Cho B và C là hai điểm cách nhau
bởi một hồ nước như Hình 4.12 với D,
E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Biết DE = 500 m,
Hình 4.12

Liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể
tính được khoảng cách giữa hai điểm
B và C không?

1 . ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Nhận biết đường trung bình của tam giác.
•

Hình 4.13 mô tả thước chữ A dùng để đo đạc
trên mặt đất. Thanh ngang đặt ở trung điểm
của hai thanh bên. Thanh ngang của thước
chữ A trong Hình 4.13 là hình ảnh đường
trung bình của của tam giác.

Hình 4.13

 Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác .

1 . ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Nhận biết đường trung bình của tam giác.

 Câu hỏi : Em hãy chỉ ra các đường trung bình của ∆DEF và
∆IHK trong Hình 4.14.
 Xét ∆DEF có M là trung điểm của DE; N là trung điểm
của cạnh DF nên MN là đường trung bình của ∆DEF.
 Xét ∆IHK có :
• B là trung điểm của cạnh IH; C là trung điểm của cạnh
IK nên BC là đường trung bình của ∆IHK.
• B là trung điểm của cạnh IH; A là trung điểm của cạnh
HK nên AB là đường trung bình của ∆IHK.
• A là trung điểm của cạnh HK; C là trung điểm của cạnh
IK nên AC là đường trung bình của ∆IHK.

Hình 4.14

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.
Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).
Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng DE // BC.
A

 Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên:

• E là trung điểm của AC hay nên
Xét tam giác ABC có , theo định lí đảo Thalès ta suy ra
AE // BC (đpcm)

E

D

• D là trung điểm của AB hay nên
B

F

Hình 4.15

C

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.
Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).
Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là
hình bình hành . Từ đó suy ra
A

 F là trung điểm của BC nên , Suy ra
E là trung điểm của BC nên , Suy ra
Do đó trong ABC có nên theo định lí Thales đảo

ta có EF // AB

Xét tứ giác DEFB có DE // BF nên nó là hình bình hành
Suy ra DE = BF mà BC nên DEBC

E

D

B

F

Hình 4.15

C

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.
 Định lí 1 : Đường trung bình của tam giác song song
với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
A

GT ABC , AD = DB, AE = EC,
1
KL
DE / / BC ; DE  BC
2

D

B

E

C

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.

A

• Chứng minh định lí :
Gọi M là trung điểm của BC (H 4.16)
Tam giác ABC có , suy ra DE // BC
Tương tự , ta chứng minh được EM // AB
Tứ giác DEMB có DE // BM và EM // DB nên nó là
hình bình hành

E

D

B

M

C

Hình 4.16

Suy ra DE = BM = BC
Vậy DE // BC và DE = BC
 Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.

1

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của AB, N là trung
điểm của AC và BC = 10cm . Tính MN ?
A

 Tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là
trung điểm của AC. Do đó MN là đường trung
bình của tam giác BAC

1
1
Suy ra : MN  BC  .10 5 (cm )
2
2

Vậy MN = 5cm

E

D

B

10cm
Hình 4.17

C

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

 Tính chất đường trung bình của tam giác.
Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm
của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?
A

 Tam giác ABC cân tại A nên
Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC
nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra DE // BC nên tứ giác DECB là hình
thang.
Hình thang DECB có nên là hình thang cân

D

B

E

C

2 . TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

 Trong tam giác ABC có D, E lần lượt là
trung điểm của AB và AC nên D ∈ AB; E ∈
AC và AD = BD; AE = EC.
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác
ABC.
Do đó , suy ra :
BC = 2DE = 2 . 500 = 1000(m)

4.6

Tính các độ dài trong Hình 4.18.

 Hình 4.18a :
Ta có: DH = HF, H ∈ DF nên H là trung điểm của DF

EK = KF, K ∈ EF nên K là trung điểm của EF.
Xét tam giác DEF có H, K lần lượt là trung
điểm của DF, EF nên HK là đường trung bình
của tam giác DEF.
Suy ra
Do đó x = 2HK = 2 . 3 = 6.

4.6

Tính các độ dài trong Hình 4.18.

 Hình 4.18b :

Vì MN ⊥ AB, AC ⊥ AB nên MN // AC.
Mà M là trung điểm của AB (vì AM = BM = 3)
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác
ABC.
Do đó N là trung điểm của BC nên
y = NC = BN = 5.
Vậy x = 6; y = 5.

4.7

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
AC nên MN là đường trung bình của tam giác
ABC suy ra MN // BC.
Tứ giác BMNC có MN // BC nên tứ giác
BMNC là hình thang (đpcm).
b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,
BC nên NP là đường trung bình của tam giác
ABC suy ra NP // AB hay NP // MB.
Tứ giác MNPB có MN // BP (do MN // BC); BM // NP (chứng minh trên).
Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.

4.8

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên
cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.
a) Chứng minh DC // EM.
b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.

a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC
nên M là trung điểm của BC.
Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của
BD.
Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm
của BD, BC nên EM là đường trung bình của
tam giác BCD
Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).

4.8

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên
cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.
a) Chứng minh DC // EM.
b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.

b) Ta có D là trung điểm của AE
(vì AD = DE, D ∈ AE).
Mà DI // EM (vì DC // EM).
Do đó DI là đường trung bình của tam
giác AEM
Suy ra I là trung điểm của AM.

4.9

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần
lượt là trung điểm của AB, AD.
Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

 Vì ABCD là hình chữ nhật nên và hai đường chéo
AC, BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của
mỗi đường
Suy ra AB ⊥ AD; O là trung điểm của AC và BD.
Vì O, H lần lượt là trung điểm của BD và AB nên
OH là đường trung bình của tam giác ABD
Suy ra OH // AD mà AB ⊥ AD nên OH ⊥ AB hay
Tương tự, ta chứng minh được: OK ⊥ AD hay
 

AHO  
AKO  HOK
36000
Ta có : BAD

900  900  900  HOK
3600

HOK
3600  2700 900

Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.