SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————


Câu I (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình

2. Giải phương trình

Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương
sao cho mỗi một trong các số


là một số nguyên.
Câu III (2,0 điểm)
1. Giả sử
là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên
sao cho

2. Cho
là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
ta có bất
đẳng thức

Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu
chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử
là hàm số thỏa mãn các điều kiện
và
với mọi
. Tính các giá trị của
và
.
-------------Hết-------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)
Đáp án gồm 4 trang


Câu
Nội dung
Điểm

I (3 điểm)
I.1 (3 điểm)


+) Nếu
thay vào hệ ta có
hệ này vô nghiệm

0,5


+) Nếu
thì ta đặt
thay vào hệ ta được



0,5





0,5






0,5



.

0,5


Vậy hệ phương trình có nghiệm là


0,5


I.2 (1 điểm)


ĐK
với điều kiện này phương trình được đưa về dạng




0,25


Đặt
thay vào phương trình trên ta được



0,25


+)
phương trình này vô nghiệm
0,25


+)
giải phương trình này được nghiệm
. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
.

0,25

II
(1 điểm)
Giả sử tìm được bộ ba số
trong đó
là các số hữu tỉ dương sao cho có các số nguyên dương
thỏa mãn


Từ đó
. Suy ra




0,25


Đặt
trong đó
ta được

(1)


0,25


Do
nên nếu
là một số nguyên tố sao cho
thì hoặc
hoặc
do đó
không chia hết cho
. Do đó




0,25


Suy ra
Từ đó tìm được
và các hoán vị và vì vậy
và các hoán vị.


0,25

III
(2 điểm)
III. 1 (1,0 điểm)


Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại số tự nhiên
nào thỏa mãn thì với mọi số tự nhiên
ta luôn có




0,5


Lần lượt cho
và cộng từng vế của
bất đẳng thức ta được
. Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có đpcm.


0,5


III.2 (1,0 điểm)


Áp dụng bđt AM – GM cho
số
và
số
ta có




0,25


Tương tự ta được




Cộng từng vế các bđt trên ta được

(1)




0,25


Áp dụng bđt AM – GM cho
số
và
ta được

. Tương tự ta có







0,25


Cộng từng vế của các bđt trên