§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
Kiểm tra bài cũ
Bài 1
Tìm vi phân của hàm số
y = sinx - xcosx
Giải
Ta có
y’= cosx-coxs + xsinx = xsinx
Do đó dy=(xsinx)dx
Bài 2 Tìm
Giải
Ta có
§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
I. ĐỊNH NGHĨA
Tính y’ và đạo hàm của y’ biết
a. y =
Giải
y’ =
Ta có
(y’)’=
6x - 10
b. y = sinx
Giải
Ta có
y’ = cos x
(y’)’ = - sinx
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm . Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a, b). Nếu hàm số y’ = f’(x)lại có đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x
Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x)
Chú ý
Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x)
Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n- 1)(x)
Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x)
Ví dụ: Cho y = x5
a. Hãy điền vào bảng sau
5x4
20x3
60x2
120x
120
0
b. Tính y100
c. Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn bằng 0
Giải
y100 = 0;
n = 6
Câu hỏi trắc nghiệm
Hãy điền đúng sai vào ô trống
y = sinx có y’’ = sinx

b) y = sinx có y’’ = -sinx

c) y = sinx có y(3) = cosx

d) y = sinx có y(3) = -cosx
S
Đ
S
Đ
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt
Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s
Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai
Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t)
Lấy số gia tại t thì v(t) có số gia tương ứng là
Tỉ số
được gọi là
gia tốc trung bình
của chuyển động trong khoảng thời gian
Nếu tồn tại
Ta gọi
là gia tốc tức thời
của chuyển động tại thời điểm t
Vì v(t) = f’(t)
Nên
1. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
HĐ 3
Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do
Giải
s’ = gt
Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
Nên ta có
suy ra s’’ = g
2. Ví dụ:
Xét chuyển động có phương trình
S(t) =
Asin
(A;
là những hằng số)
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động
Giải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta có
v(t) = s’(t) =
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1, 2, 3, 4, …, n
Kí hiệu y’, y’’,y’’’,y4 , .... , y(n)
2. Phương trình chuyển động
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
v(t) = f ’(t)
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
Bài tập
Bài tập 1 Tính f ’’(x) biết
a. f(x) = (2x – 3)5
b. f(x) = 3x2 + 3x
Giải
a. f ’(x) = 5.2(2x-3)4 = 10 (2x-3)4
Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3
b. f ’(x) = 6x +3
Suy ra f ’’(x) = 6
Bài tập 2 Tính f ’’(3) của bài 1a
Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3
Suy ra f’’(3) = 80.(2.3- 3)3 = 80.27 = 2160