§1. Nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F ’(x) = f(x) (x ( K.
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) (C là hằng số, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K đều tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C (x ( K.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm F(x) trên K.
Vài tính chất của nguyên hàm:




Bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp:




















Bài tập áp dụng:
1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:


3. Tính:




4. Tìm hàm số y = f(x) biết

5. Tìm hàm số y = f(x) biết

6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:


§2. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
Phương pháp đổi biến số: Hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f(u(x)) xác định trên K. Khi đó,
nếu
thì

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

Bài tập áp dụng:
1. Dùng phương pháp đổi biến, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:










2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng p.pháp lấy nguyên hàm từng phần:










3. Khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta dẫn đến công thức

CMR:

4. Đặt
(n N*).
a) CMR: In = xnex – nIn - 1. b) Tìm I1, I2, I3.
5. Đặt
(n N*).
a) CMR:
. b) Tìm I3.
§3. Tích phân:
1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân:
1) Diện tích hình thangcong: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] có đồ thị là đường cong (C). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), cá đường thẳng x = a, x = b và trục hoành là S = F(b) - F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).
2) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi v = f(t) (0 < t < T) thì quãng đường đi được trong khỏng thời gian từ t = a đến t = b (0 < a < b < T) là L = F(b) - F(a) trong đó F(t) là một nguyên hàm của f(t) trên khoảng (0; T).
2. Khái niệm tích phân:
* Hàm số f(x) liên tục trên K và a, b ( K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(b) - F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b ký hiệu là

* Hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên [a; b], có đồ thị là đ.cong (C) thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường (C), x = a, x = b, y = 0 là

3. Các tính chất của tích phân: f(x) liên tục trên K và a, b, c ( K thì:




Bài tập áp dụng:
1. Tính các tích phân sau:






2. Chứng minh các tính chất sau đây của tích phân:

trên [a; b] thì

trên [a; b] thì
;

trên [a; b] thì

3.

§4. Các phương pháp tính tích phân:
Công thức đổi biến số:
Trong đó u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K