A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Như ta đã biết: Nâng cao chất lượng dạy và học luôn là đòi hỏi cần thiết
trong hoạt động dạy và học.Trong giải toán việc tìm cách để nhớ cũng như
sự liên hệ giữa các kiến thức, tìm thấy sự quen thuộc cũng như sự mới lạ
trong các bài toán sẽ giúp chúng ta nắm vững hơn và nhớ kỹ về kiến thức đó.
Việc nêu ra nhiều phương pháp giải cho một bài toán nhằm kích thích khả
năng tìm tòi, sáng tạo đối với những học sinh giỏi, phát huy tính tích cực của
học sinh theo tinh thần giáo dục phổ thông 2018, là mục tiêu quan trọng của
giáo dục hiện đại.
Trong hoïc toaùn, vieäc giaûi toaùn vaø tìm theâm nhöõng lôøi giaûi khaùc cuûa moät
baøi toaùn nhieàu khi ñi ñeán nhöõng ñieàu thuù vò. G-polya (1887-1985) nhaø
toaùn hoïc vaø laø nhaø sö phaïm ngưôøi Myõ goác Hungary ñaõ khuyeân raèng:
“Ngay khi lôøi giaûi maø ta ñaõ tìm ñöôïc laø toát roài, thì tìm ñöôïc moät lôøi giaûi
khaùc vaãn coù lôïi. Thaät laø sung söôùng khi thaáy raèng, keát quaû tìm ra ñöôïc xaùc
nhaän nhôø hai lí luaän khaùc nhau. Coù ñöïôc moät chöùng côù roài, chuùng ta coøn
muoán tìm theâm moät chöùng côù khác nöõa, cuõng nhö chuùng ta muoán sôø vaøo
moät vaät maø ta ñaõ troâng thaáy”. Chính vì lẽ đó tôi viết lên chuyên đề dành
cho học sinh giỏi . Chuyên đề được mang tên:
“ ĐẶC BIỆT HÓA TRONG GIẢI TOÁN ”

DÙNG “ ĐẶC BIỆT HÓA” ĐỂ GIẢI MỘT
BÀI TOÁN LỚP 8 , LỚP 9 BẰNG NHIỀU
CÁCH KHÁC NHAU.

B. NỘI DUNG CHÍNH
** PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG III TOÁN 9: CĂN BẬC HAI
Baøi 1: Cho a; b; c thoûa maõn a > c; b > c > 0. Chöùng minh raèng:

c(a  c)  c(b  c)  ab

(Trích ñeà thi HSG toaùn 9- TPHCM n ăm h ọc: 2000-2001)
Giaûi:
Caùch 1: (Duøng giaû thieát taïm)
Giaû söû:

c(a  c)  c(b  c)  ab

c (a-c) + c (b-c) + 2c (a  c)(b  c)  ab
c2+ (a-c)(b-c) -2c (a  c)(b  c)  0
2

 c  (a  c)(b  c)  0 (Baát ñaúng thöùc ñuùng)



Vaäy ñieàu giaû söû laø ñuùng. Suy ra ñpcm.

Chöùng minh:

c(a  c)  c(b  c)  ab

(a> c; b > c > 0)

Caùch 2: Söû duïng baát ñaúng thöùc phuï: ax  by  (a2  b2 )(x 2  y 2 )
AÙp duïng BÑT treân ta coù:

c(a  c)  (b  c)c  (c  b  c)(a  c  c)



c(a  c)  c(b  c)  ab

(ñpcm)

Caùch 3: AÙp duïng baát ñaúng thöùc giữa TBN, TBC cho 2 caëp soá
khoâng aâm
c a c
c b c
,
vaø ,
ta coù:

b a
a b
c(a  c)
c(b  c) 1  c a  c  1  c b  c 

  
  

ab
ab
2 b
a  2 a
b 




c(a  c)



c(b  c)

1

ab
ab
c(a  c)  c(b  c)  ab (ñpcm)

Chöùng minh:

c(a  c)  c(b  c)  ab

Caùch 4: Ñaët a=(1+x)c; b=(1+y)c
Ta coù:

(a> c; b > c > 0)

(vôùi a, b > 0; x, y> 0)

c(a  c)  c(b  c) c( x  y);
ab c. (1  x)(1  y)

Maø





2

xy  1 0

 2 xy 1  xy

 x  y  2 xy x  y  1  xy





x y



2

(1  x)(1  y)

x  y  (1  x)(1  y)

 c(a  c)  c(b  c)  ab (ñpcm)

Chöùng minh:

c(a  c)  c(b  c)  ab

(a> c; b > c > 0)

Caùch 5: Treân tia Bx laáy H, C sao cho BH= a  c , HC=
Veõ AH  BC, AH= c vaø veõ BK  AC, K  AC.
A
Ta coù BK  AB.

b c

K

AÙp duïng ñònh lí Pythagore vaøo caùc tam
giaùc vuoâng ABH, ACH ta coù:

AB  a , AC  b
1
1
1
SABC  AH.BC  BK.AC  AB.AC
2
2
2
 AH.BC AB.AC



c.





a  c  b  c  a. b

 c(a  c)  c(b  c)  ab (ñpcm)

B

H

C

Baøi 1: Cho a; b; c thoûa maõn a> c; b > c > 0.
Chöùng minh raèng:

c(a  c)  c(b  c)  ab
Caùch 1:(duøng giaû thieát taïm)
Caùch 2: Söû duïng baát ñaúng thöùc phuï
Caùch 3: AÙp duïng baát ñaúng thöùc giữa
TBC và TBN cho 2 caëp soá khoâng aâm
Caùch 4: Ñaët aån phuï
Caùch 5: Duøng phöông phaùp hình hoïc

Baøi 2: Tìm GTLN cuûa bieåu thöùc A  x  2  4  x
Giaûi:
Ñieàu kieän: 2 x 4
2
2
Caùch 1: Ta coù: A  x  2  4  x x  2  4  x  2 (x  2)(4  x)





2  2 (x  2)(4  x) 2  x  2  4  x 4
 A 2 . Daáu “=“ xaûy ra
Vaäy Amax =2
x=3

x-2 = 4-x

(BÑT giữa TBN, TBC 2 số)

x=3

2
2
2
2
ax

by

(a

b
)(x

y
)


2

Caùch 2: Söû duïng BÑT phụ:
Daáu “=“ xaûy ra



Ta coù: A  1. x  2  1. 4  x
2

 A 2 4

 A 2

Daáu “=“ xaûy ra

Vaäy Amax =2



2

ay= bx

(12  12 )(x  2  4  x) 4

2 x 4
 x 3
1. 4  x  x  2.1  
4  x x  2
x=3

Baøi 2: Tìm GTLN cuûa bieåu thöùc A  x  2  4  x
Caùch 3: Duøng haèng ñaúng thöùc
Ta coù:



 



  x  2  2 x  2 1  4  x  2 4  x 1   4

A 
2







 
2

x 2  1 




2



2

4 x  1 

 2 2




 x  2  1 2 0

Daáu “=“ xaûy ra

2
 4  x  1 0

 x  2  1 0


 4  x  1 0
Vaäy Amax =2

x  2 1

4  x 1

x=3

 x 3

Baøi 2: Tìm GTLN cuûa bieåu thöùc A  x  2  4  x
Caùch 4: AÙp duïng BÑT giữa TBN, TBC cho hai soá khoâng aâm,
ta coù:
x  2 1 4  x 1
A  (x  2).1  (4  x).1 

2
2
2
x  2 1
Daáu “=“ xaûy ra  
 x 3
4  x 1

Vaäy Amax =2

x=3
Coù 4 caùch giaûi:

Caùch 1: AÙp duïng baát ñaúng thöùc giữa TBN, TBC của 2 số
không âm.
Caùch 2: Söû duïng BÑT phụ
Caùch 3: Duøng haèng ñaúng thöùc

Caùch 4: AÙp duïng baát ñaúng thöùc giữa TBN, TBC
của 2 số không âm.

Baøi 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc:  4 4   4...  4  3
Giaûi:
(n daáu caên)
Caùch 1: Chöùng minh baèng quy naïp toaùn hoïc:
* Vôùi n =1 veá traùi coù giaù trò baèng 4 2  3
Vaäy BÑT ñuùng vôùi n= 1
*Giaû söû BÑT ñuùng vôùi n=k töùc laø: Sk  4 4   4...  4  3
(k daáu caên)
*Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n= k+1
Thaät vaäy: S  4  S  4  3  7  9 3
k 1
k

 Sk 1  3;

Suy ra ñpcm.
Caùch 2: Dùng phương pháp so sánh
Ta coù:

4  4  4  ...  4 < 6  6  6  ...  9 3 (ñpcm)
        
         
(n daáu caên)
(n daáu caên)

Chương III: HÀM SỐ BẬC NHẤT
Baøi 4: Cho ba ñieåm A(2; 3); B(-2; -1); C(4; 1) treân cuøng moät heä truïc
toïa ñoä Oxy. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng taïi A.
y
Giaûi:
4
Caùch 1: Goïi ptñt (AB ) coù daïng y =ax+b
A
Vì A; B  (AB) neân ta coù heä phöông trình:

B
 k  1

d 5

x+
1
y=

+5
-x

Vì A; C  (AC) neân ta coù hpt:
 kx A  d y A 2k  d 3



 kx B  d y B
4k  d 1
Vaäy ptñt(AC) laø y= -x+5

=

Goïi ptñt (AC ) coù daïng y =kx+d

-2

y

a 1
ax A  b y A
2a  b 3



 b 1
 2a  b  1
ax B  b y B
Vaäy ptñt (AB) laø y= x+1

3

1

C
O

1

2

4 x

-1

Ta coù a. k = 1.(-1) = -1 neân AB  AC taïi A. Hay  ABC vuoâng taïi A.

Baøi 4: Cho ba ñieåm A(2; 3); B(-2; -1); C(4; 1) treân cuøng moät heä
truïc toïa ñoä Oxy. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng taïi A.
Caùch 2: Ta coù:

AB  (x A  x B )2  (y A  y B )2  (2  2)2  (3  1)2  32
AC  (x C  x A )2  (y C  y A )2  (4  2)2  (1  3)2  8
BC  (x B  x C )2  (y B  y C )2  ( 2  4)2  ( 1  1)2  40
y

AB2  AC2 ( 32)2  ( 8)2
32  8 40 ( 40)2 BC2

8

32

 AB2  AC2 BC2
Vaäy  ABC vuoâng taïi A.

A

3

1
-2

(ñònh lí pythagore ñaûo)
B

O
-1

C

40

1

2

4 x

Baøi 4: Cho ba ñieåm A(2; 3); B(-2; -1); C(4; 1) treân cuøng moät heä
truïc toïa ñoä Oxy. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng taïi A.
Caùch 3: Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: M(1; 0)
AM  (x A  x M )2  (y A  y M )2  (2  1)2  (3  0)2  10
BC  (x B  x C )2  (y B  y C )2  ( 2  4)2  ( 1  1)2  40 2 10
1
Vaäy ABC coù AM laø ñöôøng trung tuyeán vaø AM  BC
2
y
ABC vuoâng taïi A. (ñpcm)
A
3
Coù 3 caùch:
Caùch 1: Vieát phöông trình hai ñöôøng
thaúng vaø chöùng minh chuùng vuoâng goùc.
10

Caùch 2: Duøng ñònh lí Pythagore ñaûo.

1

-2

Caùch 3: Duøng tính chaát ñöôøng trung
tuyeán ñeå chöùng minh tam giaùc vuoâng. B

2 10

M

O

1

-1

C

2

4 x

Baøi 5: Treân cuøng moät heä truïc toïa ñoä cho ba ñieåm
A(2; 4); B(-3; -1); C(- 2; 1) . Chöùng minh raèng
ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.
Giaûi:
Caùch 1: Goïi ptñt (AB ) coù daïng y =ax+b

Vì A; B  (AB) neân ta coù heä phöông trình:
a 1
2a  b 4


 b 2
 3a  b  1
Vaäy ptñt (AB) laø y= x+2

 C  (AB)
Vaäy ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.

2

C

A

4

y

b
+
ax2
+
=x
y=

1

-3
-2

Ta coù C(- 2; 1) ;


y C 1
  y C x C  2
x C  2  2  2 0 

y

B

-1

1

-1

2

x

Baøi 5: Treân moät MPTÑ toïa ñoä cho A(2; 4); B(-3; -1); C(- 2; 1) .
Chöùng minh raèng ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.
Caùch 2:
3
Goïi ptñt (AC ) coù daïng y =ax+b

2a  b 4
a  4
Vì A; C  (AC) neân ta coù hpt: 


2a

b

1

b  5
3
5
Vaäy ptñt (AC) laø y  x 

2
4
2
Maø B(-3; -1); yB= -1

3
5 3
5 1   yB  3 xB  5
x B   .( 3)  
4
2
4
2 4
2 4 

 B  (AC). Vaäy ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.
Caùch 3: Ptñt (BC) tìm ñöôïc laø y =2x+5
Ta coù A( 2; 4) ;

y A 4


  y A 2x A  5  A  (BC).
2x A  5 2.2  5 9 
Vaäy ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.

Baøi 5: Treân moät MPTÑ toïa ñoä cho A(2; 4); B(-3; -1); C(- 2; 1) .
Chöùng minh raèng ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng.y
Caùch 4:
A
2

4

2

Ta coù: AB  (x A  x B )  (y A  y B ) 5 2
Töông töï : AC=5; BC  5
Ta nhaän thaáy ñoä daøi ba ñoaïn thaúng AB;
AC; BC luoân thoaû maõn ñoä daøi ba caïnh
cuûa moät tam giaùc, neân ba ñieåm A; B; C -3
khoâng thaúng haøng.
Coù 4 caùch:

2
1

C
-2

-1

B
Caùch 1, 2; 3: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua
hai trong ba ñieåm vaø chöùng minh ñieåm coøn laïi khoâng
naèm treân ñöôøng thaúng naøy.

1

2

x

-1

Caùch 4: Duøng coâng thöùc tính ba ñoaïn thaúng roài chöùng minh ba ñoä daøi
thoûa maõn BÑT tam giaùc.

a1x  b1y c1 (d1)
Giaûi heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån daïng 

a2 x  b2 y c2 (d2)
Caùch 1: Giaûi baèng phöông phaùp theá .
Caùch 2: Giaûi baèng phöông phaùp coäng ñaïi soá.
Caùch 3: Giaûi baèng caùch söû duïng coâng thöùc Cramer
a1x  b1y c1(1)

Cuï theå nhö sau: Giaûi hpt:

a2 x  b2 y c2(2)
2
2
2
2
(Vôùi a1  b1 0 vaø a2  b2 0 )

Ñaët D = a1b2 –a2b1

Dx = c1b2 –c2b1 ; Dy = a1c2 –a2c1
Dy
Dx
* Neáu D 0 thì heä coù nghieäm duy nhaát x 
vaø y 
D
D
* Neáu D = 0, Dx  0 hoaëc Dy 0 thì heä voâ nghieäm.
;

•* Neáu D = 0, Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm (x 0; y0)
• thoûa maõn hai phöông trình cuûa heä ñaõ cho.

x+ y = 1
Baøi 6) Giaûi heä phöông trình sau: 
x- y = 3
Caùch 1: Giaûi baèng phöông phaùp theá .
x  y 1
x 1  y
x 1  y




x  y 3 1  y  y 3 2y  2
Caùch 2: Giaûi baèng phöông phaùp coäng ñaïi soá.
x  y 1


x  y 3

2x 4


y x  3

x 2

y  1

 x 2

y  1

Caùch 3: Giaûi baèng caùch söû duïng coâng thöùc cramer
Ñaët D = a1b2 –a2b1 ; Dx = c1b2 –c2b1 ; Dy = a1c2 –a2c1
Ta coù: D= 1.(-1)-1.1 = -2  0; Dx = -1 -3= -4; Dy = 3- 1=2

Dx  4

x

 2

D 2
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø: 
y  D y  2  1

D 2

Ñaët D = a1b2 –a2b1

Dx = c1b2 –c2b1 ; Dy = a1c2 –a2c1
mx  y m  1
Baøi 7) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau: 
x  my 2
Giaûi:
;

Ta coù: D=m2-1 =(m-1)(m+1);
Dx = m(m+1)- 2= (m-1)(m+2);
Dy = 2m-m-1 = m-1
m 1 vaø m -1
m 2
1
x

;
y
Heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø:
m 1
m 1
* D= 0
m = -1 hoaëc m= 1

D 0  (m  1)(m  1) 0

+) m = -1
+) m=1

Dx = -2  0

hpt voâ nghieäm.

Dx =Dy =0

hpt coù voâ soá nghieäm (x0; y0) thoûa maõn x+ y=2

x  y  2
Baøi 8) Giaûi heä phöông trình sau: 
y  z 7
z  x  1

x  y  2
y  z 7
y  z 7



y

z

7


z

x

1
Caùch 1)

z  x  1

z  x  1
x  y  z 2
2(x  y  z) 4



x  5
x  5
(x  y  z)  (y  z) 2  7



 y 3
 y 3
 (x  y  z)  (z  x) 2  1
z 4
 5  3  z 2
x  y  z 2



x  y  2
x  2  y
x  2  y


Caùch 2) y  z 7
 z 7  y
 z 7  y
z  x  1
z  x  1
7  y  2  y  1



x  2  y
x  2  y
x  5



 z 7  y
 z 7  y
 y 3
 2y  6
y 3
z 4




x  y  2
Baøi 8) Giaûi heä phöông trình sau: 
y  z 7
z  x  1

Caùch 3)
x  y  2

y  z 7
z  x  1


x  z  9

 z  x  1
y  z 7


2x  10

 z  1  x
y 7  z


x  5

 z  1  x
y 7  z


x  5

 z 4
y 7  z


x  5

 y 3
z 4


2



 b 2a

 a  b

2

2

 a  b

2
 b 2b

a b

 a  b
  b 0



1

 b(2b  1) 0
  b  2

a =0
* Vôùi b = 0
a= 0
1
1
1
* Vôùi b   a   a 
2
2
2

y=2x 2

PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN
* Tìm hiểu thêm về phương trình bậc ba
Baøi 9) Cho ñoà thò haøm soá y=2x2 (P). Tìm treân ñoà thòy caùc añieå
mbcaùch ñeàu
y
hai truïc toïa ñoä ?
Giaû
i
:
M (a; b)
3
M'
Caùch 1)
M(a; b) (P) vaø caùch ñeàu 2 truïc toïa ñoä
1
-3

-2

1
2

O

-1
-1


1
2

1

-1
O1 1
-2

2

2

3

x

Vaäy coù 3 ñieåm caàn tìm laø:

 1 1  1 1
; 
 2 2  2 2

(0; 0);  ;  ;  

x

Baøi 9) Cho ñoà thò haøm soá y=2x2 (P). Tìm treân ñoà thò caùc ñieåm caùch ñeàu
hai truïc toïa ñoä
Caùch 2)
Ñieåm caùch ñeàu hai truïc toïa ñoä thuoäc moät trong hai ñöôøng thaúng
y = x (D1) vaø y = -x (D2)
y
Caùc ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa (D1) vaø (P); (D2) vaø3 (P)
a) Phöông trình hñ giao ñieåm cuûa (D 1) vaø (P) laø
:0
x

y
2
2
21
2x = x
2x -x= 0
x.(2x-1) = 0 = 
-x 
x 
*Vôùi x = 0 thì y= 0

21
1
1
*Vôùi x = thì y=
2
2
O
-3 -2 -1
b) Phöông trình hñ giao ñieåm cuûa (D 2) vaø (P) laø
:
0
 x -1
2x2= -x
2x2+x= 0 x.(2x+1) = 0  
 x  1
-22

*Vôùi x = 0 thì y= 0
1
1
*Vôùi x =  thì y=
2
2
 1 1  1 1
Vaäy coù 3 ñieåm caàn tìm laø: (0; 0);  ;  ;   ; 
 2 2  2 2

y

=

2

x

3 x

y

-1


=
-x

Vaäy coù 3 ñieåm caàn tìm laø:
 1 1  1 1
(0; 0);  2 ; 2  ;   2 ; 2 

 


y=2x 2

y

y

Caù
chch1)2)
Caù
M(a;
vaøu caù
ñeà
toïa cñoä
c(P)
Ñieåmb)caù
h ñeà
haichtruï
c utoï2atruï
ñoäcthuoä
2 ñöôøng thaúng y = x (D )
moättrong
hai
1
b

2a


vaø y = -x (D2)
a
 ñieå
Caùc
mbcaàn tìm laø laø giao ñieåm
cuûa (D1) vaø (P); (D2) vaø (P)

y=2x 2

Baøi 9) Cho ñoà thò haøm soá y=2x2 (P).
Tìm treân ñoà thò caùc ñieåm caùch ñeàu hai trục tọa ñoä.



1
2

-1

1
2

O

1
2

1
2

1

1
2

O 1x 1
=

y2

x

x

Baøi 10) Giaûi phöông trình sau: x2- 4x+ 6 =3 x  2
Caùch 1)
Lôøi giaûi:

(*)

- Xeùt TH: x-2 0
x 2 thì x  2 = x-2
(*)
x2-4x +6 = 3(x-2) x2-7x +12 = 0. Giaûi: x1= 4 (nhaän) ; x2 = 3(nhaän)
- Xeùt TH: x-2 < 0
x < 2 thì x  2 = 2-x
x (x-1) = 0
(*) x2-4x +6 =3(2-x)
x2-x = 0
x3= 1 (nhaän) ; x4 = 0 (nhaän)
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm: x1= 4; x2 =3; x3 =1; x4 = 0
2

x
 4x  6
Caùch 2)
0

3
2

x  4x  6
2
x

2
x -4x +6 = 3
x 2 

x 2  4x  6
3
 x  2 
3

2
 x 3; x 4

x
 4x  6
 ...............  
x

2


x

0;
x

1
3


Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm: x1= 4; x2 =3; x3=1; x4 = 0

Baøi 10) Giaûi phöông trình sau: x2- 4x+ 6 =3 x  2

(*)

Caùch 3)
2
x2-4x +6 = 3 x  2  (x  2)  3 x  2  2 0
Ñaët y= x  2 (ÑK: y 0)

Phöông trình trôû thaønh y2 -3y + 2= 0
y1= 1(nhaän) ; y2 = 2 (nhaän)

Vì a + b + c = 0



x  2 1
x  2  1

 

x  2 2
x  2  2

*Vôùi y=1, ta coù: x  2 1 

*Vôùi y= 2 , ta coù: x  2 2

 x 3

 x 1
 x 4

 x 0

Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm: x1= 4; x2 =3; x3=1; x4 = 0

Bài 11: Cho phương trình bậc ba: x3  6 x 2  11x  6 0 (1). Giải phương trình trên và
tính: x1  x2  x3 ; x1 x2  x1 x3  x2 x3 ; x1 x2 x3 ? (Với x1 , x2 , x3 là nghiệm của (1))
Có 3 cách giải:
Cách 1: Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử  Tiến hành giải phương trình
tích ta được
x1 1, x2 2, x3 3  x1  x2  x3 1  2  3 6 ; x1 x2  x1 x3  x2 x3 1.2  1.3  2.3 11 ; x1 x2 x3 1.2.3 6

Cách 2: Vận dụng công thức nhẩm nghiệm Viet trong phương trình bậc ba: :
x 3  6 x 2  11x  6 0

Có a+b+c+d=0 nên x1 1 ,rồi thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp tìm ra đa thức
thương là đa thức bậc 2. Sau đó giải tiếp ptbh tìm được 2 nghiệm x2 2, x3 3 .
Cuối cùng tính x1  x2  x3 1  2  3 6 ; x1 x2  x1 x3  x2 x3 1.2 1.3  2.3 11 ; x1 x2 x3 1.2.3 6
Cách 3: Khi đã biết phương trình đã cho có 3 nghiệm , ta sử dụng hệ thức Viet mở rộng
để tính :
x1  x2  x3 

b 6
 6 ;
a 1

c 11
x1 x2  x1 x3  x2 x3   11 ;
a 1

x1 x2 x3 

d 6
 6
a 1

NỘI DUNG CHÍNH:“ĐẶC BIỆT HÓA TRONG GIẢI TOÁN”
** PHẦN HÌNH HỌC:
Ví dụ 1: Ñaëc bieät hoùa ñeå ñöa ra döï ñoaùn söï chuyeån ñoäng.
 
Đặc biệt hóa phát huy hiệu quả cao trong việc dự đoán quỹ tích.
Bên cạnh đó đặc biệt hóa còn kích thích khả năng tìm tòi, phân
tích và tổng hợp để đưa ra dự đoán và cách giải bài toán. Xét
bài toán sau:
Baøi toaùn: Cho tam giaùc ABC, M laø ñieåm di ñoäng treân BC.
Trung ñieåm I cuûa AM di ñoäng treân ñöôøng naøo?

A

F

I

G

Caùch 1:
B
M
+ Khi cho M truøng C thì I
laø trung ñieåm G cuûa caïnh AC
+ Khi cho M truøng B thì I
laø trung ñieåm F cuûa caïnh AB
—> döï ñoaùn I chaïy treân ñöôøng trung bình FG cuûa tam giaùc ABC
—> Nhö vaäy caàn chöùng minh ba ñieåm F , I, G thaúng haøng, töø ñoù
tìm caùch giaûi baøi toaùn.

C

A

F

B

S

G

I

H

M

C

Caùch 2:
+ Khi cho M truøng H laø chaân ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc ABC thì
I laø trung ñieåm S cuûa AH
—> S naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa AH
—> döï ñoaùn I naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa AH
—> Nhö vaäy caàn chöùng minh I caùch ñeàu A vaø H ,
töø ñoù tìm caùch giaûi baøi toaùn.

A

F

B

S

G

I

H

N

M

C

Ví duï 2 : Ñaëc bieät hoùa ñeå phaùt hieän ñieåm coá ñònh khi ñoái töôïng
chuyeån ñoäng.
 
Baøi toaùn: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O') caét nhau taïi A vaø B. Qua
A veõ moät caùt tuyeán di ñoäng caét (O) vaø (O') laàn löôït taïi K vaø L. Goïi
H laø trung ñieåm KL. Veõ ñöôøng thaúng d ñi qua H vaø vuoâng goùc vôùi
KL. Chöùng minh raèng : ñöôøng thaúng d luoân ñi qua moät ñieåm coá
ñònh.

Vieäc phaùt hieän ñöôøng thaúng d luoân ñi qua moät ñieåm cho ta
nghó tôùi vieäc ñaëc bieät hóa caùc vò trí cuûa caùt tuyeán KL
d

H

L

A

K
O

O'

B

d

H

L

A

K
O

M

O'

B

N

Caùch 1:
Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL ñi qua taâm O vaø taâm O'
Luùc ñoù K —> M vaø L —> N laø hai ñieåm coá ñònh
—> trung ñieåm cuûa MN laø ñieåm coá ñònh
—> döï ñoaùn d ñi qua ñieåm coá ñònh naøy
—> caùch giaûi baøi toaùn

Caùch 2:
+ Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL laø tieáp
tuyeán cuûa (O) taïi A luùc ñoù L —> N laø
ñieåm coá ñònh
K
—> trung ñieåm H2 laø ñieåm coá ñònh
+ Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL laø tieáp
tuyeán cuûa (O') taïi A luùc ñoù K —> M laø M
ñieåm coá ñònh
—> trung ñieåm H1 laø ñieåm coá ñònh
+ OH1 vaø O'H2 caét nhau taïi I laø ñieåm coá
ñònh
—> döï ñoaùn d ñi qua ñieåm coá ñònh naøy
—> ta coù AOIO' laø hình bình haønh neân
I ñoái xöùng vôùi A qua trung ñieåm cuûa
OO' —> caùch giaûi baøi toaùn

d

L

A

H
H1

H2

O

O'

I

B

N

C – KẾT LUẬN :

Vieäc söû duïng ñaëc bieät hoùa trong giaûng daïy, ñem laïi cho chuùng ta nieàm
say meâ trong vieäc döï ñoaùn vaø saùng taïo caùc baøi toaùn môùi cuõng nhö vieäc
tìm lôøi giaûi caùc baøi toaùn đại số và hình hoïc khoù bằng nhiều cách. Giuùp cho
hoïc sinh hieåu baøi saâu hôn nhôø vaøo söï tìm toøi, saùng taïo cuûa caùc em vaø hoïc
sinh coù thaùi ñoä caån thaän hôn khi xeùt caùc tröôøng hôïp cuûa hình veõ vaø töï tin
hôn khi giaûi caùc baøi toaùn khó đại số và những bài toán di ñoäng vaø cöïc trò
hình hoïc.
Do năng lực chuyên môn của bản thân cũng còn hạn chế, còn học hỏi
•
các anh chị đồng nghiệp ở trường sở tại và các trường bạn rất nhiều. Vì vậy
qua chuyên đề này bản thân nhận thấy chắc chắn còn rất nhiều điều còn
thiếu sót để dạy cho học sinh giỏi. Mong rằng tất cả các thầy cô ở các
trường trong huyện thông cảm và đóng góp thêm để cho chuyên đề được
hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã theo dõi chuyên đề.
Xin chúc sức khỏe tất cả các thầy cô. Xin kính chào đoàn kết !
Lộc Giang, ngày 15 tháng 01 năm 2025
Giáo viên biên soạn
• 

Nguyễn Công Linh