt)
Ví dụ 5 (tt)




Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình trong trường hợp này là –4 < x < –3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (–4 ; –3)  (4 ; +)
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 6 (tt)
Bài giải


II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 6 (tt)
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 6 (tt)
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 6 (tt)
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 7: Giải các bất phương trình

II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 7 (tt)
Bài giải


II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 7 (tt)
II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ (tt)
Ví dụ 7 (tt)