PHÒNG GD ĐT ỨNG HOÀ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Năm học 2008-2009

Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (4 điểm)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x3 + y3 + 2xy
Câu 2 (4 điểm)
a/ Cho p là số tự nhiên khác 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình
x2 + 5px - 1 = 0
x3; x4 là hai nghiệm của phương trình
x2 + 4px - 1 = 0
Chứng minh rằng tích (x1 – x3)(x2 – x3)(x1 + x4)(x2+ x4) là một số chính phương.
b/ Tìm số tự nhiên m thoả mãn đồng thời các điều kiện 9000 < m < 10000, m chia cho 95 dư 25 và m chia cho 97 dư 11.
Câu 3 (4 điểm)
a/ Tìm các số a, b để phương trình: (x – 1)(x – a) + 1 = (x – 2)(x + b) có ít nhất 3 nghiệm là
x = 30, x = 3 và x = 2009
b/ Giải phương trình

Với điều kiện


Câu 4 (4 điểm)
Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2x3. Chứng minh rằng trong 19 điểm đã cho có 3 điểm nằm trong hình tròn bán kính ¾ và tạo thành một tam giác có ít nhất một góc không vượt quá 450.
Câu 5 (4điểm)
Trong đường tròn (O, R) , cho dây AB cố định (AB < 2R) và C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi M tuỳ ý trên cung lớn AB, N là giao của dây CM với dây AB.
a/ Chứng minh tích CM.CN có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
b/ Xác định vị trí điểm M trên cung lớn AB sao cho AM. MB đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R và AB = 2a.

Hết