Trường THPT Phan Chu Trinh
Giáo án Toán 11
Gv : Vu Ho�ng Anh
CHƯƠNG 5 - Đạo Hàm
BÀI 1 : KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1 . Ví dụ mở đầu : Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó ) ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi .
* Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng , chiều dương hướng xống đất , gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t = 0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình của viên bi là :
* Giả sử tại thời điểm , viên bi ở vị trí có tọa độ
*Tại thời điểm ,viên bi ở vị trí và có tọa độ
*Khi đó trong khoảng thời gian tư quãng đường viên bi đi được là :
*Vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là:
O
y
*Nếu càng nhỏ thì (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh , chậm của viên bi tại thời điểm
*Từ đó, ta xem giới hạn của tỉ số khi
là vận tốc tức thời tại thời điểm của viên bi
Kí hiệu :
*Nhiều vấn đề của tóan học, vật lý, hóa học, sinh học . . dẫn đến bài tóan tìm giới hạn :
*Trong toán học người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn ,là đạo hàm của hàm số tại thời điểm
2 . Đạo hàm của hàm số tại một điểm:
a) Khái niệm :
Cho hàm số xác định trên khoảng (a; b) và điểm thuộc khoảng đó .
Định nghĩa :
Giới hạn hữu hạn, nếu co,� của tỉ số
khi được gọi là Đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm
Kí hiệu: hay
Nghĩa là:
Nếu đặt và thì:
Chú ý:
1.Số gia được gọi là số gia của biến số tại điểm
Số gia được gọi là số gia của hàm số

ứng với số gia tại điểm
2.Số không nhất thiết chỉ mang dấu dương
b.Quy taộc tớnh ủaùo haứm
Muốn tính đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm theo định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :
Bước 1: tính theo công thức:
trong đó là số gia của biến số tại điểm
Bước 2 : Tìm giới hạn
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
Giải
Đặt , ta có :
* Tính
* Tính
Vậy
Nhận xét : Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm
5.Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm cố định thuộc (C) có hoành độ , với mọi điểm M thuộc ( C) khác có hoành độ là và là hệ số góc của cát tuyến .
Giả sử tồn tại giới hạn :
*Nếu có vị trí giới hạn là khi M chạy trên (C) tới thì gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm . gọi là tiếp điểm.
*Giả sử f có đạo hàm tại điểm , ta có :
Nhận xét :
+ Đạo hàm của hàm số tại là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại
+ Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại có phương trình là :
* Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
Ta có : f ` (-1) = 3 và f (-1) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2
4. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm :
* Xét chuyển động của một chất điểm có quãng đường là một hàm số s= f(t) của thời gian t .
Khi càng nhỏ thì tỉ số càng phản ánh
chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm
Giới hạn được gọi là vận
tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
Nhận xét : Vận tốc tức thời tại thời điểm của một chuyển động có phương trình s = s (t) bằng đạo hàm của hàm số s = s (t) tại điểm , tức là :
II. ẹaùo haứm treõn moọt khoaỷng :
a. Khái niệm :
1 . Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a; b).
2 . Nếu hàm số f có đạo hàm trên (a; b) thì hàm số f ` xác.
định bởi gọi là đạo hàm cảu hàm số f .
* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .
Giải:
Với mọi x thuộc khoảng , ta có :
Hàm số hằng y = c có đạo hàm trên R và y` = 0
Hàm số y = x có đạo hàm trên R và y` = 1
Hàm số có đạo hàm trên R
và
Hàm số có đạo hàm trên khoảng và

b.Đạo hàm của một số thường gặp :
* Ví dụ : Tìm đạo hàm của hàm số
Giải: Với , ta có :
Chú ý: Hàm số xác định tại x = 0 ,tuy nhiên nó không có đạo hàm tại x = 0.