Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
1

Định nghĩa

2

Chú ý

II

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

III

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
có đồ thị (C)
Quan sát và chỉ ra:
+) Điểm cao nhất của đồ thị (C) trên khoảng (0; 2).
+) Điểm thấp nhất của đồ thị (C) trên khoảng (2; 4).
Điểm B là điểm cao nhất của đồ thị (C) trên khoảng (0;
2), Do đó
Khi đó, ta nói hàm số đạt cực đại tại x0 = 1.
Điểm C là điểm thấp nhất của đồ thị (C) trên (2; 4), Do đó
Khi đó, ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 3.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

I

1

ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là , là ) và
điểm .
a) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
b) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại
.
đổi dấu từ dương sang âm khi đi
qua hàm số đạt cực đại tại .

đổi dấu từ âm sang dương khi đi
qua hàm số đạt cực tiểu tại .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

1.
Nếu
hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
của hàm số; điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị
hàm số.
2. điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Các
Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi
chung là cực trị của hàm số.
3. hàm số có đạo hàm trên khoảng và đạt cực đại hoặc cực tiểu
Nếu
tại thì .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Định lí 1.

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng
trên hoặc trên , với .

và có đạo hàm

a) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực
đại của hàm số .
b) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực
tiểu của hàm số .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

II

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

III

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

QUY TẮC I
1)
2)
3)
4)

Tìm tập xác định.
𝒇
'
(
𝒙
)
𝒇
'
(
𝒙
)
=
0
Tính
. Tìm các điểm tại đó
hoặc
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Ví dụ 1

1

không xác định.

Tìm cực trị của các hàm số sau:
𝟑

𝒚 = 𝒙 −𝟑 𝒙 +𝟐

2

𝟒

𝟐

𝒚 = − 𝒙 + 𝟐 𝒙 +𝟑

𝟐 𝒙 −𝟓
𝒚=
𝒙 −𝟏

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

𝟑

𝟏 . 𝒚 =𝒙 −𝟑 𝒙 +𝟐

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:

B ả ng   bi ế n   thi ê n

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

𝟒

𝟐

𝟐 . 𝒚 =− 𝒙 +𝟐 𝒙 +𝟑

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:
Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

𝟐 𝒙 −𝟓
𝟑.𝒚 =
𝒙−𝟏

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:.
Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số không có cực trị.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2
Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

AHà m  s ố có  bố n  đ iể m  c ực   trị.

BHà m  s ố đạ t  cự c   tiể u   tạ i  𝒙=𝟐.

CH à m  s ố kh ông  có c ự c  đạ i.

DHà m  số đạ t  cự c   tiể u   tạ i  𝒙=−𝟓.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 2

A

Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

.

B

.

C

.

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có: .
Bảng biến thiên

Do đó hàm số có điểm cực trị.

D

.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 3
Biết là giá trị của tham số để hàm số có hai điểm cực trị sao
cho . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

.

B

.

C

.

D

Bài giải
Tập xác định .
Ta có:
Hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
.
Khi đó là 2 nghiệm của . Theo Vi-ét ta có .
Theo bài ra .
Vậy .

.

TIẾT 2

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
KIỂM TRA BÀI
CŨ
1. Nêu điều kiện đủ để hàm số có cực trị và nêu quy tắc 1 để tìm cực trị
của hàm số
2. Áp dụng: Kiểm tra bài tập về nhà số 1a (trang 18).
Bài giải
Tập xác định: .

[

𝒙
=
−
𝟑
𝒚 =𝟔 𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟑𝟔 ,  𝒚 = 𝟎 ⇔
.
𝒙 =𝟐
'

𝟐

Bảng biến thiên

'

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại của hàm số là .
Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 1

A

Giá trị cực đại của hàm số là:

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có .
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 2.

y

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm
cực trị của hàm số đã cho là:

A

.

B

.

C

.

D

.

O

Bài giải

Dựa vào đồ thị ta khẳng định hàm số đã cho có điểm cực trị.

x

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 3.

Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

AHà m  s ố đạ t  cự c  đạ i  tạ i  𝒙=𝟎.

CHà m  s ố đạ t  cự c   tiể u   tạ i  𝒙=𝟎.
Bài giải

BH à m  s ố kh ông  có c ự c  tr ị.

DHà m  s ố có  hai  đ i ể m  c ự c  tr ị.

Tập xác định: .

Ta có: , .
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực tiểu tại .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 4.

Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào dưới đây sai?

A
B𝒇 (−𝟏) là m ột  giá tr ị c ự c  tiể u  c ủ a  h à m s ố.
C𝒙 𝟎=𝟎  l à đ iể m  c ự c  đạ i  củ a   hà m  s ố.
D𝒙 𝟎=𝟏  là đ i ể m  cự c   tiể u  c ủa  h àm  số.

Bài giải
Vì điểm là điểm cực đại của
đồ thị hàm số.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 5.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm
số có mấy điểm cực trị?

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Dựa vào đồ thị của ta thấy:
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm
Vậy hàm số có điểm cực trị.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Định lý
Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với . Khi đó:
2
a) Nếu thì là điểm cực tiểu của hàm số.
b) Nếu thì là điểm cực đại của hàm số.

QUY TẮC II
Bước
Bước
trình.
Bước
Bước

1: Tìm tập xác định của hàm số.
2: Tính . Giải phương trình và kí hiệu là các nghiệm của phương
3: Tính và .
4: Dựa vào dấu của suy ra điểm cực trị của hàm số.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Ví dụ 1

Dùng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có , .
Mặt khác:
Vậy:
 Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại của hàm số là .
 Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Ví dụ 2

Dùng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số .

Bài giải Tập xác định là: .
Ta có: .
.

𝒇
Vì
Và

' ' ( 𝒙 )=𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Ví dụ 3 Dùng quy tắc 2 tìm các điểm cực trị của hàm số:
, với .
Bài giải

Tập xác định: nên hàm số xác định với

Ta có: .

Với thì phương trình
Vì
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Ví dụ 4
Tìm giá trị thực của tham số sao cho hàm số:
đạt cực đại tại ?
Bài giải
Ta có: ;

Tập xác định:
.

;

Do  là hàm  bậc ba nên hàm số đạt  cự c đại tại 𝒙=𝟏 ⇔¿
[{
𝒎=𝟏 ( lo ạ i )
⇔ 𝒎=−𝟑 ( th ỏ a   m ã n ) ⇒ 𝒎=−𝟑 .
𝒎<− 𝟏

Vậy thì hàm số đạt cực đại tại điểm

TIẾT 3

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
KIỂM TRA BÀI
CŨ
Nêu quy tắc , quy tắc để tìm cực trị của hàm
số.

QUY TẮC 2

QUY TẮC 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số.
Bước 2: Tính . Giải phương trình
và kí hiệu là các nghiệm
của phương trình.

Bước 1:

Tìm tập xác định của hàm
số.

Bước 2:

Tính . Tìm các điểm tại đó
hoặc không xác định.

Bước 3:

Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Tính và .

Bước 4:

Từ bảng biến thiên suy ra
các điểm cực trị.

Bước 4:

Dựa vào dấu của suy ra
điểm cực trị của hàm số.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Câu
c),
e)
của
bài
tập
1
trang
18
SGK:
Áp
dụng
Quy
tắc
I,
hãy
tìm
1
các điểm cực trị của hàm số:
c)
e)
Bài giảic) Tập xác định là: .
Ta có ; .
Bảng biến thiên

Vậy:
 Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại của hàm số là .
 Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là 2.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Câu
c),
e)
của
bài
tập
1
trang
18
SGK:
Áp
dụng
Quy
tắc
I,
hãy
tìm
1
các điểm cực trị của hàm số:
c)
e)
Bài giải

e) Tập xác định là: , vì

.

Ta có: ; .
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Câu b) của bài tập 2 trang 18 SGK: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các
2
điểm cực trị của hàm số:.
Bài giải

b) Tập xác định là: .

Ta có: ; .
.
Vì
Hàm số đạt cực đại tại , .
Vì
.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Bài
tập
4
trang
18
SGK:
3
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số , hàm số luôn có 1 cực
đại và 1 cực tiểu.
Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:
Ta thấy có
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và qua hai nghiệm này
đổi dấu lần.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu với mọi .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Bài
tập
6
trang
18
SGK:
4
Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại tại .
Bài giải

Thử lại:
Với thì

Tập xác định là: .

Bảng biến thiên

Ta có:
Hàm số đã cho các đạt cực trị tại
𝟐

𝟐

⇒ 𝒚 ' (𝟐)=𝟎 ⇔𝟐 +𝟐 𝒎 .𝟐+ 𝒎 −𝟏=𝟎

[

𝒎=−𝟏
⇔𝒎 +𝟒 𝒎+𝟑=𝟎 ⇔
𝒎=−𝟑
𝟐

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
nên không phải là giá trị cần tìm.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tập
Bài
tập
6
trang
18
SGK:
4
Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại tại .
Bài giải

Với thì

Tập xác định là: .

Bảng biến thiên

Ta có:
Hàm số đã cho các đạt cực trị tại
𝟐

𝟐

⇒ 𝒚 ' (𝟐)=𝟎 ⇔𝟐 +𝟐 𝒎 .𝟐+ 𝒎 −𝟏=𝟎

[

𝒎=−𝟏
⇔𝒎 +𝟒 𝒎+𝟑=𝟎 ⇔
𝒎=−𝟑
𝟐

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại
nên là giá trị cần tìm.

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 1

A

.

Hàm số có điểm cực đại là:

B

.

C

.

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có .
.
Vì .
Vậy hàm số có điểm cực đại là .

D

.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 2.

Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

AHà m  số có 𝟏 c ự c  đạ i  và 𝟐 c ự c  ti ể u. BHà m  số có 𝟐 c ự c  đạ i  và 𝟏 c ự c  ti ể u.
C    Hàm  số kg  có cự c đại và có𝟏 cự c tiểu. DHà m  số có 𝟏 c ự c  đạ i  và 𝟏 c ự c  ti ể u.
Bài giải
Ta có: ,

Tập xác định: .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có cực đại và cực tiểu.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 3.

Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

AHà m  s ố đạ t  cự c  đạ i  tạ i  𝒙=𝟑.

BHà m  s ố đạ t  cự c  đạ i  tạ i  𝒙=𝟒.

CHà m  s ố đạ t  cự c  đạ i  tạ i  𝒙=−𝟏.

DHà m  s ố đạ t  cự c  đạ i  tạ i  𝒙=𝟐.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 4 Cho hàm số có đồ thị Biết rằng đồ thị có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác, gọi là Tính diện tích

A

.
Bài giải

B

.

C

.

Tập xác định là: .

Ta có
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: , ,

Suy ra vuông cân tại , do đó

D

.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 5Hàm đa thức có đạo hàm . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực
trị?

A

.

B

.

C

Bài giải
Ta có: .
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực

.

D

.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 6Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham
số để hàm số đạt cực trị tại hai điểm , thỏa .

A

.
Bài giải

B

C

.

.

D

.

Tập xác định là: .

Ta có: có .
Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm , thì phương trình có 2 nghiệm
phân biệt, nghĩa là: .
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: .
Ta có:
(nhận).

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 7
Tham số m thuộc khoảng nào dưới đây để đồ thị hàm số
có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực trị này tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 1?

A

.

Bài giải
Ta có: .

B

C

.

.

D

.

Tập xác định là: .

Hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình có ba nghiệm phân biệt .
Khi đó: .
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:
Tam giác cân tại .Suy ra .
Mặt khác: .

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lí 1.
Giả sử hàm số
trên , với .

liên tục trên khoảng

và có đạo hàm trên

hoặc

a) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm
số .
b) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm
số .

Định lý
Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với . Khi đó:
2
a) Nếu thì là điểm cực tiểu của hàm số.
b) Nếu thì là điểm cực đại của hàm số.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
QUY TẮC TÌM CỰC
TRỊ CỦA HÀM SỐ
QUY TẮC 2

QUY TẮC 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số.
Bước 2: Tính . Giải phương trình
và kí hiệu là các nghiệm
của phương trình.

Bước 1:

Tìm tập xác định của hàm
số.

Bước 2:

Tính . Tìm các điểm tại đó
hoặc không xác định.

Bước 3:

Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Tính và .

Bước 4:

Từ bảng biến thiên suy ra
các điểm cực trị.

Bước 4:

Dựa vào dấu của suy ra
điểm cực trị của hàm số.