Kiểm tra bài cũ
CÂU HỎI
§ 2. C¸c qui t¾c tÝnh ®¹o hµm
4. Đạo hàm của hàm số hợp:
a. Khái niệm hàm số hợp:
Cho hai hàm số y=f(u) và u=u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y= g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian.
b. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
Định lý 4:
Nếu hàm số u =u(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u0=u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0, và
g`(x0) = f`(u0).u`(x0) .
b. Nếu trong giả thiết phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g(x) có đạo hàm trên J , và g`(x) = f`[u(x)].u`(x).
Công thức thứ hai được viết gọn lại là g`x = f`u.u`x
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x2-3x và hàm số g(x) = 2x+1. Tìm hàm số hợp y = g[f(x)] và tính đạo hàm của nó.
Chứng minh:
Giải: Ta có f`(u) = (u4)`=4u3 . Do u(x) = x3+4x+5 nên u`(x)= 3x2 +4.
Vậy g`(x) = f`[u(x)].u`(x) = 4(x3 +4x+5)3(3x2 +4).
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = un(x) ( với n tự nhiên và n>1) có đạo hàm trên J, và
[ un(x)]`= n.un-1(x).u`(x).
Bài tập : Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (x7+x)2
Ghi nhớ
a) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( ở đây u = u(x) ).
b) Các qui tắc tính đạo hàm ( ở đây u = u(x), v = v(x) )
c) Đạo hàm của hàm hợp ( ở đây g(x) = f[u(x)] )
Củng cố bài học
Cách 1: (Sử dụng phương pháp xấp xỉ tiếp tuyến)
Giả sử cho hai hàm số f(u) và u= g(x) . Cần tính (f[g(x)])`. Xét một giá trị x0 tùy ý ( thuộc miền xác định của g), u0= g(x0). Tiếp tuyến tại điểm (u0;f(u0)) của f có phương trình
y1= f`(u0)(u-u0)+f(u0)
Tiếp tuyến tại điểm (x0;g(x0)) của g có phương trình
y2= g`(x0)(x-x0)+ g(x0)
Tiếp tuyến tại điểm ( x0; f[g(x0)] )của f[g(x)] có phương trình
y= (f[g(x)] )`(x0)(x-x0)+ f[g(x0)]
Suy ra y1 = f`(g(x0))[g`(x0) (x-x0)+ g(x0)-g(x0)] +f(g(x0)
= f`(g(x0)) g`(x0) (x-x0) +f(g(x0)
Do y1=y nên (f[g(x)])`= f`[g(x0)].g`(x0) . Điều này xảy ra với mọi giá trị của x0 nên ta có quy tắc (f(g))`= f`g.g`x
Cách 2: Dùng định nghĩa ( SGK Đại số & giải tích 12 - Chỉnh lý 200 )
Chân thành cảm ơn sự chú ý theo dõi của các thầy cô giáo và các em học sinh !
Chúc sức khoẻ các thầy cô giáo và các em !
Thao Giang GVG dot 2