NHIỆT LIỆT CHÀO
MỪNG CÁC THẦY CÔ
GIÁO ĐẾN DỰ GIỜ LỚP
11A

Khởi động
Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là
3,7,11,15 .
Hãy chỉ ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp
năm số hạng của dãy số đã cho ?
BÀI GIẢI

•Quy luật của dãy số trên là :
7=3+4;

11=7+4;

15=11+4 .

Số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm 4
•Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :
19,23,27,31,35

Chương 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
TIẾT 41

Bài 3. CẤP SỐ CỘNG
I

ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG

II

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

III TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
IV TỔNG
V

SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

BÀI TẬP

I.
1.

ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Định nghĩa

Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong
đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng
đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu là cấp số cộng với công sai ta có công thức truy
hồi
,
Đặc biệt khi thì CSC là một dãy số không đổi.

I.

ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Nếu là cấp số cộng với công sai ta có công thức truy
hồi
,
Nhận xét
- Công thức

cho phép tính được một số hạng của CSC

nếu biết công sai và số hạng đứng ngay trước nó hoặc
ngay sau nó.
- Tính được công sai nếu biết hai số hạng liên tiếp
- Muốn chứng minh một dãy số là cấp số cộng ta chứng
minh , trong đó là hằng số.

I.

ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG

Ví dụ 1

Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một
cấp số cộng:

𝟏 ; −𝟑 ; −𝟕 ; −𝟏𝟏 ; − 𝟏𝟓

Bài giải
Vì ;
;
;

Nên theo định nghĩa, dãy số là một cấp số cộng
với công sai .

I

ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 2

Cho dãy số có 3n-5.
a) Chứng minh dãy số đã cho là một cấp cố cộng?
b) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó? Viết
5 số hạng đầu của cấp số cộng đó?

Bài giải

a) Ta có :

b) Số hạng đầu:

Công sai:
Vậy dãy số đã cho là một
cấp số cộng.

5 số hạng đầu là

Ví dụ 3

Mai và Hùng chơi xếp que diêm thành hình tháp, cách xếp
được thể hiện như sau.

Hỏi: nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp
tầng đế của tháp?

1taàng

2 taàng

3 taàng

U 1= 3 ?

U 2= 7 ?

U3= 11 ?

…
…

100 taàng

?

U100=

II.

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1
Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số
hạng tổng quát được xác định bởi công thức:
với
Chứng minh: sgk

Ví dụ
3

Mai và Hùng chơi xếp que diêm thành hình tháp, cách xếp
được thể hiện như sau.

Hỏi: nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp
tầng đế của tháp?

1taàng

2 taàng

3 taàng

U 1= 3 ?

U 2= 7 ?

U3= 11 ?

…
…

100 taàng

?

U100=

II.

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
với
Ví dụ 4

Cho cấp số cộng , biết .

a) Tìm
b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

Bài giải
a) Theo công thức ta có
b) Theo công thức ta có .
Vì

nên

.

Vậy 100 là số hạng thứ
36.

Em có nhận xét gì về vị trí
của u2 so với u1, u3 và u4 so
Từ hình ảnh biểu
diễn hình học của 5 số hạng đầu
với
3,uvà
5? sách giáo khoa, em hãy
cấp số cộng trong
víudụ

nêu nhận xét tính chất các số hạng của một cấp số
Năm số hạng đầu của cấp
số cộng trên là được biểu
cộng

diễn bởi các điểm tương ứng trên hình vẽ

Nhận xét: điểm là trung điểm của đoạn thẳng hay
Ta cũng có kết quả tương tự với và

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ

CỘNG

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng
đầu và số hạng cuối) đều là trung bình cộng của hai
số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

Chứng minh: sgk

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ

CỘNG

Ví dụ 5

Tìm biết các số ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng .

Bài giải

Em hãy nêu ý tưởng để
giải bài tập này?

Vì ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Nên:

Vậy với thì các số ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng
.

Thời tuổi trẻ của Gauss
Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc
Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức),
con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng
lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng
bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên
ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài
chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu
học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số
nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong
vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông
nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra
kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99
= 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101
= 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện
có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra
có thể khó hơn như vậy.

IV.

TỔNG

SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

ĐẶT VẤN ĐỀ: cho cấp số cộng 1;2;3;4;5;...;98;99;100. tính :
Sn= 1+2+3+4+5+...+98+99+100
NHẬN XÉT: 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100

5+96=101
4+97=101
3+98=101
2+99=101
1+100=101

KẾT LUẬN : từ 1 đến 100 có 50 cặp ,mà mỗi cặp có tổng bằng
101 nên:

100
Sn 50.101 
1  100 
2
n
số cặp:
2

số hạng
số cuối
hạng:uđầu:u
n
1

=> Tổng quát :Sn
=?

IV.

TỔNG

SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3
Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó

Chú ý
Vì nên công thức có thể viết

Lưu ý : công thức (4) sử dụng khi biết n,u1,un
công thức (4) sử dụng khi biết n,u1,d
Tuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý

IV.

TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ
CỘNG
Ví dụ 6

Cho cấp số cộng

với

a) Tính tổng của 50 số hạng đầu.
b) Biết tìm .

Bài giải
a) Vì nên theo công thức ta có

𝐒𝟓𝟎 =𝟓𝟎 . (− 𝟐 )+

𝟓𝟎 . 𝟒𝟗
. 𝟑 =𝟑𝟓𝟕𝟓
𝟐

IV.

TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ
CỘNG

Ví dụ 6

Cho cấp số cộng

với

b) Biết , tìm .

Bài giải
c) Vì nên theo công thức ta có:

[

𝐧 =𝟏𝟑
𝐧 ( 𝐧 −𝟏 )
𝟐
𝐒𝐧 = 𝐧 . ( − 𝟐 ) +
.𝟑=𝟐𝟎𝟖 ⇔ 𝟑 𝐧 − 𝟕 𝐧 − 𝟒𝟏𝟔=𝟎 ⇔
𝟑𝟐
𝟐
𝐧 =−
𝟑

Do   𝐧 ∈ ℕ ∗   n ê n   𝐧 =𝟏𝟑

I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Dãy số được gọi là cấp số cộng
, không đổi.

CẤP SỐ
CỘNG

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
với

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ
CỘNG
với

IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP
SỐ CỘNG
Hoặc

CỦNG CỐ

Các nhóm làm vào phiếu học tập và tính
điểm

Bài tập về nhà: Bạn Lan muốn tiết kiệm tiền bằng cách: ngày thứ
nhất bạn Lan bỏ vào heo đất 10.000 đồng, hôm sau bỏ nhiều hơn
hôm trước 2.000 đồng. Hỏi:
a/ Ngày thứ 30 Lan phải bỏ vào heo đất bao nhiêu tiền ?
b/ Sau 30 ngày Lan tiết kiệm được bao nhiêu tiền ?
c/ Để đủ tiền mua quà cho Mẹ giá 190.000 đồng thì Lan cần mất bao
bao nhiêu ngày kể từ ngày bắt đầu tiết kiện ?

BÀI HỌC ĐẾN ĐÂY KẾT
THÚC, CHÚC CÁC THẦY
CÔ GIÁO VÀ CÁC EM
HỌC SINH SỨC KHỎE

XIN CHÂN THÀNH
CẢM ƠN!