Bài toán: Cho tam giác ABC như hình vẽ:
Đáp án:
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
00
Em hãy cho biết:
A
B
Người ta
muốn đo
khoảng cách
giữa 2 điểm
A và B như
hình vẽ.
nhưng không
thể đến trực
tiếp được do
vướng hồ
nước
A
B
Người ta
muốn đo
khoảng cách
giữa 2 điểm
A và B như
hình vẽ.
nhưng không
thể đến trực
tiếp được vì
ở hai đỉnh núi
1. Bài toán: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí theo 2 hướng như hình vẽ.
Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?
Định lý côsin
Định lý côsin
Khái quát bài toán trên:
Ta xét tam giác ABC có: BC=a; AB=c; AC=b
Khi đó ta có:
2. Định lý Côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a; AB=c; AC=b ta có:
b2 = a2+c2 – 2.a.c.CosB
c2 = a2+b2 – 2.a.b.CosC
a2 = b2+c2 – 2.b.c.CosA
Định lý côsin
Ví dụ 1: Hãy vận dụng định lý Côsin vừa tìm được để tìm lời giải bài toán đo khoảng cách giữa 2 điểm B và C không đến trực tiếp được như hình vẽ:
Giải: Trong tam giác ABC áp dụng định lý Côsin ta có:
AC2+AB2 – 2.AB.AC.CosA
Thay số: BC2 = 252 + 152 - 2.25.15.Cos 300
BC2 =
Ví dụ vận dụng
Định lý côsin
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có a=2bCosC. Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Giải: Theo định lý Côsin ta có:
c2 = a2+b2 – 2.a.b.CosC
 c2 = b2
Vậy tam giác ABC cân với b=c
Ví dụ vận dụng
Định lý côsin
Bài toán: Giả sử tam giác ABC vuông tại A và có các cạnh tương ứng là a, b và c. Hãy viết biểu thức liên hệ giữa các cạnh theo định lí Côsin.
Giải: Theo định lý Côsin ta có:
a2 = b2+c2 – 2.b.c.CosA
Các hệ quả
=> a2 = b2+c2 – 2.b.c.Cos900
=> a2 = b2+c2
Đây chính là định lý Pi-ta-go
Vậy định lý Pi-ta-go là trường hợp đặc biệt của định lý Côsin
Định lý côsin
Từ định lý Côsin ta suy ra các hệ quả:
Các hệ quả
Nhận xét:
- Khi A là góc nhọn =>
CosA
> 0
=> b2+c2 > a2
- Khi A là góc vuông =>
CosA
= 0
=> b2+c2 = a2
- Khi A là góc tù =>
CosA
< 0
=> b2+c2 < a2
Định lý côsin
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
áp dụng các hệ quả để giải các bài toán
Giải:
Theo hệ quả ta có:
Cộng vế với vế của các đẳng thức này với nhau ta có điều cần chứng minh
3. áp dụng
Cho tam giác ABC, có cạnh BC=a, AC=b, AB =c. Gọi ma , mb mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ A, B, C của tam giác đó. Hãy minh rằng:
Giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMB ta có:
nên =>
Chứng minh tương tự ta có:
Vì:
Điều phải chứng minh
Đây chính là công thức tính độ dài các đường trung tuyến trong tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a=7cm, b=8cm và c=6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giácđã cho.
Giải:
Tổng kết
Qua nội dung đã học các em cần :
Hiểu được cách chứng minh định lý Côsin
Vận dụng được định lý Côsin trong tính toán
Hiểu được các trường hợp đặc biệt của định lý Côsin
Biết cách suy ra các hệ quả của định lý Côsin
Vận dụng được các kiến thức về véc tơ khi học bài