CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm cực trị GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp
(
( () và xo (

a) xo được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho (a; b) (
và f(x) < f(xo) với mọi x ( (a; b) { xo }.
Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
b) xo được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ;b) chứa điểm xo sao cho (a ; b) (
và f(x) > f(xo) với mọi x ( (a; b) . { xo }. Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị .
Điểm M(xo; yo) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm xo.
Chú ý
1)Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số f
nói chung không phải là giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp
.
f(xo) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
f trên một khoảng (a ;b) đủ nhỏ chứa điểm
.
2)Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp
và các cực trị nói chung là khác nhau (hình vẽ).
2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát hình vẽ ta thấy :
Nếu hàm số f hàm số đạt cực trị tại điểm
và đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xO; f(xO)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành tức là f’(xO) = 0 .
Định lí 1
Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xO và hàm số f có đạo hàm tại xO thì f’(xO) = 0
Điều ngược lại có thể không đúng.
Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm xO nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm

Ví dụ Xét hàm số f(x) = x3, ta có f’(x) = 3x2 và f’(0) = 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0 vì f’(x) = 3x2 > 0, ( x ( 0 nên hàm số đồng biến trên (.
Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm .
Ví dụ Xét hàm số f(x) = |x| xác định trên R . Vì f(0) = 0 và f(x) > 0 với mọi x ( 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0
Như vậy :
3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
GIả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xO và có đạo hàm trên các khoảng (a; xO) và (xO;b) . Khi đó :
a)Nếu f’(x) < 0 (x ( (a; xO) và f’(x) > 0 (x ( (xO; b) ( f(x) đạt cực tiểu tại xO.
b)Nếu f’(x) > 0 (x ( (a; xO) và f’(x) < 0 (x ( (xO; b) ( f(x) đạt cực tiểu tại xO.
Định lí 2 được việt gọn lại trong hai bảng biến thiên sau :





Định lí 3
GIả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm xO, f’(xO) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xO.
a)Nếu f”( xO ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO .
b)Nếu f”( xO) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO .

Quy tắc tìm cực trị
( Phương pháp giải :
B1: Tìm tập xác định D, tính y’= f’(x), B2: Tìm các điểm xi ( D ( i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm .
B3: Dùng các QUI TẮC
( (Quy tắc I) Lập BBT rồi